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1、2010 年全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲-数学三 考试科目：微积分线性代数概率论与数理统计 考试形式和试卷结构 一、试卷满分及考试时间 试卷满分为 150 分，考试时间为 180 分钟 二、答题方式 答题方式为闭卷、笔试 三、试卷内容结构 微积分 56 线性代数 22% 概率论与数理统计 22 四、试卷题型结构 试卷题型结构为： 单项选择题选题 8 小题，每题 4 分，共 32 分 填空题 6 小题，每题 4 分，共 24 分 解答题（包括证明题） 9 小题，共 94 分 微 积 分 一、函数、极限、连续 考试内容函数的概念及表示法 函数的有界性单调性周期性和奇偶性 复合函数反函 数
2、分段函数和隐函数 基本初等函数的性质及其图形 初等函数 函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质 函数的左极限和右极限 无穷小量和无穷大量的 概念及其关系 无穷小量的性质及无穷小量的比较 极限的四则运算 极限存在的两个准则： 单调有界准则和夹逼准则 两个重要极限：函数连续的概念 函数间断点的类型 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质 考试要求 1 理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系 1)、于集、集合运算法则、直积、满射、单射、一一映射、逆射、单值函数、多值函数 2了解函数的有界性单调性周期性和奇偶性 1)奇函数加偶函数等于非奇非偶函数 2）并非每个周期函数都有
3、最小正周期，如狄利克雷函数 3）单射才有反函数 3理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念 4掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念 1） 、双曲、反双曲函数及其图形 2） 、对数、指数、三角、幂函数及其图形 sin（）sincoscossin sin（）sincoscossin cos（）coscossinsin cos（）coscossinsintan()=(tan+tan)/(1-tantan) tan()=(tan-tan)/(1+tantan) 和差化积sin(a)+sin(b)=2sin(a+b)/2)cos(a-b)/2) sin(a)?sin(b)=2
4、cos(a+b)/2)sin(a-b)/2) cos(a)+cos(b)=2cos(a+b)/2)cos(a-b)/2) cos(a)-cos(b)=-2sin(a+b)/2)sin(a-b)/2) 万能公式 sin(a)= (2tan(a/2)/(1+tan2(a/2) cos(a)= (1-tan2(a/2)/(1+tan2(a/2) tan(a)= (2tan(a/2)/(1-tan2(a/2)5了解数列极限和函数极限（包括左极限与右极限）的概念 1)、极限唯一性、有界性（局部有界性） 、保号性（局部保号性） 、收敛数列及其子数列关 系（函数极限与数列极限关系 6了解极限的性质与极限存在
5、的两个准则，掌握极限的四则运算法则，掌握利用两个重要 极限求极限的方法 1)、无穷小、无穷大、有界函数、常数之间的运算规律 2)、极限之间的运算关系及大小比较 3） 、复合函数的极限运算法则 4） 、 5） 、夹逼准则、单调有界准则、柯西极限存在准则 7理解无穷小的概念和基本性质掌握无穷小量的比较方法了解无穷大量的概念及其与 无穷小量的关系 1)、无穷小的极限存在定义 2） 、无穷小与无穷大的关系定义 3） 、关于高阶无穷小的等价无穷小、无穷小求极限定义 8理解函数连续性的概念（含左连续与右连续） ，会判别函数间断点的类型 1)、跳跃间断点、可去间断点（第一类） 、无穷间断点、震荡间断点（第二
6、类） 9了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最 大值和最小值定理介值定理)，并会应用这些性质 题型汇总与技巧 1、 求数列、函数极限 1） 、利用各类运算法则进行恒等变形（尤其注意三角函数的恒等变形） 2)、对于 0/0,/型，对于可消去分子分母中为 0，无穷大的因子，也可利用罗比达法则 进行求导运算、或者利用等价无穷小替换。 3） 、对于 0*型将其化为第二类形式进行运算 4） 、对于 1型或 0未定式，可化为 e 的指数形式进行求解 5） 、当 x 或 n时，将各因子的分母化为递增函数 6） 、将函数化为两个重要极限的形式进行求解 7） 、利用夹逼法则
7、求数列或函数的极限 10） 、对于变量比较复杂的数列或函数，通过变量替换将其简化 11） 、以上各种方法中，无穷小和罗比达法则只能用于函数求极限，若要在数列极限中应用， 需通过 12）转化，其他技巧在求函数和数列极限时都可以通用 12） 、通过函数求函数数列的极限或通过数列求子数列的极限 13） 、若函数 f（x）或数列 a(n)存在不为 0 的极限，g（x）或 b(n)极限不存在也不为无穷大，则将两者作各种运算其极限都不存在也不为，若两个函数都不存在也不为，则需作具 体分析 14） 、求复合函数 lim fg(x)极限，函数符号与极限可以交换次序 15） 、通过递归数列求数列极限 16)、利
8、用导数定义求函数极限 2、对于含变限积分的不定式的极限，一般通过罗比达法则将积分化为函数求解 1） 、通过观察积分是否为 0 或无穷大，若是，通过罗比达法则求解 2） 、如果积分函数里面含有自变量，则通过变量代换将 x 置换出积分函数 2、 求含有参数的数列或函数的极限 1） 、需考虑参数的不同取值而分类求极限的值 3、 通过极限值求函数或数列的参数 1） 、若极限值为 0 或，根据无穷小与常数的运算法则反推参数 2） 、 4、 闭区间上连续函数的性质1） 、一般将区间端点上的函数值化为异号的数 2） 、可以将等式两边的项移到一边构造一个函数 5、 求函数的连续性及间断点类型 1） 、首先需列
9、出函数的定义域，并观察出定义不存在的点 6、 在定义不存在的点求其左右极限 二、一元函数微分学 考试内容导数和微分的概念 导数的几何意义和经济意义 函数的可导性与连续性之间的关系 平面曲线的切线与法线 导数和微分的四则运算 基本初等函数的导数 复合函数反函数 和隐函数的微分法 高阶导数 一阶微分形式的不变性 微分中值定理 洛必达 （LHospital）法则 函数单调性的判别 函数的极值 函数图形的凹凸性拐点及渐近 线 函数图形的描绘 函数的最大值与最小值 考试要求 1理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系，了解导数的几何意义与经济意义（含边 际与弹性的概念） ，会求平面曲线的切线方程和法线方
10、程 1)、导数与单侧导数的定义，两种表达方式，限定条件及导函数的定义 2)、边际成本、边际收益、总利润函数，总收益函数、边际利润、总成本函数、需求函数、 弹性等 3） 、用显示方程和隐式方程表示的平面曲线 4） 、求目标函数的最大值和最小值问题 2.掌握基本初等函数的导数公式导数的四则运算法则及复合函数的求导法则，会求分段 函数的导数 会求反函数与隐函数的导数 1)、理解反函数的求导法则 2)、各初等函数的求导公式 3） 、复合函数求导法则：幂指函数求导、反函数求导、隐函数求导和变限积分求导 3.了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数 1)、简单初等函数的 n 阶导数公式 2） 、高阶导数
11、的四则运算法则（和、差、积-也即莱布尼茨公式） 3） 、二项式定理4了解微分的概念，导数与微分之间的关系以及一阶微分形式的不变性，会求函数的微 分 1)、微分的四则运算法则 2） 、复合函数的微分法则（一阶微分形式的不变性） 5理解罗尔（Rolle）定理拉格朗日( Lagrange)中值定理了解泰勒定理柯西（Cauchy)中 值定理，掌握这四个定理的简单应用 1)、费马引理 2） 、罗尔定理及拉格朗日定理的限制条件、几何意义及证明过程 3)、常数函数判定定理 3） 、有限增量定理及其公式 4） 、泰勒公式（带拉格朗日余项及佩亚诺余项） ，麦克劳林公式（带拉格朗日余项及佩亚诺 余项） 5） 、四
12、个基本初等函数在 x=0 处的 n 阶麦克劳林公式 6会用洛必达法则求极限 7掌握函数单调性的判别方法，了解函数极值的概念，掌握函数极值、最大值和最小值的 求法及其应用 1)、区间上函数单调性的定义及判别法则 2） 、极值点、驻点、拐点的定义 3） 、极值点的必要条件及第一充分条件、第二充分条件 4） 、通过导数求函数极值点及其极值的四步法 8会用导数判断函数图形的凹凸性（注：在区间 内，设函数 具有二阶导数当 时， 的 图形是凹的；当 时， 的图形是凸的） ，会求函数图形的拐点和渐近线 1） 、函数图形凹凸性的定义 2)、区间上函数凹凸型的判定法则（两个，见复习全书） 3） 、拐点的充分判定
13、定理 9会描述简单函数的图形 1） 、利用导数作函数图形的五步法（见教材） 2） 、求渐近线的方法（见复习全书） 题型汇总与技巧 1、 三、一元函数积分学 考试内容原函数和不定积分的概念 不定积分的基本性质 基本积分公式 定积分的概念和 基本性质 定积分中值定理 积分上限的函数及其导数 牛顿一莱布尼茨（Newton- Leibniz）公式 不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法 反常（广义）积分 定积分 的应用 考试要求 1理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的基本性质和基本积分公式，掌握不定积 分的换元积分法和分部积分法 2了解定积分的概念和基本性质，了解定积分中值定理，理解积分上限的
14、函数并会求它的 导数，掌握牛顿一莱布尼茨公式以及定积分的换元积分法和分部积分法 3会利用定积分计算平面图形的面积旋转体的体积和函数的平均值，会利用定积分求解 简单的经济应用问题 4了解反常积分的概念，会计算反常积分四、多元函数微积分学 考试内容多元函数的概念 二元函数的几何意义 二元函数的极限与连续的概念 有界闭区域上二 元连续函数的性质 多元函数偏导数的概念与计算 多元复合函数的求导法与隐函数求导 法 二阶偏导数 全微分 多元函数的极值和条件极值最大值和最小值 二重积分的概 念基本性质和计算 无界区域上简单的反常二重积分 考试要求 1了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义 2了解二元函数
15、的极限与连续的概念，了解有界闭区域上二元连续函数的性质 3了解多元函数偏导数与全微分的概念,会求多元复合函数一阶、二阶偏导数，会求全微 分,会求多元隐函数的偏导数 4了解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函 数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简 单多元函数的最大值和最小值，并会解决简单的应用问题 5了解二重积分的概念与基本性质，掌握二重积分的计算方法（直角坐标极坐标） 了 解无界区域上较简单的反常二重积分并会计算 五、无穷级数 考试内容常数项级数收敛与发散的概念 收敛级数的和的概念 级数的基本性质与收敛的必要条 件 几何级数与 级数及其收敛性 正项级数收敛性的判别法 任意项级数的绝对收敛与条件 收敛 交错级数与莱布尼茨定理 幂级数及其收敛半径收敛区间（指开区间）和收敛域 幂 级数的和函数 幂级数在其收敛区间内的基本性质 简单幂级数的和函数的求法 初等函数的 幂级数展开式 考试要求 1了解级数的收敛与发散收敛级数的和
