《高二数学经验公式--圆锥曲线》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高二数学经验公式--圆锥曲线（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高二数学（上）经验公式高二数学（上）经验公式(2) 圆锥曲线部分圆锥曲线部分第第 1 页页 共共 5 页页椭椭 圆圆 1.椭圆的一般方程椭圆的一般方程:mx2+ny2=1(m0，n0) 当已知椭圆过已知两点当已知椭圆过已知两点,求标准方程时用此方程可避免求标准方程时用此方程可避免 分类讨论的麻烦。分类讨论的麻烦。2. 点点 P（x0,y0）与椭圆）与椭圆的位置关系及代数表达形式（与圆的情形类似）：的位置关系及代数表达形式（与圆的情形类似）： 可以椭圆的可以椭圆的2222x1y ab第一定义证明：第一定义证明： 点点 P（x0,y0）在椭圆）在椭圆上上 2222x1y ab22 00 221xy
2、 ab点点 P（x0,y0）在椭圆）在椭圆的内部的内部2222x1y ab22 00 221xy ab点点 P（x0,y0）在椭圆）在椭圆的外部的外部2222x1y ab22 00 221xy ab例如：例如： 因为点（因为点（2,1）在椭圆）在椭圆内，故过该点的直线内，故过该点的直线 y=k(x-2)+1 一定与椭圆一定与椭圆相交。相交。22x12516y22x12516y再如：再如： 直线直线 y=kx+1 与椭圆与椭圆恒有公共点，则恒有公共点，则 m 的取值范围是的取值范围是 。22x15y m解析：因直线解析：因直线 y=kx+1 总过点总过点 P（0，1） ，则只须让，则只须让 P（
3、0，1）总在椭圆上或在椭圆内即可，所以由不等式）总在椭圆上或在椭圆内即可，所以由不等式解得解得220115m。1,5)(5,)mU3焦点三角形焦点三角形 PF1F2及焦点弦及焦点弦的性质：的性质： 点点 P（x0,y0）在椭圆）在椭圆（ab0）上，）上，PQ2222x1y abF1（- c ,0）, F2（c ,0）分别是椭圆的左右焦点）分别是椭圆的左右焦点(半焦距半焦距 ，a=)22cab12 2PFPF（1） 左焦半径公式左焦半径公式=r1=a+ex0 ，右焦半径公式，右焦半径公式= r2 = aex0 （记忆：左加右减！）（记忆：左加右减！）1PF2PF（2）如图）如图 2-4 椭圆上最
4、大的焦半径是椭圆上最大的焦半径是=a+c；椭圆上最小的焦半径是；椭圆上最小的焦半径是=ac1AF2AF（3）以焦半径公式可易证：椭圆上不同的三点）以焦半径公式可易证：椭圆上不同的三点 A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)，若三条相应焦半径，若三条相应焦半径 （如（如 F1A、F1B、F1C）成等差数列）成等差数列 x1、x2、x3成等差数列，即成等差数列，即 2x2=x1+x2 。 （4）过）过 F1的弦的弦 PQ(焦点弦焦点弦)与与 F2构成三角形构成三角形 PQF2的周长为的周长为 4a (以椭圆的第一定义和整体思想易以椭圆的第一定义和整体思想易 证证)（5）以椭圆的焦半径
5、为直径的圆必定与以长轴为直径的圆相切；）以椭圆的焦半径为直径的圆必定与以长轴为直径的圆相切； （6）以焦点弦）以焦点弦 PQ 为直径的圆必与椭圆的准线相离（证：记为直径的圆必与椭圆的准线相离（证：记 PF1=r1，PF1=r1/，P 和和 Q 到准线的距到准线的距离记为离记为 d1和和 d1/，不难由，不难由知知 r0,b0)的渐近线方程是的渐近线方程是，即，即；2222x1y ab2222x0y abx0y ab反之，知道渐近线方程反之，知道渐近线方程求双曲线方程可设求双曲线方程可设，即，即 注意易注意易x0y ab2222xy ab2222x1y ab错：错： 焦点位置和焦点位置和的符号有
6、关！及时调整为标准式；的符号有关！及时调整为标准式；与与（即（即，可正可负但不为可正可负但不为 0）共渐近线；）共渐近线；2222x1y ab2222xy ab2222x1y ab与与共渐近线，它们互换实轴和虚轴，称为共轭双曲线，离心率满足共渐近线，它们互换实轴和虚轴，称为共轭双曲线，离心率满足2222x1y ab2222x1y ba关系关系 22111xyee3. 关于等轴双曲线：关于等轴双曲线：（1）等轴双曲线形式：）等轴双曲线形式： 或或 或或 （其中（其中 0） ；2222x1y aa 22x1y 22xy（2）等轴双曲线的渐近线为：）等轴双曲线的渐近线为：y=x；（3）等轴双曲线的离
7、心率）等轴双曲线的离心率 e= 。24. 双曲线的焦点到渐近线的距离为双曲线的焦点到渐近线的距离为 b 。5. 双曲线的焦点弦及焦点三角形的性质：双曲线双曲线的焦点弦及焦点三角形的性质：双曲线，F1（- c ,0）, F2（c ,0）分别是双曲）分别是双曲2222x1y ab线的左右焦点线的左右焦点(半焦距半焦距 ，a=)22cab12 2PFPF（1） 左焦半径公式左焦半径公式=r1= =，右焦半径公式，右焦半径公式= r2 = （记忆：（记忆：1PF0exa 2PF00exexaa高二数学（上）经验公式高二数学（上）经验公式(2) 圆锥曲线部分圆锥曲线部分第第 3 页页 共共 5 页页左加
8、右减！除绝对值外，形式与椭圆形似）左加右减！除绝对值外，形式与椭圆形似）（2）双曲线上最小的焦半径是）双曲线上最小的焦半径是= c - a ；双曲线无最大的焦半径（；双曲线无最大的焦半径（x (,a)(a,）)。1AF（3）过）过 F1的弦的弦(焦点弦焦点弦)PQ=m，与，与 F2构成三角形构成三角形 PQF2的周长为的周长为 4a2m (以双曲线的第一定义和以双曲线的第一定义和 整体思想易证整体思想易证) （4）以焦点弦）以焦点弦 AB 为直径的圆必与双曲线的准线相交（证：记为直径的圆必与双曲线的准线相交（证：记 AF1=r1，BF1=r1/，A 和和 B 到准线的到准线的距离记为距离记为
9、d1和和 d1/，不难由，不难由知知 rd 证得：证得：r1+r1/d1+d1/） 。 11 11(1,)rredd （类似地：椭圆的（类似地：椭圆的相离，抛物线的相离，抛物线的相切！）相切！）（7）焦点三角形）焦点三角形: 若若F1PF2=，则面积则面积122t2F PFSb co （8）双曲线的特殊焦点弦）双曲线的特殊焦点弦通经（圆锥曲线中，垂直于焦点所在对称轴的焦点弦称为通经）：通经（圆锥曲线中，垂直于焦点所在对称轴的焦点弦称为通经）：双曲线的通经双曲线的通经=2 ； AB2b aAB 过过 F（c,0）时，通经的端点坐标为）时，通经的端点坐标为 A(-c , ), B(-c , ) ；
10、2b a2b aAB 过过 F2（c, 0）时）时, 通经的端点坐标为通经的端点坐标为 A(c , ) , B(c , ) 。2b a2b a6求双曲线的离心率：求双曲线的离心率：离心率定义离心率定义 e =。 常将题中几何条件化为关于常将题中几何条件化为关于 a 和和 c 的二元其次方程的二元其次方程 f(a,c)=0 求解。求解。c a双曲线的第二定义：双曲线的第二定义：特别地，若特别地，若 A 为双曲线的一个顶点，则为双曲线的一个顶点，则1212(1,)rreddOF1:OA=OF2:OA= e 。焦点在焦点在 x 轴上的双曲线轴上的双曲线中，若中，若是过一、三象限的渐近线的倾斜角，是过
11、一、三象限的渐近线的倾斜角，k 为斜率，为斜率，2222x1y ab则离心率是则离心率是 e=sec=； 21k焦点在焦点在 y 轴上的双曲线轴上的双曲线中，若中，若是过一、三象限的渐近线的倾斜角，是过一、三象限的渐近线的倾斜角，k 为斜率，为斜率，2222y1x ab则离心率是则离心率是 e=csc= 。211k焦点在焦点在 x 轴的轴的与焦点在与焦点在 y 轴的轴的共渐近线，它们离心共渐近线，它们离心2222x(0)ym mab2222x(0)yn nba率满足关系率满足关系 。 22111xyee高二数学（上）经验公式高二数学（上）经验公式(2) 圆锥曲线部分圆锥曲线部分第第 4 页页
12、共共 5 页页7当当b2 0p0）上的点，则焦半径）上的点，则焦半径|PF|=P|PF|=P 点到准线的点到准线的 距离距离 d=xd=x0 0+p/2+p/2） P P（x x0 0,y,y0 0）是抛物线）是抛物线 x x2 2=2=2p py y (p0)(p0)上的点，则焦半径上的点，则焦半径|PF|=P|PF|=P 到准线的距离到准线的距离 d=yd=y0 0+p/2+p/2 （2 2） 常用数形结合与整体代入结合韦达定理求焦点弦长：常用数形结合与整体代入结合韦达定理求焦点弦长：焦点在焦点在 x x 轴的正半轴时轴的正半轴时 y y2 2=2=2p px x（p0p0）焦点弦长）焦点
13、弦长 = =（x x1 1x x2 2）+ +p p AB焦点在焦点在 y y 轴的正半轴时轴的正半轴时 x x2 2=2=2p py y (p0)(p0) 焦点弦长焦点弦长 = =（y y1 1y y2 2）+ +p p AB y y2 2=2px=2px 中，焦点弦与中，焦点弦与 x 轴所成角为轴所成角为（未必是倾斜角！倾斜角可以是钝角）（未必是倾斜角！倾斜角可以是钝角） ，则焦点弦，则焦点弦长为长为， 特别地，当特别地，当90o时，时，（通经）（通经）22 sinpAB2ABp( 3 ) y y2 2=2px=2px.通经：通经：焦点弦中以通经为最短焦点弦中以通经为最短 通经长为通经长为
14、 2p ，端点的的坐标为（端点的的坐标为（, p）和（）和（, p）2p 2p( 4 ) 经过抛物线经过抛物线 y2=2px (p0) (*)的焦点作一条直线的焦点作一条直线 交抛物线于交抛物线于 A(x1 ,y1)、B(x2, y2) ,则则ll 的方程为的方程为 x= (通经所在直线通经所在直线)，或，或 y=k(x) (*)2p 2p(*)、(*)两式联立：两式联立： 消消 x 得方程得方程， 得得 y1y2=p2（定值）（定值）2022kpkyyp消消 y 得方程得方程， 得得 x1x2=(定值定值)22 222(2 )04k pk xk pp x24p例题：例题： 若若 P1(x1 ,y1), P2(x2, y2)是抛物线是抛物线 y2=2px (p0)上不同的两点，则上不同的两点，则“y1y2=p2”是是“直线直线 P1P2过抛物线焦点过抛物线焦点 F”的充要条的充要条件件( 5 ) （由抛物线定义和梯形中位线易证）（由抛物线定义和梯形中位线易证）以焦点弦以焦点弦 AB 为直径的圆必与准线相切。为直径的圆必与准线相切。以焦半径为直径的圆必与以焦半径为直径的圆必与 y 轴相切（请证明！）轴相切（请证明！）( 6 )过过 A、B 作准线的垂线，焦点弦作准线的垂线，焦点弦 AB 与准线形成的直角梯形与准线形成的直角梯形 ABB/
