《高考数学构造新数列与数列中的放缩法(大纲版)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学构造新数列与数列中的放缩法(大纲版)（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、构造新数列与数列中的放缩法构造新数列与数列中的放缩法数列问题中的构造新数列与放缩法证明不等式在近几年高考题中经常出现。这类题目 的难度及区分度往往很大，考生不容易掌握，有时甚至无从下手。现通过几个具体问题的 分析谈谈常用的构造数列的方法与放缩手段，希望对众考生的备考有所帮助.例 1 已知数列a 满足：a =1 且.n1)2(213221naannn（1）求数列a 的通项公式；n（2）设 mN ，mn2，证明（a +）（m-n+1） nn21m1mm12分析：这是 06 年河北省高中数学竞赛的一道解答题（1）大家都知道数列的递推公式 往往比通项公式还重要.这就引导我们要重视数列的递推公式由已知有
2、 a =,学生对形如, A，B 是常数）n1121 23nna1, 0(1AABBAaann且形式的一次线性递推关系的数列通过构造新数列求通项公式的方法已不陌生，本题中的递 推关系显然不是此类型.那么我们能否也可通过待定系数法构造新数列呢?不妨设即与比)2)(2(23 211nxaxannnn11223nnncaa1121 23nnnaa较系数得 c=1.即n nna)23(21)21(23 2111nnnnaa又,故是首项为公比为的等比数列，23 21 1anna2123 23故nn na21)23(2)这一问是数列、二项式定理及不等式证明的综合问题.综合性较强.即证，当 m=n 时显然成立
3、。易验证当且仅当 m=n=2 时，(mmnmmn1) 1()232等号成立。设下面先研究其单调性。当n 时，) 1()23(nmbmnnm111111134)11 (32)11 ()23()(),11 ()23()1()23(nnmmnnmmnnbbmmnmbbnmnmnm bb即数列是递减数列.因为 n2，故只须证即证。nb,122mmbmmm1)23(2事实上，故上不等式成立。综上，49 21 25111)1(221 mmCmCmm mmm原不等式成立。无独有偶，在不到 1 个月的 06 年全国一卷高考题 22 中恰出现了本例中构造数列求通项公式的模型。有兴趣的同学可找做一做。na例 2
4、设数列满足na12, 311naaann（1）求的通项公式；na（2）若11111,1, 1nnn nnnnccdnaccbc求证：数列的前 n 项和nndb 31ns分析：（1）此时我们不妨设)(2) 1(1BAnaBnAann即与已知条件式比较系数得BAAnaann21. 0, 1BA又是首项为 2，公比为 2 的等比数列。)(2) 1(1nanann, 211naan.nanan nn n2,2 即（3）由（1）知. 当时,nnn nbna21,22n.21221121121.21 211.1)(.)()(112121123121 nnnnnnnbbbcccccccc当 n=1 时，=1
5、 也适合上式，所以，故1c1212nnc) 12)(22(1)21212121(21111 nnnnnnndb方法一：，(这步难度较大,也较关键,后一式缩至常数不易想到.nn2221Q3121n必须要有执果索因的分析才可推测出.).31)211 (31211)21(161 231.231 231,2312 nnnnnnnSdb方法二 :在数列中,简单尝试的方法也相当重要.很多学生做此题时想用裂项相消法但是发现 此种处理达不到目的.但是当 n3 时,我们看:121)221 121(.)301 151()141 71(31121 221.151 141 71 61 6171 31 ) 12()22
6、(1.15141 761 321111111nnnnnnnnnnSSS我们可重新加括号得这样由前二项会得到.310121, 0221 12111也易让学生接受步想法这样也实现了我们的初得证故显然nnnns易验证当 n=1，2 时 . 综上31ns31ns下面我们再举一个数列中利用放缩法证明不等式的问题.例 3 已知正项数列满足na)( ,) 1(1, 1211 Nnanaaannn（1）判断数列的单调性；na（2）求证：2 1) 1(111 21 11 naannnn分析：（1），即nnnnaanaa1210) 1(1故Qnnaa1故数列为递增数列.na(2) 不妨先证2 1) 1(111 n
7、aann.) 1(1 ) 1(1 ) 1(112 12 12 111naa naana aaaaaannnnnnnnnnn再证：原解答中放缩技巧太强，下面给出另一种证法111 21 11nnaann111111.31 21 211).) 1(1 ) 1(1() 1(1.321 211) 1(1.31 21)11(.)11()11(112222 1322111nnnnnnnnnaaaaaaaannn这种常用的放缩手段用到了累差迭加法及Q11121221111) 1(1) 1(1 ) 1(11nnnnnnnnnn nnnnnaaaaaana aanaaanaanaQ) 1(1 ) 1(1) 1(1
8、 ) 1(221212 nanaanaanannnnnn.,)11)(1(1也易让学生接受的这种证法还是比较自然nannn当时，2n11na nann.21 11 )2)(1(1111nnnnaann易验证当 n=1 时,上式也成立.综上,故有成立.2 1) 1(111 21 11 naannnn通过以上三例,我们发现通过递推公式,有的数列可以通过构造新数列的方法,构造出一个我 们一个较熟悉的数列,从而求出通项公式,这也是一种化归能力的体现.有的数列题目虽不能 求出通项公式,但我们可以研究其隐含的性质如单调性等来解决问题.放缩法虽然技巧性较强,但 多数均是一些常用的放缩手段.此类问题考查了学生的灵活性与分析问题及运用知识解决问 题的能力.也正为此,这种类型的题目越来越受到高考命题者的青睐
