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1、第七节指数与指数函数知识能否忆起一、根式1根式的概念根式的概念符号表示备注如果 xna，那么 x 叫做 a 的 n 次方根n1 且 nN*当 n 是奇数时，正数的 n 次方根是一个正数，负数的 n 次方根是一个负数na 零的 n 次方根是零当 n 是偶数时，正数的 n 次方根有两个，这两个数互为相反数(a0)na 负数没有偶次方根2两个重要公式(1)Error!Error!nan(2)()na(注意 a 必须使有意义)nana二、有理数指数幂1幂的有关概念(1)正分数指数幂：a (a0，m，nN*，且 n1)；mnnam(2)负分数指数幂：a (a0，m，nN*，且 n1)；mn1amn1na
2、m(3)0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义2有理数指数幂的性质(1)arasars(a0，r，sQ)；(2)(ar)sars(a0，r，sQ)；(3)(ab)rarbr(a0，b0，rQ)三、指数函数的图象和性质函数yax(a0，且 a1)图象01图象特征在 x 轴上方，过定点(0,1)定义域R值域(0，)单调性减函数增函数当 x0 时，y1性质 函数值变化规律当 x1；当 x0 时，01 进行分类讨论指数式的化简与求值典题导入例 1 化简下列各式(其中各字母均为正数)(1)；a23b112a12b136ab5(2)0.50.12 30.(279)(21027)233748
3、自主解答 (1)原式a13b12a12b13a16b56a b .1312161213561a(2)原式 3 1003100.(259)1210.12(6427)233748539163748由题悟法指数式的化简求值问题，要注意与其他代数式的化简规则相结合，遇到同底数幂相乘或相除，可依据同底数幂的运算规则进行，一般情况下，宜化负指数为正指数，化根式为分数指数幂对于化简结果，形式力求统一以题试法1计算：(1)(0.027) 2(1)0；13(17)(279)122(2) .(14)12 4ab130.12a3b312解：(1)原式 (1)221(271 000)13(17)(259)1249 1
4、45.10353(2)原式a a b b41243210032323232a0b0.425425指数函数的图象及应用典题导入例 2 (2012四川高考)函数 yaxa(a0，且 a1)的图象可能是( )自主解答 法一：令 yaxa0，得 x1，即函数图象必过定点(1,0)，符合条件的只有选项 C.法二：当 a1 时，yaxa 是由 yax向下平移 a 个单位，且过(1,0)，排除选项 A、B；当 0bc BacbCcab Dbca(2)(2012上海高考)已知函数 f(x)e|xa|(a 为常数)若 f(x)在区间1，)上是增函数，则 a 的取值范围是_解析：(1)由 0.20.40.6，即
5、bc；因为a20.21，b0.40.2b.综上，abc.(2)结合函数图象求解因为 yeu是 R 上的增函数，所以 f(x)在1，)上单调递增，只需 u|xa|在1，)上单调递增，由函数图象可知 a1.答案：(1)A (2)(，1典例 函数 yxx1 在 x3,2上(14)(12)的值域是_常规解法 yxx12x12 ，(14)(12)(12)x(12)(12)x1234因为 x3,2，所以 x8.14(12)当x 时，ymin ；当x8 时，ymax57.(12)1234(12)所以函数 y 的值域为.34，57答案 34，57高手支招1解答本题可利用换元法，即令 tx，把函数化为 yt2t
6、1，其中 t，然(12)14，8后求在这个闭区间上的二次函数的最大值和最小值即可确定函数的值域2对于含 ax、a2x的表达式，通常可以令 tax进行换元，但换元过程中一定要注意新元的范围，换元后转化为我们熟悉的一元二次关系巧思妙解 因为 x3,2，若令 tx，则 t.则 yt2t12 .(12)14，8(t12)34当 t 时 ymin ；当 t8 时，ymax57.答案为.123434，57针对训练若 00)因为 00，所以 a .13答案：131下列函数中值域为正实数集的是( )Ay5x By1x(13)Cy Dy(12)x112x解析：选 B 1xR，yx的值域是正实数集，(13)y1x
7、的值域是正实数集(13)2已知 f(x)2x2x，若 f(a)3，则 f(2a)等于( )A5 B7C9 D11解析：选 B 由 f(a)3 得 2a2a3，两边平方得 22a22a29，即 22a22a7，故 f(2a)7.3函数 f(x)2|x1|的图象是( )解析：选 B f(x)Error!Error!根据分段函数即可画出函数图象4已知 f(x)3xb(2x4，b 为常数)的图象经过点(2,1)，则 f(x)的值域( )A9,81 B3,9C1,9 D1，)解析：选 C 由 f(x)过定点(2,1)可知 b2，因 f(x)3x2在2,4上是增函数，可知 C 正确5(2012深圳诊断)设
8、函数 f(x)a|x|(a0，且 a1)，f(2)4，则( )Af(2)f(1) Bf(1)f(2)Cf(1)f(2) Df(2)f(2)解析：选 A f(2)4，a|2|4，a ，12f(x)|x|2|x|，f(x)是偶函数，当 x0 时，f(x)2x是增函数，xf(1)6若(2m1) (m2m1) ，则实数 m 的取值范围是( )1212A. B.(，512512，)C(1,2) D.512，2)解析：选 D 因为函数 yx 的定义域为0，)，且在定义域内为增函数，所以不等12式等价于Error!Error!解 2m10，得 m ；12解 m2m10，得 m或 m； 512512解 2m1
9、m2m1，即 m2m2f(n)，则m、n 的大小关系为_解析：a22a30，a3 或 a1(舍)函数 f(x)ax在 R 上递增，由 f(m)f(n)，得 mn.答案：mn9若函数 f(x)a|2x4|(a0，a1)且 f(1)9.则 f(x)的单调递减区间是_解析：由 f(1)9 得 a29，a3.因此 f(x)3|2x4|，又g(x)|2x4|的递减区间为(，2，f(x)的单调递减区间是(，2答案：(，210求下列函数的定义域和值域(1)y2xx2；(2)y .(12)32x119解：(1)显然定义域为 R.2xx2(x1)211，且 yx为减函数(12)2xx21 .(12)(12)12
10、故函数 y2xx2的值域为.(12)12，)(2)由 32x1 0，得 32x1 32，1919y3x为增函数，2x12，即 x ，12此函数的定义域为，12，)由上可知 32x1 0，y0.19即函数的值域为0，)11函数 f(x)ax(a0，且 a1)在区间1,2上的最大值比最小值大 ，求 a 的值a2解：当 a1 时，f(x)ax为增函数，在 x1,2上，f(x)最大f(2)a2，f(x)最小f(1)a.a2a .即 a(2a3)0.a2a0(舍)或 a 1.a .3232当 00，a1)的值域为1，)，则 f(4)与f(1)的关系是( )Af(4)f(1) Bf(4)f(1)Cf(4)
11、1，又 f(4)a3，f(1)a2，由单调性知 a3a2，f(4)f(1)2(2012衡水模拟)已知函数 f(x)|2x1|，af(c)f(b)，则下列结论中，一定成立的是_a0；2a0.故错；f(a)|2a1|，f(c)|2c1|，|2a1|2c1|，即 12a2c1，故 2a2c2，2acc，2a2c，不成立答案：3已知函数 f(x)ax24x3.(13)(1)若 a1，求 f(x)的单调区间；(2)若 f(x)有最大值 3，求 a 的值解：(1)当 a1 时，f(x)x24x3，(13)令 tx24x3，由于 t(x)在(，2)上单调递增，在2，)上单调递减，而 yt在 R 上单调递(1
12、3)减，所以 f(x)在(，2)上单调递减，在2，)上单调递增，即函数 f(x)的递增区间是2，)，递减区间是(，2)(2)令 h(x)ax24x3，f(x)h(x)，由于 f(x)有最大值 3，所以 h(x)应有最小值1，因(13)此必有Error!Error!解得 a1.即当 f(x)有最大值 3 时，a 的值等于 1.1已知实数 a，b 满足等式ab，下列五个关系式：(12)(13)00，a1)的单调区间和值域解：y(ax1)22(a0，a1)，设 uax.y(u1)22 在 u1，)时是关于 u 的增函数，在 u(，1)时是关于 u 的减函数，当 ax1 时，原函数的单调性与 uax的
13、单调性相同；当 ax1，ax1x0；ax0，在(0，)上，函数 ya2x2ax1 是增函数；在(，0上，函数 ya2x2ax1 是减函数ax0，函数值域是2，)第八节对数与对数函数知识能否忆起1对数的概念(1)对数的定义：如果 axN(a0 且 a1)，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 xlogaN，其中 a 叫做对数的底数，N 叫做真数当 a10 时叫常用对数记作 xlg_N，当 ae 时叫自然对数，记作 xln_N.(2)对数的常用关系式(a，b，c，d 均大于 0 且不等于 1)：loga10.logaa1.对数恒等式：alogaNN.换底公式：logab.logcblogca推广 logab，logablogbclogcdlogad.1logba(3)对数的运算法则：如果 a0，且 a1，M 0，N0，那么：loga(MN)logaMlogaN；logalogaMlogaN；MNlogaMnnlogaM(nR)；log amMn logaM.nm2对数函数的概念(1)把 ylogax(a0，a1)叫做对数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是(0，)(2)函数 ylogax(a0，a1)是指
