高阶谱理论中的若干问题解析

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1、四川师范大学学报（社会科学版） 2007 年 12 月 Journal of Sichuan Normal University(Social Sciences Edition) Dec,2007346高阶谱理论中的若干问题解析高阶谱理论中的若干问题解析胡念青胡念青 （四川师范大学文理学院，四川 成都 610110）摘要：摘要：本文详细阐述了在信号处理中引入高阶谱（PolySpectrum）理论的重要意义；给出了高阶谱的准确数学定义及相关性质，系统介绍了高阶谱估计的经典算法和现代算法；首次提出了现代算法中的模型阶次判别理论；并分析讨论了非线性系统X2（t）+aX(t)与线性系统 h(t)在级联

2、与并联情况下对线性部份的辨识问题；分析讨论了在非高斯假定下、最小相位条件不成立时，过程（模型）传递函数的相位谱估计问题。关健词：关健词：高阶谱；信号处理；模型辨识作者介绍：胡念青，男，四川师范大学文理学院计科系系主任、副教授。一一 引论引论 谱分析在随机过程论、时间序列分析及信号处理中属于一个非常重要的理论问题，也是一个极为有用 的处理工具。由维纳创建的功率谱理论，已成为谐波分析、参数估算、信号模型识别、系统辨识及预测控 制等多种问题中不可缺少的应用工具。然而，必须看到，与过程的二阶矩相联系的功率谱无论在理论上， 还是在应用中都存在着无法避免的局限性。特别是在非高斯及非线性问题的处理中更是如此

3、。因为功率谱 仅包含了过程与二阶矩相当的信息量，故只有在高斯情况下，它才能给过程以完整的统计描述。相反在非 高斯及非线性情况下，它对过程所能提供的信息描述，便显得极为不够了。由此，前苏联著名的工程数学 家 Kolmogorov 提出了将高阶(大于二阶)矩作付里叶变换这一思想，并进一步发展由 Shiryaev 提出了高阶 谱的概念。之后，由 Brillinger 初步建立了高阶谱理论，并逐步在海洋波、地震波分析、经济时间序列 分析、流体力学及无线电信号处理中找到了广泛的应用。那么到底引用高阶谱理论对实际的工程问题的分 析处理有何价值和意义呢？我们试图首先通过对无线电信号处理中的几个问题的分析来对

4、此予以阐释。 1. 非线性信号模型分析 我们知道，任何具有连续功率谱的平稳随机过程 Xt 均能找到一个一般的非线性模型表示：Xt=，其中为一个不相关的过程。tt如果 Xt 的功率谱密度函数 PSD 满足这 Poley-Winer 条件，则上述表达式可以给出单边形式：Xt= 0uutug胡念青 高阶谱理论中的若干问题解析347显然，是一个不相关的过程( E=0 )。这一点仅仅包含了过程的二阶信息。tt t只有在高斯情况下，才能得到 Xt 的完整统计描述。相反，则可以看到这一信号模型之缺陷。例如在预测 问题中，仅依赖这一线性模型，预测精度将得不到保证。于是便相应产生了非线性信号模型。这里我们考虑维

5、纳模型：Volterra 级数形式，Ut 为输入，Xt 为输出：Xt=+ 0uutuUgvt uvutuvUUg00+wt uvvt wutuvwUUUg000引入所谓的广义传递函数： euiwuugw11 0)(1 evwuwiuvuvgww)(0022121),(ewwvwuwiuvwuvwgwww)(0003213321),(假定平稳输入过程：Ut=)(wdzeuiw则 Xt=+)()(1111wdwzeuitw+)()(),(2121121)(wdwdwwwwzzeuuit +),(3211321)(wwwwwweit +)()()(321wdwdwdzzzuuu其中，表示了 Ut 中

6、 w1、w2处的频)()(),(21211wdwdwwzzuu率分量对 Xt 中 w1+w2处的频率分量之贡献，余类推。当假定 Ut=时， 则：Xt=etiwA0胡念青 高阶谱理论中的若干问题解析348+etiwwA0)(01etiwwwA020,022)( etiwwwwA030,0,033)(由此可以看到非线性因素的作用。输出中不再仅仅包含单一的频率分量 w0了，而是出现了所谓频率增 值现象。因此，我们已不可能仅仅利用二阶特性来确定上述各级传递函数了。为此，必须引进高阶谱。 假定 Xt 中的 K 阶中心自矩为：C(s1，s2，sk-1)= EXtXt+s1Xt+sk-1EXtEXt+s1E

7、Xt+sk-1 则可以定义 K 阶谱：hk(s1，s2，sk-1)= 以ekkkswswissk).(1-k211 21111111)ssC(s.)(同样的方式还可引进两个过程 Xt 和 Yt 之间的高阶互谱。 下面考虑特殊情况，即 Xt 的 Volterra 级数中只包含一个单一项：Xt=vt uvutuvUUg00且 Ut 为高斯，则：Xt=)()(),(2121121)(wdwdwwwwzzeuuit Xt 与 Ut 这三阶互矩为：EXtUt+s1Ut+s2 =),(211423121)()()(wwwwwwestistiit E)()()()(4321wdwdwdwdzzzzuuuu由

8、于是高斯的(Ut 为高斯过程)，则积分号的那四项积之均值可以分解为三项两两相乘)(wdZu之均值的和。即：EE)()(21wdwdzzuu)()(43wdwdzzuu+ EE)()(31wdwdzzuu)()(42wdwdzzuu+ EE)()(41wdwdzzuu)()(32wdwdzzuu而 E=0 w1+w20；)()(21wdwdzzuuE=hu(w1)dw1 w1+w2=0；)()(21wdwdzzuu其中 hu(w)为过程 Ut 之功率谱密度函数。 EXtUt+s1Ut+s2 =胡念青 高阶谱理论中的若干问题解析349 +1),(112dwww 3321)(3)(dwwhuwssi

9、e +4343432)()(),(4231dwdwwwwwhheuuwswis 4343342)()(),(4231dwdwwwwwhheuuwswis 上式中之第一项恰为 EXtEUt+s1Ut+s2所以将积分变量 w3、w4换为 w1、w2，有：Cuux(s1，s2) EXtUt+s1Ut+s2= EXtEUt+s1Ut+s2+22121212)()(),(2211dwdwwwwwhheuuwswis 由高斯互谱的定义(即它与高阶互矩之关系)，有：huux(w1，w2)=2 )()(),(21212whwhwwuu于是：)()(2),(),( 2121221whwhwwhww uuuux由

10、此，我们可以看到引入高阶谱可以估计出单一的各级级数，当 Xt 的 Volterra 级数展开中包含多个 项式时，可以用维纳分析法将级数展开式重写为一系列正交项之和。其中引入 Hermite 多项式，这样由新 的参数构成的传递函数便可应用上面推导的表达式予以估计。 1. 谐波分析中二次相位对的判别问题 在谐波分析中存在这样的一种现象，即由于两个谐波分量的相互作用，将可能在差频或和频处产生一 个新的频率分量。这种由于某种非线性因素的存在而引起的相位关系，称为二次相位对，一个简单的例子 便是幅度调制。 显然，二次相位对仅可能出现在谐波相关的地方(即三个频率分量处，一个是另外两个之和或之差)。 在某些

11、实际应用中，需要判断功率谱中谐波相关处的峰值能量到底是否由二次相位对所引起。 由于功率谱完全忽略了相位关系，因此，它不可能对此问题给出解答。于是我们引入 Bispectrum 理 论。例：过程 X(n)= 61)cos( iiin其中 120、450、3=1+2、6=4+5，1、2、3、4、5 为独立的0，2 上均匀分布之随机变量，6=4+5。显然(1、2、3)、 (4、5、6 )均为谐波相关。但只有 6处的能谱分量是由二次相位对导致的。即 4、5的能谱分量因某种非线性因素的存在而在 6=4+5处产生了一个新的能谱分量。而 3处的能谱分量却是独立的。 该过程的功率谱中包含了 6 个脉冲分量，从

12、功率谱的谱象中，是无法检验出二次相位对是否存在。考查 Xn 的三阶自矩 R(k,l) EX(n)X(n+k)X(n+l)R(k,l)=1/4cos(4l+5k)+ cos(4l+6k)+ cos(4k+5l)+ cos(6k-5l)+ cos(4k-6l)+ 胡念青 高阶谱理论中的若干问题解析350cos(5k-6l) 非常重要的，我们发现：三阶自矩中仅仅包含了二次相位对所对应的频率分量。利用其付氏变换，得 到 Bispectrum 在其谱象中，频率(4、5)处将会出现一个峰值，它直接标明了二次相位对出现的地方， 而在(1、2)处都不存在这样一个峰值。因此，这个事实给我们提供了一个极为有用的方

13、法，即以 Bispectrum 作为工具，来判别在谐波相关处是否存在二次相位对。 综上所述，从我们对无线电信号处理中几个问题的分析中，我们看到了高阶谱理论中对于功率谱理论 所无法解决的问题。诸如非高斯、非线性情况下一些信号处理问题，提供了一个极有价值、极富意义的手 段。二二 高阶谱的定义及性质高阶谱的定义及性质 定义：假定 (k)为一由一类离散或连续 K 重随机过程X1(t)Xk(t)构成的一个集合，它满足下列 三个条件：A. 对于 1jk 和 1h1,hkk， 存在。).(1.1jhhttmk这里表示 K 阶互乘矩：E).(1.1jhhttmk)().(11jhhttxxjB. 对于 1jk

14、，=).(1.1ututjhhmk).(1.1jhhttmkU 为常数，连续情况下- u ，离散情况 U=0，1，2， 该条件实为一联合平稳假定。C. 对于 1jk，在勒贝格测度中，平面 w1+w2+wj=0 上存在绝对连续的增量(w1+w2+wj) dw1dw2dwj).(1.1jhhwwCk其中 (w)为狄拉克 delta 函数，并满足=).(1.1jhhwwCk(w1+w2+wj) dw1dw2dwj ejjtwtiw).(11.).(1.1jhhwwCk其中为 j 阶中心矩。).(1.1jhhwwCk如果一个 K 重随机过程X1(t)Xk(t)属于上述定义的集合 (k)，则 被定义为该过程的 K-1 阶高阶谱(polyspectrum)。上面给出了高阶谱的一般定义。它实质上为一种互谱，因它涉及了 K 个过程 X1(t)Xk(t)。下面我们将上述定义局限于一个单一的随机过程 X(t)，即假定 X(t)X(t)(K 个 X(t)，属于集合 (k)，则有：=).(1kxttC(w1+w2+wk) dw1dw2dwk ekktwtiw).(11.).(1kxwwC于是简称为随机过程 X(t)的 K-1 阶谱。上述积分，其积分限为-：离散).