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1、2008 年江苏省普通高校年江苏省普通高校“专转本专转本”统一考试统一考试高高等等数数学学一、单项选择题(本大题共一、单项选择题(本大题共 6 小题,每小题小题,每小题 4 分,满分分,满分 24 分)分)1、设函数在上有定义,下列函数中必为奇函数的是 ( )(xf),()A、B、)(xfy)(43xfxy C、D、)( xfy)()(xfxfy2、设函数可导,则下列式子中正确的是 )(xf( )A、B、)0()()0(lim0fxxffx)()()2(lim000xfxxfxxfxC、D、)()()(lim0000xfxxxfxxfx)(2)()(lim0000xfxxxfxxfx3、设函数
2、,则等于 )(xf122sin xdttt)(xf( )A、B、C、D、xx2sin42xx2sin82xx2sin42xx2sin824、设向量,则等于 ( )3 , 2 , 1 ( a)4 , 2 , 3( b ba)A、 (2,5,4)B、 (2,5,4)C、 (2,5,4)D、 (2,5,4)5、函数在点(2,2)处的全微分为 ( xyzlndz)A、B、C、D、dydx21 21dydx21 21dydx21 21dydx21 216、微分方程的通解为 ( 123 yyy)A、B、12 21xxececy212 21xxececyC、D、12 21 xxececy212 21 xxe
3、cecy二、填空题(本大题共二、填空题(本大题共 6 小题,每小题小题,每小题 4 分,满分分,满分 24 分)分)7、设函数,则其第一类间断点为 .) 1(1)(2xxxxf8、设函数在点处连续,则 .)(xf, 0,3tan, 0,xxxxxa 0xa9、已知曲线,则其拐点为 .543223xxxy10、设函数的导数为,且,则不定积分 .)(xfxcos21)0(fdxxf)(11、定积分的值为 .dxxx1121sin212、幂函数的收敛域为 .12nnnnx三、计算题(本大题共三、计算题(本大题共 8 小题,每小题小题,每小题 8 分,满分分,满分 64 分)分)13、求极限:xxxx
4、3)2(lim14、设函数由参数方程所决定,求)(xyy Znnttyttx ,2,cos1,sin22 ,dxyd dxdy15、求不定积分:.dxxx 1316、求定积分:.10dxex17、设平面经过点 A(2,0,0) ,B(0,3,0) ,C(0,0,5) ,求经过点P(1,2,1)且与平面垂直的直线方程.18、设函数,其中具有二阶连续偏导数,求.),(xyyxfz)(xfyxz 219、计算二重积分,其中 D 是由曲线,直线及所围成 Ddxdyx2xy12,xxy0y的平面区域.20、求微分方程的通解.22xyxy四、综合题(本大题共四、综合题(本大题共 2 小题,每小题小题,每小
5、题 10 分,满分分,满分 20 分)分)21、求曲线的切线,使其在两坐标轴上的截距之和最小,并求此最小值.)0(1xxy22、设平面图形由曲线,与直线所围成.2xy 22xy 1x(1)求该平面图形绕轴旋转一周所得的旋转体的体积.x(2)求常数,使直线将该平面图形分成面积相等的两部分.aax 五、证明题(本大题共五、证明题(本大题共 2 小题,每小题小题,每小题 9 分,满分分,满分 18 分)分)23、设函数在闭区间上连续,且,证明:在开)(xfa2 , 0)0(a)()2()0(afaff区间上至少存在一点,使得.), 0(a)()(aff24、对任意实数,证明不等式:.x1)1 (xe
6、x20082008 年江苏省普通高校年江苏省普通高校“专转本专转本”统一考试统一考试高高等等数数学学参参考考答答案案1、B 2、A 3、D 4、C 5、A 6、B 7、0 8、3 9、 (2,17) 10、 11、 12、cxx21cos2, 213、,令,那么6233)21 (lim)21 (lim)2(limxxxxxxxxxx 2xy.6631)11 (lim)2(limeyxxyxxx14、.sin)(cos)(cos1)(sin)(ttxttyttxtty ,.)cos1 (1)()()()()( cos1sin )()(2322ttxtxtytxty dxyd tt txty dx
7、dy , ,15、Cxdxxxdxxxddxxxdxxx1ln) 1(1) 1( 11 1233.1ln2323 Cxxxx16、101021 1 021 211021 211022110)(222)(21 21 21 21 21 21 dxeexdeedxxexdedxexxxxxx. 22222222101 021 21 21 eeeedxeexx17、由题意得:,那么法向量为,)032( AB)5 , 0 , 2( AC).6 ,10,15(032250225003 ,ACABn18、.221,fxyfxz)1(212221212112 ,fxfxyffyxz 223 212 22 12
8、 1111fxyfxyfxfxf19、1002110222xxDdyxdxdyxdxdxdyx10212 12 1 04 3 47 23 41 24xxxdxdxx20、积分因子为.1)(2ln22xeexxdxx 化简原方程为22xyxy,.2xxy dxdy在方程两边同乘以积分因子,得到21 x.1232xxy dxxdy化简得:.1)(2xdxyxd等式两边积分得到通解 .1)(2 dxxdxyxd故通解为Cxxxy22ln21、令,那么 x 和 y 的偏导分别为,yxyxF1),(2 0001),(xyxFx. 1),(00yxFy所以过曲线上任一点的切线方程为:),(00yx. 01
9、0 2 00yy xxx当 X0 时,y 轴上的截距为.0 01yxy当 yo 时,x 轴上的截距为.002 0xyxx令,那么即是求的最小值.002 00 0001),(xyxyxyxF),(00yxF而,故当时,取到最小值 4.4)1(211),(0 00 00 000xxxxxxyxF100 yx22、 (1).101 05 44 53 53)4(xdxxxV(2)由题意得到等式:122022)2()2( aadxxxdxxx化简得:aadxxdxx 0122.解出 a,得到:,故213a.2131a23、令,那么,)()()(xfaxfxg)()2()(afafag).0()()0(fafg由于,并且在上连续.0)0()(gag)(xga,0故存在,使得,即.)0(a,0)(g)()(aff24、将用泰勒公式展开得到:xe 2 ! 21 ! 111xxex代入不等式左边:131 211)! 21 ! 111)(1 ()1 (322 xxxxxexx