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1、40四、一元二次方程式四、一元二次方程式就一般而言,凡是使得方程式等號成立的數稱之為方程式的解;解;而使得多項式的值為零的數稱之為多項式的 根根。因此,一元二次方程式的解就是所對應的二次多項式的根。所以,我們也稱此類 方程式的解為根。我們將首先介紹常見的一元二次方程式的三種解法: 因因式式分分解解法法、配方法配方法和公式解公式解。然後,利用判別式來探討兩根的特性,最後再討論根與係數之間的關係。4-1 一元二次方程式的解法一元二次方程式的解法【因式分解法因式分解法】因為一元二次方程式(a、b 和 c 為實數且 a0)的左20axbxc式為二次多項式,如果我們能將這個多項式因式分解成兩個一次多項式
2、的乘積,就很容易求得方程式的解。我們以下面的例子來說明這種解法。【範例範例 1】求的解。22151xx 【解解】 利用移項可把原方程式改寫為= 0。2252xx由因式分解,可得= 2252xx(21)(2)xx因此,原方程式改寫為= 0(21)(2)xx所以,可得或210x 20x即或。1 2x 2x 【類題練習類題練習 1】求的解。231030xx41【配方法配方法】我們也可以利用平方根的概念來解方程式,例如將改2420xx寫為的形式,進而解得。其過程如下:2(2)2x22x 2420xx242xx 兩邊同加 2222222222xx 左式可寫成完全平方式 2(2)2x右式為正,兩邊開平方
3、22x 22x 上面的例子是利用配成完全平方式的方法,先將方程式改寫成(xh)2k 的形式。當時,我們就可以利用平方根的概念來解題:0k即 2()0xhk兩邊同時開方 xh = k移項 x = hk註:x = 表示 x = 或 x = 。hkhkhk我們將這個方法稱為配方法,也就是配成完全平方的意思。以下的例題繼續來說明這種解法。【範例範例 2】求下列各方程式的解:(1) (2) 2680xx22460xx【解解】 (1) 2680xx2238xx 22223383xx 2(3)1x31x x3 = 1 或 x3 =1 x = 2 或 x = 442(2) 22460xx2230xx223xx
4、22221 13 1xx 2(1)4x12x 或12x 12x 或1x 3x 在上例中,我們當然也可用十字交乘法來做因式分解。但下面的例題,因不易做因式分解,所以配方法會成為一個很好用的解法。【範例範例 3】求下列各方程式的根:(1) = 0 (2) = 0262xx2354xx【解解】 (1) 2620xx262xx 22223323xx 2(3)7x37x 或37x37x 或37x 37x 註:我們常以 x = 來表示 x = 或 x = 3737 。37(2) 23540xx2354xx254 33xx22255452( )( )6636xx 2573()636x= 5 6x73 657
5、3 6x 43觀察:在範例 3 第(1)題中,兩個根的和為,(37)(37)6兩個根的積為= 2。(37)(37)223( 7)97 在範例 3 第(2)題中,兩個根的和為= ,573573 66 5 3兩個根的積為= = =。573573 66 222( 5)( 73) 648 364 3同學們能看出這兩個方程式的兩根和與積似乎和方程式的係數之間有著某種關係嗎?【類題練習類題練習 2】利用配方法求下列各式的解:(1) = 0 (2) = 0231xx2432xx【公式解公式解】將配方法運用在一般式(a0)的求解時,其步驟如下:20axbxc方程式(a0)20axbxc兩邊同除以a20bcxx
6、aa常數項移到右邊2bcxxaa 在左右二式同加2()2b a2222()()222bbcbxxaaaa 左式可化為完全平方 2 2 24()24bbacxaa這個結果與前面(xh)2 = k 的形式相同,因為恆為正數或2()2bxa0,所以當時,我們得到042 acb,224 24bbacxaa 44即(或寫成 x) 。24 22bbacxaa 24 2bbac a 也就是說,當時,方程式的解為:240bac20axbxc或 x = 24 2bbacxa 24 2bbac a 雖然利用配方法解一元二次方程式的程序較為複雜,但觀察其過程,每一步驟都有跡可循。若避開繁複的運算過程,直接將方程式的
7、係數代入這個解的通式,即可得到方程式的解。因此,我們利用上面的通式求解,稱為公式解公式解。雖然我們將在下一節中,才會完整的討論如何由的符號來24bac了解方程式兩個根的特性,在這裡仍先稱為根的根的20axbxc24bac判別式判別式。【範例範例 4】用公式解求的解。2620xx【解解】 先檢驗判別式是否大於 0 或等於 0。因為280,所24bac以方程式有實數解。由公式解得知:x = ( 6)28 2 1 = 62 7 2= 37【類題練習類題練習 3】利用根的公式解下列方程式:(1) (2) 2310xx 24320xx我們可以利用一元二次方程式的解法,來解某些類型的方程式,現在來看下面的
8、例子。45【範例範例 5】已知一個正數比其倒數的兩倍多 1,求此數。【解解】 設此正數為 x。依題意列式121xx兩邊同乘以 x,得22xx移項得一元二次方程式220xx = = 022xx(1)(2)xx x = 2 或 x = 1(不合題意) 所以,此正數為 2。【類題練習類題練習 4】解方程式。236xx【範例範例 6】一個長為 a,寬為 b 的矩形,如果它的長與寬滿足的bab ab關係,我們稱之為黃金矩形黃金矩形 。求黃金矩形的長與寬的比值 為何?【解】 令。axb 1bababa abbbb 111baxabx 再來解。11xx兩邊同乘以 x,得 21xx移項得 210xx 利用根的
9、公式,可得x =2( 1)( 1)4 1 ( 1) 2 1 所以,x = 或 x = (負的不合) 。15 215 246因此,長與寬的比值為(約為 1.62) 。15 2【類題練習類題練習 5】解方程式。22113 16xx xx【家庭作業家庭作業】1. 解下列各方程式:12171026xx 22(3)2(3)30xx3236xx420.50.10.5xx2. 已知為的一根,求 a 的值及另一根。1 2230axxa3. 設為方程式的一根,求 c 的值。2210442cxx4. 已知可化為的形式,求 p、q 的值。121632 xxqpx2)(3利用求方程式的兩根。21021632 xx5.
10、 解下列各方程式:151 71x x2252xx3 31 21 41 11 xxxx6. 若 x 滿足,求的值。44xxxx17. 已知某水果商人以6000 元買進芒果一批。淘汰賣相不佳的芒果30 公斤,其餘的以每公斤按成本價加10 元賣出,商人共得款8100 元。問此商人原先買進芒果多少公斤?474-2 根的判別根的判別在前一節中,我們利用配方法將方程式(a0)改寫為 20axbxc。因為恆為正數或 0,所以右式中2 2 24()24bbacxaa2()2bxa224 4bac a的分子必須為正數或 0,方程式才會有實數解。當0 時,24bac24bac我們不可能找到一個實數 x 使得等於,
11、所以2()2bxa224 4bac a沒有實數解。因此,一個一元二次方程式有沒有實數解,20axbxc便可由,或來判別,故稱為根的判別式根的判別式240bac240bac24bac或簡稱為判別式判別式 。現在將方程式根的判別規則整理如下:20axbxc(1) 若,則方程式的兩根為:240bacx = 或 x = 24 2bbac a 24 2bbac a 因為兩根均為實數且不相等,所以稱此方程式有兩個相異實根兩個相異實根。(2) 若,則兩根為相等實數。所以稱此方程式有兩個相等兩個相等240bac實根實根,並常以 x =(重根重根)來表示。2b a(3) 若,則此方程式無實根無實根。240bac
12、註:當數系由實數擴充到複數時,此方程式就會有兩個複數根。【範例範例 1】判別下列方程式兩根的性質:(1) (2) (3) 2350xx22560xx2690xx【解解】 (1) 判別式22434 1 ( 5)290bac 方程式有兩個相異實根:x = 2334 1 ( 5)329 2 12 (2) 判別式224( 5)42 6230bac 方程式沒有實數解(3) 判別式22464 ( 1) ( 9)0bac 方程式有一個二重根:48x = 2664 ( 1) ( 9) 2 ( 1) = = 3(重根)60 2 【範例範例 2】已知一元二次方程式有一個二重根,求 a 的值。220axax【解解】
13、 原方程式有一個二重根判別式等於 0即 2420aa (8)0a a或0a 8a 因為二次項係數 a 不能為 0,所以 a = 8。【類題練習類題練習】已知 a 為正整數且方程式有兩個相異根,求230xax a 的最小值。【家庭作業家庭作業】1. 判別下列方程式兩根的性質:102082 xx203762 xx3018162 xx2. 設 a 為任意實數,請問兩根的性質為何?122aaxx3. 已知有一個二重根,求 k 的值。0)24(32kxkx4. 設 m、n 為相異兩數,請判別兩根的性222()2()20mnxmn x 質。494-3 一元二次方程式的根與係數的關係一元二次方程式的根與係數的關係現在來探討在 4-1 的範例 3 中所提到的,兩根的和、兩根的積與係數之間的關係。設、為方程式的兩根,因此可化成20axbxc20axbxc。我們知道()()0a xx2()()axbxca xx2()()()bca xxa xxaa2()()bcxxxxaa2bcxxaa2()xx經由比較係數,得到+及。因此,我們發現一元二次方b a c a程式的根與係數間有以下的關係:若的兩根為、,則+及。20axbxcb a c a事實上,直接由公式解也可得到