实变函数与泛函分析

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1、实变函数与泛函分析实变函数与泛函分析习题解答与提示 习题 1. 1 1. x A U ( B U C ) x A 或 , x B U C x A 或 x B 或, x C x A U B 或 x C x ( A U B) U C . x A (B C) x A , 且 , x B C x A , x B 且 x C x A B 且 x C x ( A B) C . 因 A B A (B C) , A C A (B C) , 所 以 ( A B) ( A C ) A ( B C ) . 另 方 面 x A ( B C ) x A 且 x B C x A ,且x B 或 x C x ( A B)

2、( A B) . 因 A (B C) A B , A (B C) A C , 所 以 A ( B C ) ( A B) ( A C ) .另方面 x A U B 且 x A U C x A 或 x B C x A (B C) . x A( B ) x A 且 . x B , x A B x ( A B ) . 2. 因 A U B ( U A ) U ( U B ) , 所 以 , U ( A U B ) (U A ) U (U B ) . 另 一 方 面 U A U ( A U B ) U B U ( A U B ) ,所以 (U A ) U (U B ) U ( A U B ) . 因 :

3、 ( A ) ( B ) A B , 所 以 , ( A ) ( B ) ( A B ) . 另 方 面 : 因 ( A B ) A ( A B ) B ,所以 ( A B ) ( A ) ( B ) . 3. A B x B ,则 x A x B .则 x A B A . C C C C x A B x A ,且 x B x A ,且 x B x A I B . C C 4. A ( B C ) = A ( B C C ) = ( A B ) ( AC C C ) = ( A B ) ( A C ) C = ( A B) ( A C ) . ( AB) ( A B) = ( A B) ( B

4、 A) ( A B) = ( A B) ( A B) ( B A) ( A B) = A U B . 5. U A ( x) = 1 x U A : x A max A ( x) = 1 . A ( x) = 0 x A : x A min A ( x) = 0 . lim A ( x) = 1 x lim An x 属于无穷多个 An x An ( x) 有无 n n n 穷多项为 1 lim An ( x) = 1 . n lim An ( x) = 1 x lim An n0 .当 n n0 时 x An n0 ,当 n n n n0 时 An ( x) = 1 lim An ( x)

5、= 1 . n 6. 因 Bn +i An = . Bn An ,所以 Bn+i Bn = ,即 Bn 互不相交.显 然 A1 = B1 ,设 U Ai =U Bi ,则 U Bi = (U Bi ) U Bn+1 = (U Ai ) U ( An+1 U Ai ) = U Ai . i =1 i =1 i =1 i =1 i =1 i =1 i =1 n n n +1 n n n n +1 7. lim An = (0, +) , lim An = . n n 习题 1. 2 1. y f ( A ) x A : y = f ( x) : y f ( A ) y f ( A ) . A =

6、(1, 0) , B = (0, 1) , f ( A) f ( B) = (0, 1) . 2. f ( x) = x 2 . 则 A B = , x f 1 ( U C ) f ( x) U C : f ( x) C : x f 1 (C ) x Uf 1 (C ) . , 且 x f 1 (C D) f ( x) C D f ( x) C f ( x) D x f 1 (C ) ,且 x f 1 ( D) x f 1 (C ) f 1 ( D) . f 1 (C C ) = f 1 (Y C ) = f 1 (Y ) f 1 (C ) = f 1 (C )C . x A f ( x) f

7、 ( A) x f 1 f ( A) . y ff 1 (C ) x f 1 (C ) : f ( x) = y y = f ( x) C . 3. “ “ y C Y .因 F ( X ) = Y ,所以 x X 使 y = f ( x) ,故 x f 1 (C ) .所以 y = f ( x) f f 1 (C ) 相反包含总是成立的. “取 “ C =Y . 4. (1) (2): y f ( A) f ( B) y f ( A) 且 y f ( B ) x1 A , x2 B ,使 f ( x1 ) = f ( x2 ) = y .由于为单射,所以 x1 = x2 = x A I B

8、,故 y = f ( x) f ( A B) , f ( A) f ( B) f ( A B) . 即 而相反包含关系总成立. (2) (3):若 x f 1 f ( A) A x1 A, f ( x1 ) = f ( x), x A .于 1 是 f (x1 x) f (x1) f (x) 与 2 矛盾.所以 f 反包含关系总成立. (3) f ( A) A ,而相 因 (4) : f 1 f ( X A)= X A = f 1 f ( X ) f 1 f ( A) = f 1 f ( X ) f ( A) 及 f ( X ) f ( A) f ( X A) . 所以 f ( X A) =

9、f ( X ) f ( A) . (4) (1) : 因 f ( x1 ) = f ( X ) f ( X x) , 所 以 f ( x1 ) f ( X x) .故 x x1 时 f ( x) f ( x1 ) . 5. y = tan 6. 2 x. N (0,0,1), A( , , ), B( x, y,0) , A 为 单 位 球 面 上 的 点 , 即 1 2 2 + 2 + ( ) 2 = 1 , 7. 令 A = x = y = 1 . U A , B= U B 作 f : A B 如下: 对 x A . ! , x A ,令 f ( x) = f ( x) ,则 AB. 8.

10、 x E f a lim f n ( x) = f ( x) a, x E k , N , 当 n N 时有 f n ( x) a 1 x k k =1 E f N =1 n = N n 1 a k 9. lim f n ( x) = f ( x) k , N ,当 n N 时有 n f n ( x) f ( x) C ,即 F 2 0,1 . 2 2 3. 证:对 r R ,令 f ( x) r .则 f C a ,b .于是 C a ,b R = c .设 1 1 a, b 中 的 有 理 数 全 体 为 r1 , r2 , f f (r1 ), f (r2 ), , rn , , f C

11、 a ,b . 令 , f (rn ), . 则 这 是 从 C a ,b 到 E 的 一 个 单 射 . 从 而 C a ,b E = c ,故 C a ,b = c . 4. 设 I 为任意区间,取 (a, b) I (,+) 因为 (a, b) 与 (,+) 的基 数为 c,故 I 的基数为 c. 5. 设 F 为直线上闭区间所成之集,因0, r F , (r 0) ,故 (0,+) 对等 于 F 的一个子集.所以 F c .另方面, a, b F , a, b (a, b) R , 2 故 F 与 R 的一个子集对等,所以 F R = c ,于是 F = c . 2 2 6. 证:因为

12、 X i = c ,不妨设 X i = R ,令 a x1 , x2 , x1 , x2 , 1 .则 A E .于是 A = E = c . 7. 证:由于 A B = c ,所以存在从 R 到 A B 上的一一映射 .若 2 A 0, O( x, ) A .当 x A 时,有 (O( x, ) x) A = O( x, ) A .所以 x A .总之 x A . x 若 则 设 A E , E . x A , A 中常值点列 x, x, 收敛于 x ; x A , x A . 若 则 从而有 A 中各项互不相同的点列 xn 收敛于 x ,总之存在 A 中点列 xn 收敛于 x . 设对 x

13、 E ,总存在 A 中点列 xn 收敛于 x ,则以 0 ,当 n 充分大时有 xn O( x, ) .故 O( x, ) A .所以 A 在 E 中稠密. 4. 证:设 x0 E f a ,令 = f ( x0 ) a 0 .由 f 在 x0 处连续,存在 0 ,当 x x0 f ( x ) f ( x 0 ) = a . 于 是 ( x0 , x0 + ) E f a ,即 x0 是 E f 0 的内点.从而 E f a 是开集.类似可证 E f 0 . 由 题 设 E = x f ( x ) f ( x0 ) + , 为 闭 集 , 于 是 E1 = x f ( x) f ( x0 ) 均 x0 x f ( x0 ) 0 ,使 O( x0 , ) a,