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1、2012 学年第一学期温州中学高二期末考试数学（理科）试卷学年第一学期温州中学高二期末考试数学（理科）试卷一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合有一项是符合题目要求的）题目要求的）1.若复数21 (1) ()zaai aR 是纯虚数，则| z等于（ ）A.0 B.2 C.0 或 2 D.2 2.在空间直角坐标系中，若向量13( 2,1,3)(1, 1,1)(1,)22abc rrr，则它们之间的关系是（ ）A./ /abacrrrr且 B.abacrrrr且 C
2、./ /abacrrrr且 D./ / /abacrrrr且 3.对任意xR，不等式|1|axx恒成立的一个充分不必要条件是（ ）A.1a B.1a C.1a D.1a 4.曲线1 2yx和2yax在它们的交点处的两条切线互相垂直，则实数 a 的值是（ ）A.41 2B.41 2 C.41 2 D.不存在5.如图，长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB=AA1=2，AD=1，E 为 CC1的中点，则异面直线 BC1与 AE 所成角的余弦值为（ ）A.1010B.1030C.1060D.101036.函数 31105yxx 的最大值是（ ）A.5 B.3 C.2 2 D.147.如图是从事网络
3、工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字 1 出现在第 1 行；数字 2，3 出现在第 2 行；数字 6，5，4（从左至右）出现在第 3 行；数字 7，8，9，10 出现在第 4 行；依此类推若 2013 是第 m 行从左至右算的第 n 个数字，则（m，n）为（ ）A.（63，60） B.（63，4） C.（64，61） D.（64，4） 8.已知双曲线22221(0,0)xyabab的两焦点为21,FF，过2F作x轴的垂线交双曲线于BA,两点，若1ABF内切圆的半径为a，则此双曲线的离心率为（ ）A.2 B.31 2C.3 D.51 29.已知0t ，关于x的方程2341xtx有相异实根的
4、个数情况是（ ）A.0 或 1 或 2 或 3 B.0 或 1 或 2 或 4 C.0 或 2 或 3 或 4 D.0 或 1 或 2 或 3 或 410.若对可导函数( )f x，恒有2 ( )( )0f xxfx，则( )f x（ ）A.恒大于 0 B.恒小于 0 C.恒等于 0 D.和 0 的大小关系不确定 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分）分）11.命题“若 x0 且 a1）在区间(0,)上恒成立的实数 a 的取值范围是 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 3 小题，共小题，共 36 分，解答应写出文字说明、证明过
5、程或演算步骤）分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（10 分）如图，在组合体中，ABCDA1B1C1D1是一个长方体，PABCD是一个四棱锥AB=2，BC=3，点 P平面 CC1D1D，且 PC=PD=2 （）证明：PD平面 PBC； （）求 PA 与平面 ABCD 所成的角的正切值；（）若1AAa，当 a 为何值时，PC/平面1AB D18.（12 分）如图，已知抛物线2:2(0)C ypx p上横坐标为 4 的点到焦点的距离为 5 （）求抛物线 C 的方程； （）设直线ykxb与抛物线 C 交于两点11( ,)A x y，22(,)B xy，且12|yya（a 为正常数）
6、过弦 AB 的中点 M 作平行于 x 轴的直线交抛物线 C 于点 D，连结 AD、BD 得到ABD （i）求实数 a，b，k 满足的等量关系； （ii）ABD的面积是否为定值？若为定值，求出此定值； 若不是定值，请说明理由19.（14 分）已知函数( )lnf xxx，( )1g xx（）求函数( )f x的单调区间；（）若对任意正实数 x，不等式( )( )f xkg x恒成立，求实数 k 的值；（）求证：22 ln !(1) (*)nnnnN （其中! 1 2 3(1)nnn ）2012 学年第一学期温州中学高二期末考试数学（理科）答题卷学年第一学期温州中学高二期末考试数学（理科）答题卷一
7、、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的）有一项是符合题目要求的） 12345678910二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分）分）11 12 13 14 15 16 三、解答题（三、解答题（本大题共本大题共 3 小题，共小题，共 36 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（10 分）18.（12 分）19.（14 分）2012 学年第
8、一学期温州中学高二期末考试数学（理科）参考答案学年第一学期温州中学高二期末考试数学（理科）参考答案一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的）有一项是符合题目要求的） 12345678910 BACCBDBDBA 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分）分）11 真 12 -1 13 33 414 sinsin1 sinAC Be 15 1 216 1 eae 三、解答题（本大题共三、解答题（本大
9、题共 3 小题小题，共，共 36 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.方法一：()证明：因为2 PCPD，2 ABCD，所以PCD为等腰直角三角形，所以PCPD 因为1111DCBAABCD 是一个长方体，所以DDCCBC11平，而DDCCP11平平，所以DDCCPD11平，所以PDBC 因为PD垂直于平面PBC内的两条相交直线PC和BC，由线面垂直的判定定理，可得PBCPD平平()解：过P点在平面DDCC11作CDPE 于E，连接AE因为PCDABCD平平，所以ABCDPE平，所以PAE就是PA与平面ABCD所成的角因为1PE，10A
10、E，所以1010 101tanAEPEPAE 所以PA与平面ABCD所成的角的正切值为1010 ()解：当2a时，DABPC1/平平 当2a时，四边形DDCC11是一个正方形，所以0 145DCC，D1C1B1A1PDCBAzxy而045PDC，所以0 190PDC，所以PDDC1 而PDPC ，DC1与PC在同一个平面内，所以DCPC1/ 而DCABDC111平，所以DCABPC11/平，所以DABPC1/平平方法二：()证明：如图建立空间直角坐标系，设棱长aAA 1，则有), 0 , 0(aD，) 1, 1 , 0(aP，), 2 , 3(aB，), 2 , 0(aC 于是(0, 1, 1
11、)PD uuu r ，(3,1, 1)PB uu u r ，(0,1, 1)PC uuu r ，所以0PD PBuuu r uu u r ，0PD PCuuu r uuu r 所以PD垂直于平面PBC内的两条相交直线PC和BC，由线面垂直的判定定理，可得PBCPD平平 ()解：), 0 , 3(aA，所以(3, 1, 1)PA uu u r ，而平面ABCD的一个法向量为1(0,0,1)n u u r 所以1111cos,1111 1PD n uuu r u u r 所以PA与平面ABCD所成的角的正切值为1010 ()解：)0 , 2 , 3(1B，所以)0 , 0 , 3(DA，), 2
12、, 0(1aAB设平面DAB1的法向量为),(2zyxn ，则有 0203212azynABxnDA ，令2z，可得平面DAB1的一个法向量为)2 , 0(2an 若要使得DABPC1/平平，则要2nPC ，即022anPC，解得2a所以当2a时，DABPC1/平平18.解：()依题意：452p，解得2p .抛物线方程为24yx.()(i)由方程组2,4 ,ykxbyx 消去x得：2440kyyb.（）依题意可知：0k .由已知得124yyk，124by yk. 由12yya，得22 1212()4yyy ya，即2 21616bakk，整理得2216 16kba k.所以2216(1)a k
13、kb . (ii)由(i)知AB中点222(,)bkMkk，所以点212(,)Dkk，依题意知122111 22ABDbkSDM yyakV.又因为方程（）中判别式16 160kbV，得10kb.所以211 2ABDbkSakV，由（）可知22 116a kbk，所以231 21632ABDaaSaV.又a为常数，故ABDSV的面积为定值.19. ()解：定义域：(0,)11( )1 ln( )(0, )( ,)fxxf xee QZ在上，在上 ；()解法一：(1)1;x 当时，显然成立 ln(2)11xxxkx当时， 22ln(1 ln )(1)ln1 ln( )( )1(1)(1)xxx xxxxxh xh xxxx 令，则 1( )1 ln( )10( )(1)0t xxxt xt xtx 令，则， ( )(1,)h xZ在上 11lnlim=lim(1 ln )11xxxxxx由洛比达法则可知： ( )11h xk，由题意：；
