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1、利用锐角三角函数解决实际问题的几种实际背景利用锐角三角函数解决实际问题的几种实际背景河北 温志胜 一、天气问题一、天气问题 如图所示，设 A 城气象台测得台风中心在 A城正西方向 600km 的 B 处，正以每小时 200km 的速度沿北偏东 60的 BF 方向移动，距台风中心 500km的范围内是否受台风影响 的区域 （1）A 城是否受到这次台风的影响？为什么？ （2）若 A 城受到这次台风的影响，那么 A 城遭受这次台风的影响有多长时间？ 分析：城市 A 是否会受到台风的影响，取决于台风中心和城市 A 的最短距离。因为台风 中心在 BF 上运动，所以可以经过点 A 作 BF 的垂线段，垂足
2、为 M，当台风中心运动到点 M 处时，线段 AM 的长度就是最短距离，然后可以用这个距离与台风的半径进行比较即可。 解：（1）经过点 A 作 AMBF，垂足为 M（如右图所示） 。 BF 在北偏东 60的方向上， MBA=30。 又在 RtABM 中，AB=600km， km。30021ABAM500km300 km， A 城会受到台风的影响。 （2）如右图所示假设台风中心到达点 C 处时，A 城开始受到影响，台风中心到达点 D 处时，A 城结束受影响，此时有 CM=DM。 距台风中心 500km的范围内是否受台风影响的区域， AC=DC=500km。 在 RtACM 中，,400300500
3、2222AMACCMCD=2CM=2400=800 km。小时。4200800所以 A 城遭受这次台风的影响有 4 个小时。 二、航海问题二、航海问题 例题、如图所示，一渔船正以每小时 30 海里的速度由西向东航行，在 A 处看见小岛 C 在船的北偏东 60方向，40min 后，渔船行至 B 处，此时看见小岛 C 在船的北偏东 30 方向，若以小岛 C 为中心，周围 10 海里是危险区，这艘渔船继续向东航行是否有进入危 险区的可能？分析：在ABC 中，CAB 和其外角CBM 均为特 殊角，因此，过非特殊角的顶点 C 作 CDAM 于点 D，可 构造出两个含有特殊角的 RtCDA 和 RtCDB
4、。可以设 ，在 RtCDA 和 RtCDB 中利用锐角三角函数xCD 进行计算即可。解：作 CDAM，垂足为 D，设CDx x()0，360tanBDx BDCDCDBRt中，在xBD33，3330tanADx ADCDCDARt中，在xAD3F东东60MBAF东东60MDCBA3060MDCBA，3230333 xBDADAB310x，10310CD 这艘轮船继续向东航行不会进入危险区。练习：练习：如图所示，北部湾海面上，一艘解放军 军舰正在基地 A 的正东方向且距离 A 地 40 海里的 B 处训 练，突然接到基地命令，要该舰前往 C 岛接送一名病危的 渔民到基地医院救治。已知 C 岛在
5、A 的北偏东 60方向， 且在 B 的北偏西 45方向，军舰从 B 地出发，平均每小 时向北航行 20 海里，需要多少时间才能把患病渔民送到 基地医院？（答案：2.5h） 三、建筑问题三、建筑问题例题、如右图所示，某建筑 AB 和楼 CD 的水平距离 BD 为 80m，从楼顶 C 处及楼底 D 处测得该建筑物顶端 A 的仰角分别为 45和 60，试求这个建筑物的高度和楼的高度。分析：在直角梯形 ABDC 中，有特殊角BAC=30，过较短底 CD 的端点 C 作梯形的高 CE，可构造出含特殊角的 RtAEC。连结 AD 可以得到 RtABD，在这两个直角三角形中利用锐角三角函数即 可求值。解：作 CEAB，垂足为 E。由已知得ACE=45，ADB=60，BD=CE=80 米。在 RtAEC，AE=CE=80 米，在 RtABD 中，38060sinAB BDAB。mAE80mAEABBCCD) 13(80所以该建筑物的高为米，楼高为米。380) 13(8045E60 DCBA东东CBA
