降次——解一元二次方程

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1、降次降次解一元二次方程解一元二次方程 教学设计教学设计教学目标教学目标知识与技能：1会用配方法、公式法、因式分解法解简单数字系数的一元二次方程。2能够根据一元二次方程的特点，灵活选用解方程的方法，体会解决问题策略的多样 性。过程与方法：1参与对一元二次方程解法的探索，体验数学发现的过程，对结果比较、验证、归纳、 理清几种解法之间的关系，并能根据方程的特点灵活选择适当的方法解一元二次方程。2在探究一元二次方程的过程中体会转化、降次的数学思想。情感态度价值观：在解一元二次方程的实践中，交流、总结经验和规律，体验数学活动乐趣。教学重难点教学重难点重点：掌握配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程的步

2、骤，并熟练运用上述方 法解题。难点：根据方程的特点灵活选择适当的方法解一元二次方程。教学方法教学方法探索发现，讲练结合教学媒体教学媒体多媒体课时安排课时安排3 课时教学过程设计教学过程设计第一课时第一课时一、复习引入请同学们解下列方程：（1）x2=4（2）(x+3)2=9找两个学生回答这两个方程的解。师总结强调：象这种通过直接开平方求得 x 的值的方法，实际上就是求 x2=a（a0）这种特殊形式的一元二次方程的解的方法，叫做直接开平方法。直接开平方法。（2）对于形如“(x+a) 2=b (b0)”型的方程，只要把 x+a 看作一个整体，就可以转 化为 x 2=b (b0)型的方法去解决，这里渗

3、透了“换元”的方法。（3）在对方程(x+3) 2=9 两边同时开平方后，原方程就转化为两个一次方程。要向学生指出，这种变形实质上是将原方程“降次” 。 “降次”也是一种数学方法此引入教师总结的要详细一点，这是为了让学生对这节课所学的知识首先有一个感性 的认识，并且是对学生的一种提醒。这两个方程也是以前学过的内容，根据平方根的知识 就可以解决，这里要说明是一元二次方程的特殊形式。二、新课讲解下面我们来看一个实际问题：问题 1：一桶某种油漆可刷的面积为 1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完 10 个同样的 正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？师生共同完成此题，教师要引导学生依据已

4、有的知识列出方程，再比较引言中的例题 解此方程。分析：设正方体的棱长为 x dm，则一个正方体的表面积为 6x2 dm2，解：根据一桶油漆可刷的面积，列出方程106x2=1500 由此可得： x2=25根据平方根的意义，得 x=5可以验证，5 和-5 是方程的两个根，但是棱长不能是负值，所以正方体的棱长为 5 dm。师：对照上面解方程的过程，你认为应怎样解方程(2x-1)2=5及方程 x2+6x+9=2 ？学生甲：由方程(2x-1)2=5 得，215x ，即215x ，215x 所以方程的两个根为：115 2x ，215 2x师：回答的非常好，由方程得到方程，实质上是把一个一元二次方程“降次”

5、， 转化为两个一元一次方程，这样问题就解决了。师：同学们谁能说出方程 x2+6x+9=2 的根？学生乙：方程 x2+6x+9=2 的左边是完全平方形式，这个方程可以化成(x+3)2=2,进行降次，得32x ，方程的根为132x ，232x 。师总结强调：如果方程能化成如果方程能化成2x = p或或2(mx+n) = p(p0)的形式，那么可得的形式，那么可得 xp 或或mxnp 。我们再来看另一个问题：问题 2：要使一块矩形场地的长比宽多 6m，并且面积为 16m2,场地的长和宽应各是多 少？学生自己列出方程，有问题的教师要进行纠正。师：设场地的宽为 x，所列方程为：26160xx，这个方程怎

6、么解呢？ 师要引导学生与方程 x2+6x+9=2 进行比较，看看能不能写成完全平方式的形式，这时 候要对学生进行必要的启发，让其自己根据这节课上所学过的知识，自己动脑筋解决，调 动学生的学习积极性。依照下面的框图把一个一般方程化为完全平方式，并解这个方程： 可以验证，2 和-8 是方程的两个根，但是场地的宽不能是负值，所以场地的宽为 2m， 长为 8（即 2+6）m。师总结强调：像上面这样，通过配方，把方程的一边化为完全平方式，另一边化为非像上面这样，通过配方，把方程的一边化为完全平方式，另一边化为非 负数，然后利用开平方的方法求出一元二次方程的根，这种方法叫做解一元二次方程的配负数，然后利用

7、开平方的方法求出一元二次方程的根，这种方法叫做解一元二次方程的配 方法。方法。可以看出，配方是为了降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解。三、经典例题把下列方程化为（x+ m）2=n（m，n 是常数，n0）的形式，并求出它们的解。（1）x2+2x=48；（2）x2-4x=12；（3）x2-6x+6=0；（4）2504xx 。学生活动：初步体验用配方法解一元二次方程的步骤。例 1 解下列方程：（1）2810xx ；（2）2213xx ；（3）23640xx.这三个例题师生共同完成，学生通过此题明白每步变形的依据和目的。在此三个例题中，涉及二次项系数不是 1 的一元二次方程，也涉及没有

8、实数根的一元 二次方程。对于没有实数根的一元二次方程，学了“公式法”以后，学生对这个内容会有 进一步的理解。做完后，教师总结配方法的步骤配方法的步骤：化 1：把二次项系数化为 1（方程两边都除以二次项系数）；移项：把常数项移到方程的右边；配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方；变形：方程左边写成平方形式，右边合并同类项；开方：根据平方根的意义，方程两边开平方；求解：解一元一次方程；定解：写出原方程的解。四、练习1配方：填上适当的数，使下列等式成立：（1）x2+12x+=(x+6)2（2）x212x+=(x )2（3）x2+8x+=(x+ )22解方程：课本 P39 练习五、小结1配方法的基本

9、步骤。2配方法是一种重要的数学方法，它的重要性，不仅仅表现在一元二次方程的解法中， 在今后学习二次函数，到高中学习二次曲线时，还将经常用到。3在解决实际问题时，要注意检验方程的解是否符合题意。六、作业课本 P45 1，2，3 七、板书设计解一元二次方程配方法x2=a（a0） 例题 练习 直接开平方法 配方法的步骤x2+bx+c=0配方法第二课时第二课时一、复习引入1.什么叫配方法？我们通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方 法叫做配方法。2.用配方法解一元二次方程的助手是什么？ 平方根的意义：如果2(0)xa a，那么xa 。完全平方式：式子222aabb叫做完

10、全平方式，且2222()aabbab.3配方法的步骤是什么？学生回答：（1）将方程二次项系数化成 1；（2）移项；（3）配方；（4）化为 （x+m）2=n（m，n 是常数，n0）的形式；（5）用直接开平方法求得方程的解。让学生依次回答上面的两个问题。二、一起探究任何一元二次方程都可以写成一般形式：20(0)axbxca，由上节课的 知识，我们发现，利用配方法解一元二次方程的基本步骤是一样的，如果能用配方法解一般的一元二次方程20(0)axbxca，得到根的一般表达式，那么再解一元二次方程 时，就会简洁方便得多。你能用配方法解方程20(0)axbxca吗？试试看。引导学生自己先做，有一个探究的过

11、程，让学生自己动手，激发积极性。然后给出一 个学生的正确结果，鼓励同学们自己探究，自己动脑筋。最后给出正确结果。小亮是这样解的： 师：小亮的解法是正确的。下面我们一起来做一下：解：系数化成 1， （两边同除以 a）得：02acxabx移项（把常数项移到方程右边），得：acxabx2配方（两边同时加上2()2b a），得：2222 2 44ab ac abxabx化为（x+m）2=n（m，n 是常数，n0）的形式，得：22 2 44)2(aacb abx师：接着让学生讨论：此时可以用开平方法求解吗？让学生充分发表意见后，教师指出：因为0a，所以042a，当042 acb时，可以用开平方法得224

12、4 2aacb abx再让学生讨论aacb aacb 24 44222 吗？(学生讨论，教师讲解：aacb aacb 24 44222 ,但因为式子前面已有符号“” ，所以无论0a还是0a，最终结果总是aacb 242 )所以 aacb abx24 22 ，aacbb aacb abx24 24 222这样我们就得到了一元二次方程 02cbxax(0a)的求根公式求根公式：)04(2422 acbaacbbx师总结强调：一般地，一元二次方程一般地，一元二次方程2ax +bx+c = 0(a0)的根由方程的系数的根由方程的系数 a a，b b，c c 确定。因此，解一元二次方程时，可以先将方程化

13、为一般形式确定。因此，解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式2ax +bx+c = 0，当，当2b -4ac0时，将时，将 a a，b b，c c 代入式子代入式子 24 2bbacxa 就得到就得到 方程的根。利用它解一元二次方程的方法叫做公式法。方程的根。利用它解一元二次方程的方法叫做公式法。由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根。说明：(1)用公式法解一元二次方程，实际上就是给出a、b、c的数值，然后求代数式：aacbb 242进行求值的运算。由于这样的计算较复杂，所以要提醒学生计算时 注意a、b、c的符号，讲究计算的正确性。(2)在运用求根公式求解时，应先计算acb42的值；

14、当acb420 时，可以用公式求出两个不相等的实数根24 2bbacxa ；当acb42=0 时，方程有两个相等的实数根122bxxa ；当acb420 时，方程没有实数根。三、知识应用例 2 解下列方程（1）2210xx ； （2）21.53xx ；（3）21202xx ； （4）24320xx解：略。见课本 P41说明：师生共同完成，教师规范格式并强调注意事项。注意: (1) 如果方程不是一般形式，要化为一般形式后，再确定 a，b，c 的值(2) 对 a，b，c 的值，要注意其正负符号，如此题（1）中 c=-1四、课堂训练P42 练习题 1（1）-（4） 。找四名同学上黑板做。五、小结1本

15、节课我们推导出了一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的求根公式，即求根公式的推导，实际上是“配方”与“开平方”的综合运用，对于0a， acb420，以及由0a，知042a等条件在推导过程中的应用，亦要弄懂其道理。2应用求根公式解一元二次方程，通常应把方程写成一般形式，并写成a、b、c的数值以及计算acb42的值，当熟练掌握求根公式后，可以简化求解过程。六、作业课本习题 P45 4 题七、板书设计解一元二次方程公式法推导公式： 例 练习第三课时第三课时一、情景导入1一元二次方程的解法，已经学过了哪几种？(直接开平方法，配方法，求根公式法)2. 我们先来看下面的问题：问题 3：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以 10m/s 的速度竖直上抛，那么经 过 x s 物体离地面的高度（单位：m）为2104.9xx你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗（精确到 0.01 s）？你要用那一种解法解决这个问题呢？同学们试着解一下。尽可能的给学生时间让他自己思考问题的解决方案。二、一起探究我们一起来看上面提出