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1、降次降次解一元二次方程解一元二次方程 教学设计教学设计教学目标教学目标知识与技能:1会用配方法、公式法、因式分解法解简单数字系数的一元二次方程。2能够根据一元二次方程的特点,灵活选用解方程的方法,体会解决问题策略的多样 性。过程与方法:1参与对一元二次方程解法的探索,体验数学发现的过程,对结果比较、验证、归纳、 理清几种解法之间的关系,并能根据方程的特点灵活选择适当的方法解一元二次方程。2在探究一元二次方程的过程中体会转化、降次的数学思想。情感态度价值观:在解一元二次方程的实践中,交流、总结经验和规律,体验数学活动乐趣。教学重难点教学重难点重点:掌握配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程的步
2、骤,并熟练运用上述方 法解题。难点:根据方程的特点灵活选择适当的方法解一元二次方程。教学方法教学方法探索发现,讲练结合教学媒体教学媒体多媒体课时安排课时安排3 课时教学过程设计教学过程设计第一课时第一课时一、复习引入请同学们解下列方程:(1)x2=4(2)(x+3)2=9找两个学生回答这两个方程的解。师总结强调:象这种通过直接开平方求得 x 的值的方法,实际上就是求 x2=a(a0)这种特殊形式的一元二次方程的解的方法,叫做直接开平方法。直接开平方法。(2)对于形如“(x+a) 2=b (b0)”型的方程,只要把 x+a 看作一个整体,就可以转 化为 x 2=b (b0)型的方法去解决,这里渗
3、透了“换元”的方法。(3)在对方程(x+3) 2=9 两边同时开平方后,原方程就转化为两个一次方程。要向学生指出,这种变形实质上是将原方程“降次” 。 “降次”也是一种数学方法此引入教师总结的要详细一点,这是为了让学生对这节课所学的知识首先有一个感性 的认识,并且是对学生的一种提醒。这两个方程也是以前学过的内容,根据平方根的知识 就可以解决,这里要说明是一元二次方程的特殊形式。二、新课讲解下面我们来看一个实际问题:问题 1:一桶某种油漆可刷的面积为 1500dm2,李林用这桶油漆恰好刷完 10 个同样的 正方体形状的盒子的全部外表面,你能算出盒子的棱长吗?师生共同完成此题,教师要引导学生依据已
4、有的知识列出方程,再比较引言中的例题 解此方程。分析:设正方体的棱长为 x dm,则一个正方体的表面积为 6x2 dm2,解:根据一桶油漆可刷的面积,列出方程106x2=1500 由此可得: x2=25根据平方根的意义,得 x=5可以验证,5 和-5 是方程的两个根,但是棱长不能是负值,所以正方体的棱长为 5 dm。师:对照上面解方程的过程,你认为应怎样解方程(2x-1)2=5及方程 x2+6x+9=2 ?学生甲:由方程(2x-1)2=5 得,215x ,即215x ,215x 所以方程的两个根为:115 2x ,215 2x师:回答的非常好,由方程得到方程,实质上是把一个一元二次方程“降次”
5、, 转化为两个一元一次方程,这样问题就解决了。师:同学们谁能说出方程 x2+6x+9=2 的根?学生乙:方程 x2+6x+9=2 的左边是完全平方形式,这个方程可以化成(x+3)2=2,进行降次,得32x ,方程的根为132x ,232x 。师总结强调:如果方程能化成如果方程能化成2x = p或或2(mx+n) = p(p0)的形式,那么可得的形式,那么可得 xp 或或mxnp 。我们再来看另一个问题:问题 2:要使一块矩形场地的长比宽多 6m,并且面积为 16m2,场地的长和宽应各是多 少?学生自己列出方程,有问题的教师要进行纠正。师:设场地的宽为 x,所列方程为:26160xx,这个方程怎
6、么解呢? 师要引导学生与方程 x2+6x+9=2 进行比较,看看能不能写成完全平方式的形式,这时 候要对学生进行必要的启发,让其自己根据这节课上所学过的知识,自己动脑筋解决,调 动学生的学习积极性。依照下面的框图把一个一般方程化为完全平方式,并解这个方程: 可以验证,2 和-8 是方程的两个根,但是场地的宽不能是负值,所以场地的宽为 2m, 长为 8(即 2+6)m。师总结强调:像上面这样,通过配方,把方程的一边化为完全平方式,另一边化为非像上面这样,通过配方,把方程的一边化为完全平方式,另一边化为非 负数,然后利用开平方的方法求出一元二次方程的根,这种方法叫做解一元二次方程的配负数,然后利用
7、开平方的方法求出一元二次方程的根,这种方法叫做解一元二次方程的配 方法。方法。可以看出,配方是为了降次,把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解。三、经典例题把下列方程化为(x+ m)2=n(m,n 是常数,n0)的形式,并求出它们的解。(1)x2+2x=48;(2)x2-4x=12;(3)x2-6x+6=0;(4)2504xx 。学生活动:初步体验用配方法解一元二次方程的步骤。例 1 解下列方程:(1)2810xx ;(2)2213xx ;(3)23640xx.这三个例题师生共同完成,学生通过此题明白每步变形的依据和目的。在此三个例题中,涉及二次项系数不是 1 的一元二次方程,也涉及没有
8、实数根的一元 二次方程。对于没有实数根的一元二次方程,学了“公式法”以后,学生对这个内容会有 进一步的理解。做完后,教师总结配方法的步骤配方法的步骤:化 1:把二次项系数化为 1(方程两边都除以二次项系数);移项:把常数项移到方程的右边;配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方;变形:方程左边写成平方形式,右边合并同类项;开方:根据平方根的意义,方程两边开平方;求解:解一元一次方程;定解:写出原方程的解。四、练习1配方:填上适当的数,使下列等式成立:(1)x2+12x+=(x+6)2(2)x212x+=(x )2(3)x2+8x+=(x+ )22解方程:课本 P39 练习五、小结1配方法的基本
9、步骤。2配方法是一种重要的数学方法,它的重要性,不仅仅表现在一元二次方程的解法中, 在今后学习二次函数,到高中学习二次曲线时,还将经常用到。3在解决实际问题时,要注意检验方程的解是否符合题意。六、作业课本 P45 1,2,3 七、板书设计解一元二次方程配方法x2=a(a0) 例题 练习 直接开平方法 配方法的步骤x2+bx+c=0配方法第二课时第二课时一、复习引入1.什么叫配方法?我们通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根,这种解一元二次方程的方 法叫做配方法。2.用配方法解一元二次方程的助手是什么? 平方根的意义:如果2(0)xa a,那么xa 。完全平方式:式子222aabb叫做完
10、全平方式,且2222()aabbab.3配方法的步骤是什么?学生回答:(1)将方程二次项系数化成 1;(2)移项;(3)配方;(4)化为 (x+m)2=n(m,n 是常数,n0)的形式;(5)用直接开平方法求得方程的解。让学生依次回答上面的两个问题。二、一起探究任何一元二次方程都可以写成一般形式:20(0)axbxca,由上节课的 知识,我们发现,利用配方法解一元二次方程的基本步骤是一样的,如果能用配方法解一般的一元二次方程20(0)axbxca,得到根的一般表达式,那么再解一元二次方程 时,就会简洁方便得多。你能用配方法解方程20(0)axbxca吗?试试看。引导学生自己先做,有一个探究的过
11、程,让学生自己动手,激发积极性。然后给出一 个学生的正确结果,鼓励同学们自己探究,自己动脑筋。最后给出正确结果。小亮是这样解的: 师:小亮的解法是正确的。下面我们一起来做一下:解:系数化成 1, (两边同除以 a)得:02acxabx移项(把常数项移到方程右边),得:acxabx2配方(两边同时加上2()2b a),得:2222 2 44ab ac abxabx化为(x+m)2=n(m,n 是常数,n0)的形式,得:22 2 44)2(aacb abx师:接着让学生讨论:此时可以用开平方法求解吗?让学生充分发表意见后,教师指出:因为0a,所以042a,当042 acb时,可以用开平方法得224
12、4 2aacb abx再让学生讨论aacb aacb 24 44222 吗?(学生讨论,教师讲解:aacb aacb 24 44222 ,但因为式子前面已有符号“” ,所以无论0a还是0a,最终结果总是aacb 242 )所以 aacb abx24 22 ,aacbb aacb abx24 24 222这样我们就得到了一元二次方程 02cbxax(0a)的求根公式求根公式:)04(2422 acbaacbbx师总结强调:一般地,一元二次方程一般地,一元二次方程2ax +bx+c = 0(a0)的根由方程的系数的根由方程的系数 a a,b b,c c 确定。因此,解一元二次方程时,可以先将方程化
13、为一般形式确定。因此,解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式2ax +bx+c = 0,当,当2b -4ac0时,将时,将 a a,b b,c c 代入式子代入式子 24 2bbacxa 就得到就得到 方程的根。利用它解一元二次方程的方法叫做公式法。方程的根。利用它解一元二次方程的方法叫做公式法。由求根公式可知,一元二次方程最多有两个实数根。说明:(1)用公式法解一元二次方程,实际上就是给出a、b、c的数值,然后求代数式:aacbb 242进行求值的运算。由于这样的计算较复杂,所以要提醒学生计算时 注意a、b、c的符号,讲究计算的正确性。(2)在运用求根公式求解时,应先计算acb42的值;
14、当acb420 时,可以用公式求出两个不相等的实数根24 2bbacxa ;当acb42=0 时,方程有两个相等的实数根122bxxa ;当acb420 时,方程没有实数根。三、知识应用例 2 解下列方程(1)2210xx ; (2)21.53xx ;(3)21202xx ; (4)24320xx解:略。见课本 P41说明:师生共同完成,教师规范格式并强调注意事项。注意: (1) 如果方程不是一般形式,要化为一般形式后,再确定 a,b,c 的值(2) 对 a,b,c 的值,要注意其正负符号,如此题(1)中 c=-1四、课堂训练P42 练习题 1(1)-(4) 。找四名同学上黑板做。五、小结1本
15、节课我们推导出了一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的求根公式,即求根公式的推导,实际上是“配方”与“开平方”的综合运用,对于0a, acb420,以及由0a,知042a等条件在推导过程中的应用,亦要弄懂其道理。2应用求根公式解一元二次方程,通常应把方程写成一般形式,并写成a、b、c的数值以及计算acb42的值,当熟练掌握求根公式后,可以简化求解过程。六、作业课本习题 P45 4 题七、板书设计解一元二次方程公式法推导公式: 例 练习第三课时第三课时一、情景导入1一元二次方程的解法,已经学过了哪几种?(直接开平方法,配方法,求根公式法)2. 我们先来看下面的问题:问题 3:根据物理学规律,如果把一个物体从地面以 10m/s 的速度竖直上抛,那么经 过 x s 物体离地面的高度(单位:m)为2104.9xx你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗(精确到 0.01 s)?你要用那一种解法解决这个问题呢?同学们试着解一下。尽可能的给学生时间让他自己思考问题的解决方案。二、一起探究我们一起来看上面提出