动态电路的时域分析

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1、第二篇 动态电路的时域分析,第五章 电容元件与电感元件第六章 一阶电路第七章 二阶电路,第六章 一阶电路,6.1 分解方法在动态电路分析中的运用6.2 零状态响应6.3 阶跃响应和冲激响应6.4 零输入响应6.5 线性动态电路的叠加定理6.6 三要素法6.7 瞬态和稳态6.8 正弦激励的过渡过程和稳态,无论是电阻电路还是动态电路，电路中各支路电流和电压仍然满足KCL和KVL，与电阻电路的差别仅仅是动态元件的电流与电压约束关系是导数与积分关系(见第五章)。因此，根据KCL、KVL和元件的VAR所建立的动态电路方程是以电流、电压为变量的微分方程或微分积分方程。如果电路中的无源元件都是线性时不变的，

2、那么，动态电路方程是线性常系数微分方程。,如果电路中只有一个动态元件，相应的电路称为一阶电路，而所得到的方程则是一阶微分方程。 一般而言， 如果电路中含有n个独立的动态元件，那么，描述该电路的就是n阶微分方程， 相应的电路也称为n阶电路。 ,一阶电路的定义：,分解方法在这里的运用：,首先，将一阶电路分为电阻网络 N1 和动态元件N2两部分。 其次，将 N1 用戴维南定理或诺顿定理等效化简，得简单一阶电路。 第三，求解简单一阶电路，得到 uc(t) 或 iL(t) 。 最后，回到原电路，将电容用一电压源（其值为 uc(t)）置换，或将电感用一电流源（其值为 iL (t)）置换，再求出电路中其余变

3、量。,根据图(b)，由KVL可得：而由元件的VCR可得：第二式带入第一式并整理可得：,类似地，根据图(c)，由KCL和元件的VCR可得： 如果给定初始条件uC(t0)以及tt0时的uOC(t)或iSC(t)，便可由上述两式解得tt0时的uC(t)。 而对含电感L的一阶电路，同样可以得到：,如果给定初始条件iL(t0)以及tt0时的iSC(t)或uOC(t)，同样可解得tt0时的iL(t)。 因此，从分解方法观点看，处理一阶电路最关键的步骤是先求得uC(t)或iL(t)。,第六章 一阶电路,6.1 分解方法在动态电路分析中的运用6.2 零状态响应6.3 阶跃响应和冲激响应6.4 零输入响应6.5

4、 线性动态电路的叠加定理6.6 三要素法6.7 瞬态和稳态6.8 正弦激励的过渡过程和稳态,再看如图所示电路。 如果电容具有初始电压uC(t0)，则在tt0时，这种电路相当于有两个独立电压源。因此，根据叠加原理，该电路中任一电压、电流(当然也包括电容的电压)是两个电源单独作用时结果的叠加，其分解电路如下图所示。,图中，由独立源在tt0时产生的响应为uC(t)，此时，电容的初始电压为零，该响应仅仅是由电路的输入引起，一般称为零状态响应。 而仅仅是由电容的初始状态uC(t0)所引起的响应uC(t)称为零输入响应。,两种响应之和当然就是总响应或称之为全响应，它是由输入和非零初始状态共同作用的响应。

5、因此，所谓零状态响应是指电路原始状态为零，仅仅由激励源在电路中产生的响应，因而称为零状态响应。 本节先讨论由输入恒定电源产生的一阶电路的零状态响应。,仍以上述RC串联电路为例，设t0=0，t0时输入阶跃波，其值为US，它相当于在t=0时通过开关使RC电路与直流电压源US接通，如图所示。,根据第一节RC电路的公式并结合上图电路可得t0时的电路方程为：初始条件：uC(0)=0。 解此方程即可得到uC(t)。 有关微分方程的解法，在高等数学中已经学过，这里再简单回顾一下。,一阶微分方程的求解,一阶齐次方程的求解,这里，x(t) 为待求变量，A 及X0 均为常数。,齐次方程和初始条件,（6）式称为微分

6、方程的特征方程，其根称为微分方程的特征根或固有频率。因而可求得：,先求通解（满足（1）式且含有一个待定常数的解。）,再确定待定常数K将初始条件（2）式代入通解（3）式，可得：,即,例：求解方程,其中 x(t) 为待求变量，f(t) 为输入函数，A、B 及X0 均为常数。,非齐次方程和初始条件,一阶非齐次方程的解,先求 xh(t) 前已求得,再求 xp(t) 特解 xp(t) 的 形式与输入函数 f(t) 的形式有关：,确定待定常数K,求得 xh(t) 和 xp(t) 后，将初始条件代入通解式，可确定待定常数K，从而得到原问题的解。,根据以上分析，对于方程：,非齐次方程特解,齐次方程通解,非齐次

7、线性常微分方程,其解的形式：,它与输入激励的变化规律有关，为电路的稳态解。,其变化规律由电路参数和结构决定。,的通解,的特解,全解,uC (0+)=A+US= 0,A= -US 因此：,由初始条件 uC (0+)=0 确定积分常数 A,从以上式子可以得出：,由所得结果可见，电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函数；电容电压由两部分构成：,连续函数,跃变,稳态分量（强制分量）,暂态分量（自由分量）,说明,+,令 =RC ,它称为一阶电路的时间常数，因为：,响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与RC有关;,时间常数 是一阶电路非常重要的参数，因为它的大小反映了电路暂态或过渡过程时间的长短。, 大

8、过渡过程时间长, 小过渡过程时间短, 是电容电压衰减到原来电压36.8%所需的时间。因此，工程上一般认为, 经过 (3 5) , 电路的过渡过程基本结束。,U0 0.368U0 0.135U0 0.05U0 0.007U0,U0 U0 e -1 U0 e -2 U0 e -3 U0 e -5,由此可见：,同样，对于如图所示的RL电路，其电流的零状态响应也可作类似分析。,应用KVL和电感的VCR可得：,连续,不连续,以上讨论了在直流电源或阶跃波作用下电路在t0时的零状态响应。这时，电路内的物理过程，实质上是动态元件的储能从无到有逐渐增长的过程。因此：电容电压或电感电流都是从它的零值开始按指数规律

9、上升到达它的稳态值，时间常数分别为RC或L/R。当电路到达稳态时，电容相当于开路，电感相当于短路，由此可确定电容或电感的稳态值。,零状态响应是由电容或电感的稳态值和时间常数所确定的，只要掌握了它们按指数规律增长的特点，求解时可不必每次再求解微分方程，即可直接写出uC(t)、iL(t）。而掌握了uC(t)和iL(t）后，根据置换定理就可求出其它各支路电压和电流。此外，若激励增大m倍，则零状态响应也相应增大m倍，这称为零状态响应的比例性。若有多个激励，还具有零状态响应的叠加性。因此，零状态响应是输入的线性函数。,能量关系,电容储存的能量：,电源提供的能量：,电阻消耗的能量：,这表明，电源提供的能量

10、一半消耗在电阻上，只有一半转换成电场能量储存在电容中。,例,t=0时,开关S闭合，已知 uC(0)=0，求：(1)电容电压和电流,(2) uC80V时的充电时间t 。,解:,(1)这是一个RC电路零状态响应问题，则有：,(2)设经过t1秒，uC80V，则有：,例,t=0时,开关S打开，求t 0后iL、uL的变化规律。,解:,这是RL电路零状态响应问题。先化简成如图所示电路，有：,例,t=0时开关k打开，求t 0后iL、uL及电流源的电压。,解:,这是RL电路零状态响应问题，先化简电路如图所示，有：,作业： P233: 6-1、6-4 P234: 6-6、6-8,第六章 一阶电路,6.1 分解方

11、法在动态电路分析中的运用6.2 零状态响应6.3 阶跃响应和冲激响应6.4 零输入响应6.5 线性动态电路的叠加定理6.6 三要素法6.7 瞬态和稳态6.8 正弦激励的过渡过程和稳态,对于前述电路，分析时是在输入端加一个阶跃波US或IS。那么，它们能否用数学进行描述？为此，引入单位阶跃函数。,1、单位阶跃(unit-step)函数：,2、延时(delayed)单位阶跃函数：,t = 0 开关闭合,i(t) = Is,在电路中可模拟开关的动作。,如：t = 0 时开关闭合,引入单位阶跃函数的作用：,起始一个函数,延迟一个函数,任意信号f(t)的截取：,t1,用单位阶跃函数表示分段常量信号,已知电

12、压u(t)的波形如图所示，试画出下列电压的波形。,3、阶跃(unit-step)信号：,4、延时(delayed)阶跃信号：,1. 单位阶跃响应：是指线性时不变电路在单位阶跃电压(t)作用下的零状态响应，我们用s(t)或g(t)表示。响应可以是电压，也可以是电流。2. 单位阶跃响应的线性时不变性： 若 (t)s(t) ，则 A(t)As(t) A(t-t0)As(t-t0) f(t)A(t)+B(t-t0)y(t)As(t)+Bs(t-t0),阶跃响应,时延不变性：若激励f(t)延迟t0接入，其零状态 响应也延迟t0时间，且波形保持不变，如图所示。,注意,激励在 t = t0 时加入，则响应也

13、从t =t0开始。,- t,不要写为：,注意,3. 阶跃响应的求法： 由于单位阶跃函数作用于电路时，相当于单位直流源接入电路。所以，求阶跃响应就是求单位直流源(1V或1A)作为激励接入电路时的零状态响应。,例 下图(a)所示电路，若以电流iL为输出，求其阶跃响应s(t)。解 根据阶跃响应的定义，令us=(t)，它相当于1V电压源在t=0时接入电路，如图(b)所示，而且电路的初始状态iL(0+)=iL(0-)=0。,由图(b)可知，iL的稳态值和该电路的时间常数分别为：,4. 分段常量信号响应的求法： 时延不变性：将分段常量信号用阶跃函数表示，求出阶跃响应后，根据线性电路的线性性质和时不变电路的

14、时延不变性，就可以得到相应分段常量信号激励作用下电路的零状态响应。 f(t)A(t)+B(t-t0) , y(t)As(t)+Bs(t-t0),例 图(a)所示电路，其激励is的波形如图(b)所示。若以uC为输出，求其零状态响应。解 激励is可表示为,根据电路的线性和时延不变性，其对应的零状态响应为：,阶跃响应为：,零状态响应为：,求图示电路中电流 iC(t）,例,应用叠加定理,阶跃响应为：,由齐次性和叠加性得实际响应为：,分段表示为：,分段表示为：,引用单位阶跃函数(t)后，在电路分析中可能会遇到对(t)求导的问题。 (t)是常量，当t0时为1，因此，在t0时，d(t)/dt=0。而在t=0

15、时，(t)不连续，具有高度为1的阶跃，其斜率为无界。为此，把(t)的导数记为(t)，称为单位冲击函数。,1. 单位冲激函数,定义,单位脉冲函数的极限,单位冲激函数的延迟,单位冲激函数的性质,冲激函数对时间的积分等于阶跃函数,冲激函数的取样性,同理,例,f(t)在 t0 处连续,注意,冲激响应,激励为单位冲激函数时，电路中产生的零状态响应称为冲击响应。,冲激响应,3. 单位阶跃响应和单位冲激响应的关系,单位阶跃响应,单位冲激响应,h(t),s(t),单位冲激, (t),单位阶跃, (t),激励,响应,先求单位阶跃响应：,求:is (t)为单位冲激时电路响应uC(t)和iC (t).,例,解:,uC(0+)=0,uC()=R, = RC,iC(0+)=1,iC()=0,