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1、20042004 年年数学竞赛试题数学竞赛试题第一试第一试一选择题一选择题1已知已知 abc0，且，且 a+b+c=0, 则则代代数式数式222abc bccaab的值是的值是 (A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0(D)2已知已知 p,q 均为质数，且满足均为质数，且满足 5p2+3q=59，则则以以 p+3,1-p+q,2p+q-4 为边长的三角形是为边长的三角形是(D ）(A) 锐角三角形锐角三角形 (B) 直角三角形直角三角形 (C) 钝角三角形钝角三角形 (D) 等腰等腰三角形三角形3 一个三角形的边长分别为一个三角形的边长分别为 a,a,b，另一个三角形的边长分别，另一个三
2、角形的边长分别为为 b,b,a，其中，其中 ab，若两个三角形的最小内角相等，则，若两个三角形的最小内角相等，则a b的值的值等于等于（ ）(A) 31 2(B) 51 2(C) 32 2(D) 52 24过点过点 P(-1,3)作直线，使它与两坐标轴围成的三角形面积为作直线，使它与两坐标轴围成的三角形面积为5，这样的直线可以作（，这样的直线可以作（ ）(A) 4 条条 (B) 3 条条 (C) 2 条条 (D) 1 条条5已知已知 b2-4ac 是一元二次方程是一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的一个实数根，的一个实数根，则则 ab 的取值范围为（的取值范围为（ ）(A) 1 8ab
3、 (B) 1 8ab (C) 1 4ab (D) 1 4ab 6如图，在如图，在 23 矩形方格纸上，各个小正方形的顶点称为格点，矩形方格纸上，各个小正方形的顶点称为格点，则以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为（则以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为（ ）(A) 24 (B) 38 (C) 46 (D) 50二填空题二填空题1计算计算1111 12233420032004L= .2如图如图 ABCD 是边长为是边长为 a 的正方形，以的正方形，以 D 为圆心，为圆心，DA 为半为半径的圆弧与以径的圆弧与以 BC 为直径的圆交于另一点为直径的圆交于另一点 P，延长，延长 AP 交交 BC 于于点
4、点 N，则，则BN NC= . DACBNP3实数实数 a,b 满足满足 a3+b3+3ab=1,，则，则 a+b= .4设设 m 是不能表示为三个合数之和的最大整数，则是不能表示为三个合数之和的最大整数，则 m= .第二试（第二试（A A）一一 已知方程已知方程 x2-6x-4n2-32n=0 的根都是整数，求整数的根都是整数，求整数 n 的值。的值。二二 已知如图，梯形已知如图，梯形 ABCD 中，中，ADBC, 以两腰以两腰 AB,CD 为为一边分别向两边作正方形一边分别向两边作正方形 ABGE 和和 DCHF，设线段，设线段 AD 的垂直的垂直平分线平分线 l 交线段交线段 EF 于点
5、于点 M，EPl 于于 P，FQl 于于 Q。求证：求证：EP=FQlABCDEFGHMPQ三三 已知点已知点 A(0,3)，B(-2,-1)，C(2,-1) P(t,t2)为抛物线为抛物线 yx2上上位于三角形位于三角形 ABC 内（包括边界）的一动点，内（包括边界）的一动点，BP 所在的直线交所在的直线交 AC 于于E， CP 所在的直线交所在的直线交 AB 于于 F。将。将BF CE表示为自变量表示为自变量 t 的函数。的函数。第二试（第二试（B B）一一 已知方程已知方程 x2-6x-4n2-32n=0 的根都是整数，求整数的根都是整数，求整数 n 的值。的值。二二 已知如图，梯形已知
6、如图，梯形 ABCD 中，中，ADBC, 以两腰以两腰 AB,CD 为为一边分别向两边作正方形一边分别向两边作正方形 ABGE 和和 DCHF，设线段，设线段 AD 的垂直的垂直平分线平分线 l 交线段交线段 EF 于点于点 M。求证：求证：M 为为 EF 的中点。的中点。lABCDEFGHM三三 已知点已知点 A(0,3)，B(-2,-1)，C(2,-1) P(t,t2)为抛物线为抛物线 yx2上上位于三角形位于三角形 ABC 内（包括边界）的一动点，内（包括边界）的一动点，BP 所在的直线交所在的直线交AC 于于 E， CP 所在的直线交所在的直线交 AB 于于 F。将。将BF CE表示为
7、自变量表示为自变量 t的函数。的函数。第二试（第二试（C C）一一 已知方程已知方程 x2-6x-4n2-32n=0 的根都是整数，求整数的根都是整数，求整数 n 的值。的值。二二 已知如图，梯形已知如图，梯形 ABCD 中，中，ADBC, 以两腰以两腰 AB,CD 为为一边分别向两边作正方形一边分别向两边作正方形 ABGE 和和 DCHF， 连接连接 EF，设线段，设线段EF 的中点为的中点为 M。求证：求证：MA=MD。ABCDEFGHM三三 已知点已知点 A(0,3)，B(-2,-1)，C(2,-1) P(t,t2)为抛物线为抛物线 yx2上上位于三角形位于三角形 ABC 内（包括边界）的一动点，内（包括边界）的一动点，BP 所在的直线交所在的直线交AC 于于 E， CP 所在的直线交所在的直线交 AB 于于 F。将。将BF CE表示为自变量表示为自变量 t的函数。的函数。
