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1、Black-Scholes 期权定价模型（Black-Scholes Option Pricing Model），布莱克-肖尔斯期权定价模型Black-Scholes 期权定价模型概述1997 年 10 月 10 日，第二十九届诺贝尔经济学奖授予了两位美国学者，哈佛商学院教授罗伯特默顿(RoBert Merton)和斯坦福大学教授迈伦斯克尔斯(Myron Scholes)。他们创立和发展的布莱克斯克尔斯期权定价模型(Black Scholes Option Pricing Model)为包括股票、债券、货币、商品在内的新兴衍生金融市场的各种以市价价格变动定价的衍生金融工具的合理定价奠定了基础斯
2、克尔斯与他的同事、已故数学家费雪布莱克(Fischer Black)在 70 年代初合作研究出了一个期权定价的复杂公式。与此同时，默顿也发现了同样的公式及许多其它有关期权的有用结论。结果，两篇论文几乎同时在不同刊物上发表。所以，布莱克斯克尔斯定价模型亦可称为布莱克斯克尔斯默顿定价模型。默顿扩展了原模型的内涵，使之同样运用于许多其它形式的金融交易。瑞士皇家科学协会(The Royal Swedish Academyof Sciencese)赞誉他们在期权定价方面的研究成果是今后 25 年经济科学中的最杰出贡献。B-S 期权定价模型及其假设条件一)B-S 模型设置了以下重要的假设：1、股票价格服从
3、对数正态分布；2、在期权有效期内，无风险利率和股票资产期望收益变量和价格波动率是恒定的；3、市场无摩擦，即不存在税收和交易成本；4、股票资产在期权有效期内不支付红利及其它所得(该假设可以被放弃)；5、该期权是欧式期权，即在期权到期前不可实施;6、金融市场不存在无风险套利机会；7、金融资产的交易可以是连续进行的；8、可以运用全部的金融资产所得进行卖空操作。(二)荣获诺贝尔经济学奖的 B-S 定价公式C=SN(D1)-LE-TN(D2)其中: D1=1NSL+(+22)TTD2=D1-TC期权初始合理价格L期权交割价格S所交易金融资产现价T期权有效期r连续复利计无风险利率 H2年度化方差N()正态
4、分布变量的累积概率分布函数，在此应当说明两点：第一，该模型中无风险利率必须是连续复利形式。一个简单的或不连续的无风险利率(设为 r0)一般是一年复利一次，而 r 要求利率连续复利。r0 必须转化为 r 方能代入上式计算。两者换算关系为:r=LN(1+r0)或 r0=Er-1。例如 r0=0.06，则 r=LN(1+0.06)=0853，即100 以 583%的连续复利投资第二年将获 106，该结果与直接用 r0=0.06 计算的答案一致。第二，期权有效期 T 的相对数表示，即期权有效天数与一年 365 天的比值。如果期权有效期为 100 天，则 T=100365=0.274。B-S 定价模型的
5、推导与运用(一)B-S 模型的推导 B-S 模型的推导是由看涨期权入手的，对于一项看涨期权，其到期的期值是:EG=Emax(ST-L，O)其中，EG看涨期权到期期望值ST到期所交易金融资产的市场价值L期权交割(实施)价到期有两种可能情况:1、如果 STL，则期权实施以进帐(In-the-money)生效，且 mAx(ST-L，O)=ST-L2、如果 ST?XML:NAMESPACE PREFIX = L，则期权所有人放弃购买权力，期权以出帐(Out-of-the-money)失效，且有 / max(ST-L，O)=0从而:ECT=P(EST|STL)+(1-P)O=P(EST|STL-L)其中
6、:P(STL)的概率 EST|STL既定(STL)下 ST 的期望值将 EG按有效期无风险连续复利 rT 贴现，得期权初始合理价格: C=PE-rT(EST|STL-L)(*)这样期权定价转化为确定 P 和 EST|STL。首先，对收益进行定义。与利率一致，收益为金融资产期权交割日市场价格(ST)与现价(S)比值的对数值，即收益=1NSTS。由假设 1 收益服从对数正态分布，即1NSTSN(T，T2)，所以 E1N(STS=T，STSEN(T，T2)可以证明，相对价格期望值大于 ET，为:ESTS=ET+T22=ET+2T2=ET 从而，T=T(-22)，且有T=T其次，求(STL)的概率 P
7、，也即求收益大于(LS)的概率。已知正态分布有性质:Pr06=1-N(-)其中:正态分布随机变量 关键值 的期望值 的标准差所以:P=Pr06ST1=Pr061NSTS1NLS=1N-1NLS2)TTNC4 由对称性:1-N(D)=N(-D)P=N1NSL+(-22)TTArS 第三，求既定 STL 下 ST 的期望值。因为 EST|STL处于正态分布的 L 到范围，所以，EST|ST=SETN(D1)N(D2)其中:D1=LNSL+(+22)TTD2=LNSL+(-22)TT=D1-T最后，将 P、EST|STL代入(*)式整理得 B-S 定价模型:C=SN(D1)-LE-TN(D2)(二)
8、B-S 模型应用实例假设市场上某股票现价 S 为 164，无风险连续复利利率 是 0.0521，市场方差 2为 0.0841，那么实施价格 L 是 165，有效期 T 为 0.0959 的期权初始合理价格计算步骤如下:求 D1:D1=(1N164165+(0.052)+0.08412)0.09590.290.0959=0.0328求 D2:D2=0.0328-0.290.0959=-0.570查标准正态分布函数表，得:N(0.03)=0.5120 N(-0.06)=0.4761 求 C:C=1640.5120-165E-0.05210.09590.4761=5.803因此理论上该期权的合理价格
9、是 5.803。如果该期权市场实际价格是 5.75，那么这意味着该期权有所低估。在没有交易成本的条件下，购买该看涨期权有利可图。(三)看跌期权定价公式的推导B-S 模型是看涨期权的定价公式，根据售出购进平价理论(Put-callparity)可以推导出有效期权的定价模型，由售出购进平价理论，购买某股票和该股票看跌期权的组合与购买该股票同等条件下的看涨期权和以期权交割价为面值的无风险折扣发行债券具有同等价值，以公式表示为:S+PE(S，T，L)=CE(S，T，L)+L(1+)-T移项得:PE(S，T，L)=CE(S，T，L)+L(1+)-T-S，将 B-S 模型代入整理得:P=LE-T1-N(D
10、2)-S1-N(D1)此即为看跌期权初始价格定价模型。B-S 模型的发展、股票分红B-S 模型只解决了不分红股票的期权定价问题，默顿发展了 B-S 模型，使其亦运用于支付红利的股票期权。(一)存在已知的不连续红利假设某股票在期权有效期内某时间 T(即除息日)支付已知红利 DT，只需将该红利现值从股票现价 S 中除去，将调整后的股票价值 S代入 B-S 模型中即可:S=S-DTE-rT。如果在有效期内存在其它所得，依该法一一减去。从而将 B-S 模型变型得新公式: C=(S-E-TN(D1)-LE-TN(D2)(二)存在连续红利支付是指某股票以一已知分红率(设为 )支付不间断连续红利，假如某公司股票年分红率 为 0.04，该股票现值为 164，从而该年可望得红利 164004= 6.56。值得注意的是，该红利并非分 4 季支付每季 164；事实上，它是随美元的极小单位连续不断的再投资而自然增长的，一年累积成为 6.56。因为股价在全年是不断波动的，实际红利也是变化的，但分红率是固定的。因此，该模型并不要求红利已知或固定，它只要求红利按股票价格的支付比例固定。
