构造等差数列解三角题

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1、构造等差数列解三角题构造等差数列解三角题祁福元在三角函数问题中，根据题中的信息，利用等差中项b2ca的特征，构造相应的等差数 列，可改变问题的原有结构，能沟通三角与代数的相互转化，往往会优化解题思路。 一、利用两个函数的和为定值构造数列例 1. 已知51cossin ，,2，则cot_。解：101251cossin构造数列cos,101,sin设d101cos, d101sin由,2知0d101即101d又由1cossin22得1d101d10122 解得107d所以108sin ，106cos ，43cot例 2. 已知)0b, 0a (0xcosbxsina,Cx2cosBx2sinA，求

2、证 0C)ba (B)ab(abA22222。证明：)0b, 0a (02xcosbxsina构造数列xcosb, 0 , xsina设dxcosb, dxsina，则1bd adxcosxsin22 22 所以2222 2 babad所以xsinxcosBxcosxsinA2x2cosBx2sinAC222222222222baAab2)ba (Bba)ba (Bd abAd2所以0C)ba (B)ab(abA22222二、利用两角和为定值构造数列例 3. 在ABC 中，b2ca，3CA ，Bsin_。解：623CA)C(A构造数列A,6,C设d6C, d6A ，则d2CA,6dC所以d2s

3、in)CA(sinBsin因为b2ca所以BsinR22CsinR2AsinR2所以Bsin2CsinAsin即d2sin26dsind6sin 所以6cosdsin2dcosdsin22所以43dcos由0d6C 及d6A 知65d6故0dsin所以413 1631dsin所以d2sinBsin839 43 4132例 4. 在ABC 中，B2CA，且Bcos2 Ccos1 Acos1，求2CAcos的值。解：因为 A+C=2B所以 A+B+C=2B+B=180所以 B=60所以 A+C=120=260构造数列 60+，60，60，则60cos2)60cos(1 )60cos(1Ccos1

4、Acos1化简，得03cos2cos42由 180600180600得6060所以22 4234422cos所以2)60()60(cos2CAcos22cos三、变量代换构造数列例 5. 若 A 为三角形的一个内角，试求2Asin Asin2 的最小值。解：设2t2t2Asin Asin2因为 A 为三角形内角，所以0t , 1Asin0构造数列2Asin,2t,Asin2设d2t 2Asin, d2t Asin2则21d2t0 , 2d2t即21 2td,2t2d两式相加，得43d 由 d2t2Asin d2t2得1d4t22 所以25t ,42544344d4t2 22 因为当25t 、43d 时143 452Asin 当2A 时，25 2Asin Asin2 最小例 6. 求xcosxsinxcosxsiny的最大值。解：设2t2txcosxsin因为 4xsin2xcosxsin所以2,2t构造数列xcos,2t, xsin设d2txcos, d2txsin于是22dtt41y ，2,2t因为224121 a2bt 顶点所以2,2为tt41) t (f2 的增区间，且) t (f最大、2d最小时，y 有最大值。所以当2t 、0d 、22xcosxsin即)Zk(4k2x 221242y2 最大