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1、1-1第第 1 章章概概 论论1.1 基本概念基本概念1.1.1 随机过程随机过程设是概率空间，T 是直线上的参数集（可列或不可列的） 。若对每一个),(P，是随机变量，则称为该概率空间上的随机过程。Tt )(),(wtwtTttw),(在固定时刻 t，是一个随机变量；对应每一个随机变量，有一个概率空),(tw间，即是样本空间内的一个随机变量。可用分布函数),(P),()(twwtw描述，这是一阶分布函数。xtwpxFt),()(),(tw例例 1.1 概率分布为 ，于是概率密度函数为, 2/10 xP2/11 xP ) 1(21)(21xxxf1.1.2 概率密度函数（概率密度函数（PDF:
2、 Probability Density Function）xxFxftt)()(1.1.3 二阶概率分布函数（二阶概率分布函数（CDF：Cumulative Distribution Function） ),;,(),(,),(21212211ttxxFxtwxtwPt相应地，PDF 为212121)( 2121),;,(),;,(xxttxxFttxxft n 维 CDF 表示为),;,(2121)(nnttttxxxFLLnnxtwxtwxtwP),(,),(,),(2211L随 n，可以获得对的统计特性起来越精确的描述。),(tw1.1.4 四种重要的随机过程四种重要的随机过程时间：连
3、续参数和离散参数；状态：连续和离散。1-21.2 举举 例例例例 1.2 一维随机游动：一质点在 X 轴上随机随动，时在原点，时在0tL, 3, 2, 1tX 轴上正向或反向移动一个单位距离，正向移动概率 p，负向移动概率 q，p+q=1；在时刻 n，质点位置为，求的概率分布。解：是一个随机变量。在时刻 n，质点移动 n 次，设其中正向 m 次，负向 n-m 次，则mnmqpmnkP 因为，2) 1()() 1(knmkmnm于是，222knkn qPknn kP此外，还有二维随机游动，向上、向下或向左、向右随机地移动。例例 1.3 脉冲数字信号，脉宽为常数，脉冲幅度是随机变量，可能取值，0T
4、)(t) 1, 2(取四个值的概率均 1/4。不同周期内的脉冲幅度相互独立，初始脉冲沿 u 是在内均匀分布的随机变量，求与间的联合 PDF。), 0(0T)(1t)(2t解： 当时，肯定不处于同一个脉冲内，相互021Ttt)()(21tt和)()(21tt和独立，所以联合 PDF 为u1-3 2; 12 2; 1121,)(41)(41),( 21jijxixxxftt 时，处于不同脉冲内（记为事件 C） ，也可以处于同一脉021Ttt)()(211tt和冲内（记为事 CC） ，且。因此，联合 PDF 为1)()(cCPCP)(),()(),(),(21,21,21, 212121cc CCC
5、PCxxfCPCxxfxxfctttttt其中， )()(41),()(41)(41),(12 2, 1121,2, 12 2; 1121,2121xxixCxxfjxixCxxfic CjiCctttt设，且为所在脉冲的前沿，于是是上均匀分布的随机变量。21tt 2t,202tTt 因此，为在上出现的概率。于是)(cP,21ttTttCPCPTttttTttduTCPctt1212 211201)(1)()(1)(21即于是，的联合概率密度函数为021Ttt Tttjxixxxf jitt122, 12 2; 1121,)(41)(41),( 21 Tttxxix i12 12 2, 111
6、)()(41例例 1.4 设。其中，A 是常数，w 是常数，是均匀分)()cos()(wtAt布于间的一个随机变量。求在 t 时刻的 PDF。),()(t)(xft解：在时刻 t，对应的随机变量与的关系为)(tt1-4)(1AAwtAtt COS由2)/(11AAddtt于是可得tddfxft)(2)(AxA xA ,12 12由此可见，的 PDF 与 t 无关，是一级平稳过程。)(t例例 1.5 设同例 1.4，求 t1和 t2间的联合 PDF。)(t解：首先，将联合概率密度函数分解为),(),(),;,(1122112121txtxftxfttxxf其中，)cos(),cos(2211wt
7、AxwtAx所以，cos)(cos11122AxttwAx或 AxttwAx11212cos)(cos在例 1.4 中给出。该过程是可预测过程，在 x1和 t1给定条件下，t2时刻取),(11txf值 x2的概率为 1，所以)()(),(221122xxtxtxf因此，)()(1),;,(222 122121 xx xAttxxf由此可见，这是一个二阶平稳过程。例例 1.6 在例 1.4 中的，若 A 也是个随机变量，服从瑞利分布)(t1-5 其它,00,)2/exp()(2yyyyfA并且 A 与之间相互独立。求二维联合 PDF。解：由于 A 与相互独立，所以2)()(),(2/,2aAAa
8、efafaf 设辅助变量，原随机变量。雅可比为)sin(wtAY)cos(wtAXawtawtawtwtAYXJ )cos()sin()sin()cos(),(),( 于是，21),(2/),(,2aaAYXefJyxf 其中，。所以，222yxa),(,221),(22,yxyxeyxfYX由此可见，相差相位的两点间的联合 PDF 是联合正态分布的。做边缘积分)(t2/可得)(21),()(2,2xedyyxfxfxYXX一维 PDF 是正态的（这与教材（陆）p.35 习题 4 的结果一致） 。下面求二维 PDF，设)cos()cos(2211wtAxwtAx雅可比为)(sin)sin()s
9、in()cos()cos(,),( 12 222121ttwawtawtawtwtAxxJ 所以，2),(1),(2/,21,221aAttaeafJxxf 1-6其中，)(sin)(cos221221212 22 12 ttwttwxxxxA 于是，)(sin2)(cos2exp21),(21321212 22 121,21ttwttwxxxxxxftt其中，。由此可见，是二级平稳。1x2x)(t例例 1.7 如例 1.3 的脉冲信号，若脉冲幅度服从正态分布，且不同周期内幅), 0(2N度相互独立，求二维联合概率密度函数。解：当时，两个时刻肯定处于不同的周期内，即相互统计独立。于是021Tt
10、t 2exp 21),;,(22 22 1 22121xxttxxf当时021Ttt),;,(2121ttxxf 2exp 21)(21)1 (22 22 1 221 12221221xx TttxxeTttx由此可见，一维虽然是正态的，但是二维不一定是正态的。1.3 随机过程的数字特征随机过程的数字特征1.3.1 均值（数学期望）均值（数学期望）dxtxxfdxxxftEtt),()()()(1)(111这种平均叫“集平均” 。表示在 t1时刻的“摆动中心” 。)(t1.3.2 方差和标准差（均方根差）方差和标准差（均方根差） dxtxftxtEtEttEtDt),()()()()()()(
11、)(1212 12 12 111121-7叫方差（二阶中心矩） ，叫“标准差”或“均方根差” 。表示在 t1 12t it)(t时刻对于均值的偏离程度。)(1t1.3.3 自相关函数自相关函数 212121)()(212121),;,()(),(21dxdxttxxfxxttEttRtt这是“二阶混合原点矩” 。1.3.4 自协方差函数自协方差函数 )(),(),;,()()()()()(21212121)()(22112211),(2121ttCovdxdxttxxftxtxttttECtttt 当时，21tt 2 12 112 21)()(),(ttEtttC这是“二阶混合中心矩” 。1.
12、3.5 相关性相关性两个随机变量间的相关程度由相关系数 r 衡量，其定义为)(21和 2 222 1122112121)()(),(EEEEEEEDDCovr （1） 当时， 之间存在线性关系，即。因此，的联1r21和ba1221和合概率密度函数为)()()()(),(121111221111221baxxxfxfxxfxxf（2） 当 r=0 时，之间“不相关” ，是指不存在线性关系，但可以存在其它21和的非线性关系，因此不一定是独立的；（3） 当时，线性无关。 （线性无关不一定是“不相关” ） 。10 r21与1-81.3.6 一组随机变量间的相关性一组随机变量间的相关性设有一组随机变量，
13、其相关矩阵的元素。由n,21LRv jiijER的非负定性（定理 1.2）可知，对于任意，有)(jiRn,21L ninjijjiR 110也就是。 （见 P.123 来至 P.14 首证明）02 2211nnEL（1） 若存在一组不全为零的，使则称n,21L02 11nnEL线性相关。n,21L（2） 若只有当时，才等于 0，则称021nL2 11nnxEL线性无关。n,21L实际上，当线性无关时，它们的相关矩阵为正定阵，线性相关时为奇异n,21L阵，即。对于协方差阵也是这样。对于两个随机变量,，线性相关时0Rji和；但是，线性无关并不一定是“不相关” ，线性无关与对应。1r10 r例如，和（为常数， U（0，2） ） ，则；cos1)cos(2cos21r当或时，即线性相关；当时，与不相关，即01r21与20r12不存在线性关系，然而存在非线性关系。12 22
