高中物理奥赛讲座第6部分：振动和波

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1、高中物理辅导网 http:/ http:/ mkxv2、简谐运动的方程 回避高等数学工具，我们可以将简谐运动看成匀速圆周 运动在某一条直线上的投影运动（以下均看在 x 方向的投影） ， 圆周运动的半径即为简谐运动的振幅 A。依据：x=m2Acos=m2Fvxv对于一个给定的匀速圆周运动，m、 是恒定不变的， 可以令：m2=k 这样，以上两式就符合了简谐运动的定义式。所以，x 方向的位移、速度、加速度就是简谐运动的相关规律。从图 1 不难得出 位移方程：=Acos(t+)xv速度方程：=Asin(t+)vv加速度方程：=2Acos(t+)av相关名词：(t+)称相位， 称初相。 运动学参量的相互

2、关系：=2avxvA=202 0)v(xtg=00 xv 3、简谐运动的合成 a、同方向、同频率振动合成。两个振动 x1=A1cos(t+1)和 x2=A2cos(t+2)合成，可令合振动x=Acos(t+)，由于 x=x1+x2，解得A=，=arctg)cos(AA2AA12212 22 122112211 cosAcosAsinAsinA 显然，当 21=2k 时（k=0，1，2，） ，合振幅 A 最大，当 21=（2k+1） 时 （k=0，1，2，） ，合振幅最小。 b、方向垂直、同频率振动合成。当质点同时参与两个垂直的振动 x=A1cos(t+1)和y=A2cos(t+2)时，这两个振

3、动方程事实上已经构成了质点在二维空间运动的轨迹参数方程，消去参高中物理辅导网 http:/ http:/ t 后，得一般形式的轨迹方程为+2cos(21)=sin2(21)2 12Ax2 22Ay21AAxy显然，当 21=2k 时（k=0，1，2，） ，有 y=x，轨迹为直线，合运动仍为简谐运12 AA动；当 21=（2k+1） 时（k=0，1，2，） ，有+=1，轨迹为椭圆，合运动2 12Ax2 22Ay不再是简谐运动； 当 21取其它值，轨迹将更为复杂，称“李萨如图形” ，不是简谐运动。 c、同方向、同振幅、频率相近的振动合成。令 x1=Acos(1t+)和 x2=Acos(2t+)，由

4、于合运动 x=x1+x2，得：x=（2Acost）cos（t+） 。合运动是振动，但不是简谐运动，称为角212 212频率为的“拍”现象。2124、简谐运动的周期由式得：=，而圆周运动的角速度和简谐运动的角频率是一致的，所以mkT=2km5、简谐运动的能量 一个做简谐运动的振子的能量由动能和势能构成，即=mv2+kx2=kA2E21 21 21注意：振子的势能是由（回复力系数）k 和（相对平衡位置位移）x 决定的一个抽象的概念，而不 是具体地指重力势能或弹性势能。当我们计量了振子的抽象势能后，其它的具体势能不能再做重复计 量。 6、阻尼振动、受迫振动和共振 和高考要求基本相同。二、机械波 1、

5、波的产生和传播 产生的过程和条件；传播的性质，相关参量（决定参量的物理因素） 2、机械波的描述 a、波动图象。和振动图象的联系 b、波动方程 如果一列简谐波沿 x 方向传播，振源的振动方程为 y=Acos（t+） ，波的传播速度为 v，那么 在离振源 x 处一个振动质点的振动方程便是y=Acost+-2=Acos（t-）+x vx这个方程展示的是一个复变函数。对任意一个时刻 t，都有一个 y（x）的正弦函数，在 x-y 坐标下可以描绘出一个瞬时波形。所以，称 y=Acos（t-）+为波动方程。vx3、波的干涉高中物理辅导网 http:/ http:/ 则遵从矢量叠加（包括位移、速度和加速度的叠

6、加） 。 b、波的干涉。两列波频率相同、相位差恒定时，在同一介质中的叠加将形成一种特殊形态：振 动加强的区域和振动削弱的区域稳定分布且彼此隔开。 我们可以用波程差的方法来讨论干涉的定量规律。如 图 2 所示，我们用 S1和 S2表示两个波源，P 表示空间任 意一点。 当振源的振动方向相同时，令振源 S1的振动方程为 y1=A1cost，振源 S1的振动方程为 y2=A2cost，则在空 间 P 点（距 S1为 r1，距 S2为 r2） ，两振源引起的分振动 分别是y1=A1cos（t） vr1y2=A2cos（t） vr2P 点便出现两个频率相同、初相不同的振动叠加问题（1=，2=） ，且初相

7、差vr1 vr2=（r2r1） 。根据前面已经做过的讨论，有vr2r1=k 时（k=0，1，2，） ，P 点振动加强，振幅为 A1+A2；r2r1=（2k1）时（k=0，1，2，） ，P 点振动削弱，振幅为A1A2。24、波的反射、折射和衍射 知识点和高考要求相同。 5、多普勒效应 当波源或者接受者相对与波的传播介质运动时，接收者会发现波的频率发生变化。多普勒效应的定 量讨论可以分为以下三种情况（在讨论中注意：波源的发波频率 f 和波相对介质的传播速度 v 是恒定不 变的） a、只有接收者相对介质运动（如图 3 所示） 设接收者以速度 v1正对静止的波源运动。 如果接收者静止在 A 点，他单位

8、时间接收的波的个数为 f， 当他迎着波源运动时，设其在单位时间到达 B 点，则=v1， 、AB 在从 A 运动到 B 的过程中，接收者事实上“提前”多 接收到了 n 个波n=AB f/vv1 vfv1显然，在单位时间内，接收者接收到的总的波的数目为：f+n=f，这就是接收者发现的频率 f1。即vvv1f1=fvvv1显然，如果 v1背离波源运动，只要将上式中的 v1代入 负值即可。如果 v1的方向不是正对 S，只要将 v1出正对的高中物理辅导网 http:/ http:/ b、只有波源相对介质运动（如图 4 所示） 设波源以速度 v2正对静止的接收者运动。如果波源 S 不动，在单位时间内，接收

9、者在 A 点应接收 f 个波，故 S 到 A 的距离：=fSA 在单位时间内，S 运动至 S，即=v2。由于波源的运SS 动，事实造成了 S 到 A 的 f 个波被压缩在了 S到 A 的空间 里，波长将变短，新的波长=fASfSSSA fvf2 fvv2而每个波在介质中的传播速度仍为 v，故“被压缩”的波 （A 接收到的波）的频率变为f2=fv2vvv 当 v2背离接收者，或有一定夹角的讨论，类似 a 情形。 c、当接收者和波源均相对传播介质运动 当接收者正对波源以速度 v1（相对介质速度）运动，波源 也正对接收者以速度 v2（相对介质速度）运动，我们的讨论可以在 b 情形的过程上延续f3=f

10、2=fvvv121 vvvv 关于速度方向改变的问题，讨论类似 a 情形。 6、声波 a、乐音和噪音 b、声音的三要素：音调、响度和音品 c、声音的共鸣第二讲重要模型与专题一、简谐运动的证明与周期计算 物理情形：如图 5 所示，将一粗细均匀、两边开口的 U 型管固定，其中装有一定量的水银，汞柱总 长为 L。当水银受到一个初始的扰动后，开始在管中振动。忽略管壁对汞的阻力，试证明汞柱做简谐运 动，并求其周期。 模型分析：对简谐运动的证明，只要以汞柱为对象，看它的回复力与位移关系是否满足定义式，值得注意的是，回复力系指振动方向上的合力（而非整体Fv合力） 。当简谐运动被证明后，回复力系数 k 就有了

11、，求周期就是顺理成章的事。 本题中，可设汞柱两端偏离平衡位置的瞬时位移为 x、水银密度为 、U 型管 横截面积为 S，则次瞬时的回复力F=g2xS=xLmg2由于 L、m 为固定值，可令：=k，而且 F 与 x 的方向相反，故汞柱做简Lmg2谐运动。高中物理辅导网 http:/ http:/ T=2=2km g2L答：汞柱的周期为 2。g2L学生活动：如图 6 所示，两个相同的柱形滚轮平行、登高、水平放置，绕各自的轴线等角速、反方向地 转动，在滚轮上覆盖一块均质的木板。已知两滚轮轴线的距离为 L、滚轮与木板之间的动摩擦因素为 、 木板的质量为 m，且木板放置时，重心不在两滚轮的正中央。试证明木

12、板做简谐运动，并求木板运动的周期。 思路提示：找平衡位置（木板重心在两滚轮中央处） 力矩平衡和 F6=0 结合求两处弹力求摩擦力合力答案：木板运动周期为 2。g2L 巩固应用：如图 7 所示，三根长度均为 L=2.00m 地质量均匀直杆，构成一正三角形框架 ABC，C 点悬 挂在一光滑水平轴上，整个框架可绕转轴转动。杆 AB 是一导轨，一电动松鼠可在导轨上运动。现观察 到松鼠正在导轨上运动，而框架却静止不动，试讨论松鼠的运动是一种什么样的运动。 解说：由于框架静止不动，松鼠在竖直方向必平衡，即： 松鼠所受框架支持力等于松鼠重力。设松鼠的质量为 m， 即：N=mg 再回到框架，其静止平衡必满足框

13、架所受合力矩为零。 以 C 点为转轴，形成力矩的只有松鼠的压力 N、和松鼠可 能加速的静摩擦力 f，它们合力矩为零，即：MN=Mf 现考查松鼠在框架上的某个一般位置（如图 7，设它在 导轨方向上距 C 点为 x） ，上式即成：Nx=fLsin60解两式可得：f=x，且 f 的方向水平向左。 L3mg2根据牛顿第三定律，这个力就是松鼠在导轨方向上的合 力。如果我们以 C 在导轨上的投影点为参考点，x 就是松鼠的瞬时位移。再考虑到合力与位移的方向因 素，松鼠的合力与位移满足关系=kFvxv其中 k=，对于这个系统而言，k 是固定不变的。 L3mg2显然这就是简谐运动的定义式。 答案：松鼠做简谐运动

14、。 评说：这是第十三届物理奥赛预赛试题，问法比较模糊。如果理解为定性求解，以上答案已经足够。 但考虑到原题中还是有定量的条件，所以做进一步的定量运算也是有必要的。譬如，我们可以求出松高中物理辅导网 http:/ http:/ g2L3二、典型的简谐运动 1、弹簧振子 物理情形：如图 8 所示，用弹性系数为 k 的轻质弹簧连着一个质 量为 m 的小球，置于倾角为 的光滑斜面上。证明：小球在弹簧方 向的振动为简谐运动，并求其周期 T。学生自己证明。周期 T=2km模型分析：这个结论表明，弹簧振子完全可以突破放置的方向而 伸展为一个广义的概念，且伸展后不会改变运动的实质。其次，我们 还可以这样拓展：把上面的下滑力换程任何一个恒力（如电场力） ， 它的运动性质仍然不会改变。 当然，这里的运动性质不变并不是所有运动参量均不改变。譬如，振子的平衡位置、振动方程还是 会改变的。下面我们看另一类型的拓展 物理情形：如图 9 所示，两根相同的弹性系数分别为