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1、12013 年第三届全国学而思综合能力测评（学而思杯）数学试卷（五年级）详解一填空题（每题一填空题（每题 5 分，共分，共 20 分）分）1.两个质数的和是 9，那么这两个质数的乘积是_【考点】数论，质数性质【难度】【答案】14【分析】两质数和为奇数，必有偶质数 2，另一质数为 7，故答案为2714.2.如右图，共有_个正方形【考点】组合，几何计数【难度】【答案】10【分析】1 1的正方形有 4 个，22的正方形有 5 个，44的正方形有 1 个，共 10 个.3.学而思教研部一共购买了 300 本书，其中有五分之二是数学书，三分之一是语文书，其余是英语书那么，英语书共有_本【考点】应用题，分
2、数应用题【难度】【答案】80【分析】21300(1)3001201008053（本）.4.如右图，正方形 ABCD 边长为 40 厘米，其中 M、N、P、Q 为所在边的中点；分别以正方形的顶点为圆心，以边长的一半为半径做直角扇形，那么形成图中阴影部分的面积是_平方厘米 （取 3.14）【考点】几何，圆与扇形面积【难度】【答案】344【分析】阴影面积的实质是整体减空白：边长 40 厘米的正方形面积减去半径为 20 厘米的圆的面积（4个扇形刚好拼成一个整圆） ，故答案为22403.1420400(43.14)344平方厘米.2二填空题（每题二填空题（每题 6 分，共分，共 24 分）分）5.对一个
3、大于 1 的自然数进行如下操作：如果是偶数则除以 2，如果是奇数则先减去 1 再除以 2，如此进行直到得数为 1，操作停止那么，所有经过 3 次操作结果为 1 的数中，最大的数是_【考点】数论，奇偶性，倒推【难度】【答案】15【分析】从 1 向前倒推，寻找原数的最大值；但发现若上一步是偶数，则须本数2；若上一步是奇数，则须本数21 ；明显每次向前推出奇数可使原数更大，倒推过程为：13715；故 15 为原数的可能达到的最大值.6.定义：( , , ,)4321A B C DABCD ，那么，(2,0,1,3)=_【考点】计算，定义新运算【难度】【答案】13【分析】按定义式，(2,0,1,3)2
4、4031 23 113 .7.一项工程，由甲队单独做 10 天后，乙队加入，甲、乙两队又合作了 8 天完成；这项工程，如果全部由乙队单独做，20 天可以完成那么，如果全部由甲队单独做，_天可以完成【考点】应用题，工程问题【难度】【答案】30【分析】把总工作量看做单位“1”，则乙队的工作效率为每天做1 20，故可在甲乙合作的条件中求出甲队的工作效率为每天做131(18)(108)1820530；故答案为 30.8.如右图，大正方体的棱长为 2 厘米，两个小正方体的棱长均为 1厘米， 那么， 组合后整个立体图形的表面积为_平方厘米【考点】几何，立体几何，表面积【难度】【答案】32【分析】 三个立方
5、体原总表面积为22216162636平方厘米， 之后放在一起时缺失了 4 个1 1的表面，故答案为2361432平方厘米；或者可用三视图法求表面积：(556)232平方厘米.3三填空题（每题三填空题（每题 7 分，共分，共 28 分）分）9.甲、乙、丙 3 人共有 2013 块巧克力，甲拿走了乙、丙各 3 块巧克力后，甲、乙、丙 3 人的巧克力数比为4:2:5，那么，甲原有_块巧克力【考点】应用题，比例应用题【难度】【答案】726【分析】之后甲的巧克力块数易由 3 人的块数比求得，为42013732425块，故甲原有巧克力73232726 块.10. 在 55 的方格中，将其中的一些小方格染成
6、红色，使得对于图中任意的22 的方格中， 均有至少 1 个小方格是红色的 那么， 至少要将_个小方格染成红色【考点】组合，构造与论证【难度】【答案】4【分析】论证：为了保证 4 个角上的互不重叠的 4 个22的方格中都至少有 1个红色方格，可知答案必不小于 4；构造：如右图，4 是可能的；综上，答案为 4.11.一个五位数，各位数字互不相同，并且满足：从左往右，第一位是 2 的倍数，前两位组成的两位数是 3 的倍数，前三位组成的三位数是 5 的倍数，前四位组成的四位数是 7 的倍数，这个五位数是 11 的倍数那么，这个五位数最小是_【考点】数论，整除特征，最值【难度】【答案】21076【分析】
7、考虑最值确定各位数字：万位是 2 的倍数，故万位最小应为 2；前两位组成的数是 3 的倍数，故前两位最小应为 21；前三位组成的数是 5 的倍数，故前三位最小应为 210；前四位组成的数是 7 的倍数，最小为 2100，但要求各位数字不同，故应为 2107；这个五位数是 11 的倍数，故此数应为 21076.412. 右边的乘法竖式中，相同汉字代表相同数字，不同汉字代表不同数字，那么，“大自然”代表的三位数是_【考点】数论，数字谜【难度】【答案】958【分析】 由个位可知“我”为偶数， 再分析最高位即可知“我”只能为 2； 故“然”为 3 或 8； （还可分析知五个汉字所代表的数字之和必为 3
8、 的倍数，这个小结论可以辅助之后的分析）若“然”= 8，则分析万位知“大”只能为 9，故千位“爱”乘以 4 后向万位进 1，可知“爱”为 3 或 4；若“爱”= 4，此时十位：“自43 ”的末位数字为 4，这表示“自4”的末位数字为 1，奇偶性矛盾！故确定“爱”只能为 3；若“爱”= 3，此时十位：“自43 ”的末位数字为 3，这表示“自4”的末位数字为 0，“自”为 0或 5；若“自”= 0，千位要接受进位 8，这不可能；若“自”= 5，则有答案23958495832；若“然”= 3，分析万位知“大”为 9 或 8；若“大”= 9，则千位“爱”乘以 4 后向万位进 1，可知“爱”只能为 4；
9、此时十位：“自41 ”的末位数字为 4，这表示“自4”的末位数字为 3，奇偶性矛盾！故知只能“大”= 8；若“大”= 8，分析十位可知“爱”为奇数，再分析千位可知“爱”= 1；此时无论十位的“自”为 0 还是为 5，式子的百位和千位都是错误的（21803480312错误；21853485312错误） ，故知“然”= 3 时无解；综上，本数字谜只有唯一解：23958495832，本题答案为 958.四填空题（每题四填空题（每题 8 分，共分，共 32 分）分）13. 有 A、B、C、D、E、F 六个人围坐在圆桌吃饭，A 会讲英语，B 会讲汉语、英语和法语，C 会讲汉语、英语和德语，D 会讲汉语和
10、德语，E 会讲汉语，F 会讲法语和德语如果每个人都能与他相邻的两个人交流， 那么， 共有_种不同的排座位方式 （经过旋转、对称后重合的方式不算做一种）【考点】组合，逻辑推理【难度】【答案】24【分析】本题突破口在于 A，由于 A 只会说英语，英语也只有 A、B、C 三人会说，故座位顺序中必然有紧邻的 BAC（或 CAB） ，此时分析 F 可知 F 必须与 B 或 C 中的一个相邻，E 必须在 D、F 的中间；综上，得到两种圆排列方式：BACEDF；BACFDE；每种圆排列方式都有旋转、对称的12 种排座方式，故答案为12224种.1234564我 爱 大 自 然大 自 然 爱 我514. A、
11、B 两地相距 120 千米甲、乙从 A 地，丙从 B 地同时出发，相向而行当甲、丙相遇时，乙行了 20 千米甲到达 B 地后立即原路返回，当乙、丙相遇在途中 C 地时，甲也恰好到达 C 地那么，当丙到达 A 地时，乙共行了_千米【考点】行程问题，比例法解行程问题【难度】【答案】72【分析】本题关键点在于甲丙速度之和与乙的速度之比为120:206:1；设甲、乙、丙三人到达 C 点时各走了 x、y、z 千米，则有方程组：120120 ():6:1zyxz xzy ，解得3 5y z（可以解出 x、y、z 的具体值，但其实不必要） ；故丙走了 120 千米时，乙走了3120725千米.15. 如右图
12、，三角形 ABC 是直角三角形，M 是斜边 BC的中点， MNPQ 是正方形， N 在 AB 上， P 在 AC 上 如果，AB 的长度是 12 厘米，AC 的长度是 8 厘米那么，正方形 MNPQ 的面积是_平方厘米【考点】几何，面积，弦图【难度】【答案】20【分析】如下图，过 M 点作 AB 的垂线，垂足为 D；以 AD 为外围正方形的一边，做出以 MNPQ 为内含正方形的弦图， ；则 MD 为ABC 的中位线，42ACMDcm，62ABADcm；故弦图中外围正方形边长为 6cm，4ANMDcm，642DNcm；故所求面积为222464202cm.FEDNMQPADQPNMCBAABCMN
13、PQ616. 有一个自然数 A，它的平方有 9 个约数，老师把 9 个约数写在 9 张卡片上，发给学学三张、思思三张学学说：“我手中的三个数乘积是3A”思思 说 ： “我 手 中 的 三 个 数 乘 积 就 是2A， 而 且 我 知 道 你 手 中 的 三 个 数 和 是 625 ”那么，思思手中的三个数和是_【考点】数论，约数个数定理，幻方【难度】【答案】55【分析】2A有 9 个约数，故由约数个数定理可逆推出：A 的质因数分解形式为4p或 pq（p、q 为不相同的质数） ；若4Ap，那么可把2A的 9 个约数写成如下的表格形式（幻方） ：7p15p2p4p6p3p8pp学学手中必拿到了一行
14、或一列或一条对角线；思思手中拿到的可能是（1、p、7p） （1、2p、6p）（1、3p、5p） （p、2p、5p） （p、3p、4p） ；只有后两组才能确定学学手中的牌，但后两组所确定的数需要481625pp或571625pp，可是这两种情况p均无解；故知A的质因数分解形式不能为4p，只能为pq；若Apq，那么可把2A的 9 个约数写成如下的表格形式1p2pqpq2p q2q2pq22p q思思手中拿到的可能是（1、p、2pq） （1、q、2p q） （1、2p、2q） （p、q、pq） ；经分析可知，只有当思思拿到（p、q、pq）时，才一定能确定学学手中的牌，此时学学手中的牌为（1、2p q
15、、2pq） ，故221625p qpq， （可用枚举法，或因数分析）解得A的两个质因数p、q为 3 和 13，故思思手中的牌为（3、13、39） ，所求答案为3133955.7五解答题（每题五解答题（每题 8 分，共分，共 16 分）分）17. 计算：（1）0.27 1030.19（4分）（2）312013 2.32010.42013104（4 分）【考点】计算、巧算【难度】【答案】28；4697【分析】 （1）原式0.27 100(0.2730.19)27128 ；（2）原式77201320134201342013469733.18. 解方程：（1）4(21)3(2)7xx（4分）（2）2547 35xx（4 分）【考点】计算、解方程【难度】【答案】1x ；23x 【分析】 （1）注意去第 2 个括号时要变号；
