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1、第十五章电路方程的矩阵形式内容总结目的是建立计算机辅助分析复杂电路（网络）的数学模型1、教学基本要求初步建立网络图论的基本概念：图、连通图和子图的概念，树、回路与割集的拓扑概念，关联矩阵，基本回路，基本割集的概念，选取树和独立回路的方法。关联矩阵，用降阶关联矩阵表示的KCL 和 KVL 的矩阵形式。回路与割集的拓扑概念，单连支回路，单树枝割集。2、重点和难点(1) 关联矩阵(2) 结点电压方程的矩阵形式(3) 状态变量的选取及状态方程的建立方法(4) 电路状态方程列写的直观法和系统法.三种主要关联矩阵形式： 结点关联矩阵A：描述结点与支路的关联关系的矩阵。设复杂电路（网络）有N 个结点、 B
2、条支路，其结点关联矩阵A 表示如下：(n-1)b 其中任意元素ajk的定义为： ajk= +1，表示结点j 与支路 k 相关联且支路方向流出结点；ajk= -1，表示结点j 与支路 k 相关联且支路方向流入结点；ajk= 0，表示结点j 与支路 k 不关联； 回路关联矩阵B：描述回路与支路的关联关系的矩阵。设复杂电路（网络）有L 个回路、 B 条支路，其回路关联矩阵B 表示如下：lb 其中任意元素bjk的定义为： bjk= +1，表示回路j 与支路 k 相关联且回路方向与支路方向一致；bjk= -1，表示回路j 与支路 k 相关联且回路方向与支路方向向反；bjk= 0，表示回路j 与支路 k
3、相不关联； 割集关联矩阵Q：描述割集与支路的关联关系的矩阵。设复杂电路（网络）有Q 个割集、 B 条支路，其割集关联矩阵Q 表示如下：(n-1)b 其中任意元素qjk的定义为： qjk= +1，表示割集j 与支路 k 相关联且割集方向与支路方向一致；qjk= -1，表示割集j 与支路 k 相关联且割集方向与支路方向向反；qjk= 0，表示割集j 与支路 k 相不关联；注意： 对于结点关联矩阵有：基尔霍夫电流定律的矩阵形式：Ai = 0 ；i = iii2i3ibT。基尔霍夫电压定律的矩阵形式：u = ATun；u = uiu2u3ubT。un= uniun2un3un(n-1)T。 对于回路关
4、联矩阵有：基尔霍夫电流定律的矩阵形式：i = BTil；i = iii2i3ibT。il= iliil2il3illT基尔霍夫电压定律的矩阵形式：Bu = 0；u = uiu2u3ubT。 对于割集关联矩阵有：基尔霍夫电流定律的矩阵形式：Qi = 0 ；i = iii2i3ibT。基尔霍夫电压定律的矩阵形式：u =QfTut；u = uiu2u3ubT。ut= utiut2ut3ut(n-1)T。三种矩阵之间的关系（略）2. 三种分析方法的方程的矩阵形式 回路电流方程的矩阵形式（略） 割集电压方程的矩阵形式（略） 结点电压方程的矩阵形式基尔霍夫电流定律的矩阵形式：Ai = 0 ；i = iii
5、2i3ibT。基尔霍夫电压定律的矩阵形式：u =ATu n； u = uiu2u3ubT。un= uniun2un3un(n-1)T。结点电压方程的矩阵形式的形成过程：第一步：建立复合支路：由于复杂电路的形式很难确定，在实际分析中只能采用具体电路具体分析。为建立复杂电路的一般分析方法，有必要假设复杂电路的复合支路，从而形成一个较为普遍的方法。复合支路即第k条支路如下：由基尔霍夫电流定律得：所以：对该式进行讨论，目的是得出一般规律。 复合支路中无受控源时：由 KCL得：变成将代入得：又所以对整个电路有：其中 Y 为支路导纳矩阵，它是一个对角矩阵。同理可以分析一下两种情况 复合支路中无受控源，但电
6、感之间有互感时： 复合支路中含有受控源时：都可以推导出第二步：写出A、Y、IS、US等矩阵；第三步：代入结点电压方程的矩阵形式：3、典型例题分析【例题 1】 ：含有受控源时的结点电压方程矩阵形式的列写。电路如图15.1（a）所示，图中元件的下标代表支路编号，图15.1（b）是它的有向图。写出结点电压方程的矩阵形式。图 15.1（a）图 15.1（b）解：由图15.1（b）得节点关联矩阵A, 节点电压的列向量，支路电流的列向量，支路电压的列向量，支路导纳矩阵，节点导纳矩阵，结点电压方程的矩阵形式为：【例题 2】 ：对于较为简单的电路，采用直观法和系统法均可，当电路较为复杂时，一般采用系统法。电路
7、如图15.2（ a）所示，以为状态变量，列出电路的状态方程。图 15.2（a）图 15.2（b）解：方法1 直观法KVL ：KCL ： ；消去：；代入上式：然后整理成矩阵形式（略）。方法2 系统法选图（ b）中支路1 、 3 、 4 、 6 为树支含电感单连支回路的KVL ：含电容单树支割集的KCL ：【例题 3】 ：求图 15.3 所示电路的状态方程。图 15.3解：设uc ,i1，i2为状态变量其中：从以上方程中消去非状态量，得：写成矩阵形式：【例题 4】 ：图 15.4 所示图 G 的关联矩阵A=_ 。图 15.4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A12345111000000000
8、111000000000111100100100010010010(每错一个元素扣2 分，扣完为止 ) 3、典型习题【题 1】 ：已知图G 的关联矩阵如下，画出图G。【题 2】 ： 图 15.5所示电路的图中， 可写出独立的KCL 、 KVL 方程数分别为：答 （）A.3 个， 3 个；B.3 个， 4 个；C.4 个， 3 个；D.4 个， 4个。图 15.5 【题 3】 ：图 15.6 所示电路的图G 已给出，则该电路支路导纳矩阵为：答（）图 15.6 【题 4】 ：图 15.7 所示电路的G 已给出， 则其支路导纳矩阵为：答（）图 15.7 【题 5】 ： 图 15.8所示电路支路编号和
9、参考方向如图G 所示， 则其支路导纳矩阵Yb为：答 （）图 15.8 【题 6】 ：当节点电压方程的矩阵形式为YUA YUAInnbSS时，标准支路的形式为图15.9中所示的：答 （）图 15.9 【题 7】 ：用矩阵法建立图15.10 所示电路的节点电压方程。（直接写出无分）图 15.10 【题 8】 ：按下列步骤列出图15.11 所示电路节点电压方程的矩阵形式：1.有向图 ;（编号按元件参数下标）2.出所需的各矩阵; 3.出节点电压方程的矩阵公式; 4.出节点电压方程的矩阵形式。图 15.11 【题 9】 ：用矩阵法建立图15.12 所示电路的节点电压方程（直接写出无分）。图 15.12
10、【题 10】 ：试列出图15.13 所示电路的矩阵形式状态方程。图 15.13 【题 11】 ： 图 15.14 所示电路中，R=5；C1=2F；C2=1F；L=2H.。求该电路的状态方程。图 15.14 【题 12】 ：试建立图15.15 所示电路的状态方程。图 15.15 【题 13】 ：试建立图15.16 所示电路的状态方程。图 15.16 【题 14】 ：图 15.17 所示电路中，R1=1000；R2=3000；C=250 F；L=0.1mH. 。试建立电路的状态方程。图 15.17 【题 15】 ：图 15.18 所示电路中，R1=1000；R2=30；R3=10；C=4000 F
11、；L=5mH.。试建立电路的状态方程。图 15.18 第十五章电路方程的矩阵形式答案题 1( )1( )2( )34()4( )5( )012356789(画错一条（包括方向错误）扣2 分，错 4 条以上则无分) 题 2： （C）题 3： （D）题 4： （C）题 5： （C）题 6： （A）题 7：题 8：题 9：题 10：dd dd ddSit it utiiuuCC1212122143 12120110题 11：ddutC1050 5.SiiLddutC 20 22. uiCLdditL050512.uuCC题 12：题 13：题 14：ddutCuiuCL1000SdditL250075001075003uiuCLS题 15：
