管理运筹学,线性规划,2,第一讲 线性规划,第一章 线性规划的数学模型第一节 线性规划一般模型第二节 线性规划的图解法第三节 线性规划的标准型第四节 线性规划解的概念第二章 线性规划的单纯形法第一节 单纯形法原理第二节 表格单纯形法第三节 人工变量问题第四节 单纯形法补遗第三章 线性规划的对偶理论第四章 线性规划灵敏性分析,3,第一章 线性规划的数学模型,线性规划 Linear Programming LP规划论中的静态规划解决有限资源的最佳分配问题求解方法：图解法单纯形解法,4,第一章 线性规划的数学模型,第一节 线性规划一般模型第二节 线性规划的图解法第三节 线性规划的标准型第四节 线性规划解的概念,5,第一节 线性规划一般模型,一、线性规划问题的三个要素,决策变量决策问题待定的量值称为决策变量决策变量的取值要求非负约束条件任何问题都是限定在一定的条件下求解，把各种限制条件表示为一组等式或不等式，称之为约束条件约束条件是决策方案可行的保障LP的约束条件，都是决策变量的线性函数目标函数衡量决策方案优劣的准则，如时间最省、利润最大、成本最低。
目标函数是决策变量的线性函数有的目标要实现极大，有的则要求极小6,第一节 线性规划一般模型,例1. 生产计划问题 某厂生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的消耗，以及资源的限制，相关数据如表所示： 问如何安排Ⅰ、Ⅱ两产品的产量，使利润为最大二、线性规划模型的构建,7,第一节 线性规划一般模型,(1)决策变量要决策的问题是Ⅰ、Ⅱ两种产品的产量，因此有两个决策变量：设x1为Ⅰ产品产量，x2为Ⅱ产品产量(2)约束条件生产这两种产品受到现有生产能力的制约，原料用量也受限制设备的生产能力总量为300台时，则约束条件表述为 x1 +x2 ≤300A、B两种原材料约束条件为 2x1 + x2 ≤400 x2 ≤250,建立模型,8,第一节 线性规划一般模型,(3)目标函数目标是利润最大化，用Z表示利润，则 maxZ= 50x1 +100 x2 (4)非负约束 Ⅰ、Ⅱ产品的产量不应是负数，否则没有实际意义，这个要求表述为 x1 ≥0， x2 ≥0,9,第一节 线性规划一般模型,某名牌饮料在国内有三个生产厂，分布在城市A1、A2、A3,其一级承销商有4个，分布在城市B1、B2、B3、B4，已知各厂的产量、各承销商的销售量及从Ai到Bj的每吨饮料运费为Cij，为发挥集团优势，公司要统一筹划运销问题，求运费最小的调运方案。
例2. 运输问题,10,第一节 线性规划一般模型,(1)决策变量设从Ai到Bj的运输量为xij，(2)目标函数运费最小的目标函数为minZ=6x11+3x12+2x13+5x14+7x21+5x22+8x23+4x24+3x31+2x32+9x33+7x34 (3)约束条件产量之和等于销量之和,故要满足：供应平衡条件,x11+x12+x13+x14=5x21+x22+x23+x24=2x31+x32+x33+x34 =3,销售平衡条件,x11+x21+x31=2x12+x22+x32=3x13+x23+x33=1x14+x24+x34=4,非负性约束 xij≥0 (i=1,2,3；j=1,2,3,4),11,第一节 线性规划一般模型,用一组非负决策变量表示一个决策问题，存在一定的等式或不等式的线性约束条件，有一个希望达到的目标，可表示成决策变量的线性函数可能是最大化，也可能是最小化线性规划一般模型的代数式 为：,三、线性规划的一般模型,max(min)Z=c1x1+c2x2+…+cnxn a11x1+a12x2+…+a1nxn ≤(≥,＝)b1a21x1+a22x2+…+a2nxn ≤(≥,＝)b2… … … … …am1x1+am2x2+…+amnxn≤(≥,＝)bmx1,x2,…,xn ≥(≤)0,12,第二节 线性规划的图解法,图解法即是用图示的方法来求解线性规划问题。
一个二维的线性规划问题，可以在平面图上求解，三维的线性规划则要在立体图上求解，这就比较麻烦，而维数再高以后就不能图示了一、图解法的基本步骤,13,第二节 线性规划的图解法,1. 可行域的确定,,,x1,x2,,,,100,200,300,100,200,300,五边形ABCDO内(含边界)的任意一点 (x1，x2) 都是满足所有约束条件的一个解，称之可行解 满足所有约束条件的解的集合，称之为可行域即所有约束条件共同围城的区域400,,400,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A,B,C,D,O,,z=0= 50x1 +100 x2,,,Z=27500=50x1 +100 x2,14,第二节 线性规划的图解法,2. 最优解的确定,目标函数 Z= 50x1 +100 x2 代表以Z为参数的一族平行线等值线：位于同一直线上的点的目标函数值相同最优解：可行解中使目标函数最优(极大或极小)的解最优值: 取最优解时对应的目标函数值,15,第二节 线性规划的图解法,由线性不等式组成的可行域是凸集(凸集的定义是：集合内部任意两点连线上的点都属于这个集合)可行域有有限个顶点设规划问题有n个变量，m个约束，则顶点的个数不多于Cnm个。
目标函数最优值一定在可行域的边界达到，而不可能在其内部二、几点说明,16,第二节 线性规划的图解法,三 、解的可能性,唯一最优解：只有一个最优点多重最优解：无穷多个最优解若在两个顶点同时得到最优解，则它们连线上的每一点都是最优解17,第二节 线性规划的图解法,无界解：线性规划问题的可行域无界，使目标函数无限增大而无界缺乏必要的约束条件）,三 、解的可能性（续）,18,第二节 线性规划的图解法,无可行解：若约束条件相互矛盾，则可行域为空集,三 、解的可能性（续）,19,第三节 线性规划的标准型,线性规划问题的数学模型有各种不同的形式，如目标函数有极大化和极小化；约束条件有“≤”、“≥”和“＝”三种情况；决策变量一般有非负性要求，有的则没有为了求解方便，特规定一种线性规划的标准形式，非标准型可以转化为标准型标准形式为：目标函数极大化，约束条件为等式，右端常数项bi≥0，决策变量非负一 、标准型,20,第三节 线性规划的标准型,1. 代数式,二、标准型的表达方式 有代数式、矩阵式：,简记,21,第三节 线性规划的标准型,2. 矩阵式,22,第三节 线性规划的标准型,目标函数极小化问题 minZ=CTX，只需将等式两端乘以 -1 即变为极大化问题。
因为minZ=-max (-Z)=CTX，令Z′= -Z，则maxZ′=-CX右端常数项非正 两端同乘以 -1约束条件为不等式当约束方程为“≤”时，左端加入一个非负的松弛变量，就把不等式变成了等式；当约束条件为“≥”时，不等式左端减去一个非负的剩余变量(也可称松弛变量)即可 决策变量xk没有非负性要求 令xk=xk′-x k〃， xk=xk′，x k〃 ≥0，用xk′、x k〃 取代模型中xk,三、非标准型向标准型转化,23,第三节 线性规划的标准型,例1 的标准型,x1 +x3 =8 2x2 +x4 = 12 3x1 +4 x2 +x5= 36 x1, x2 , x3 , x4 , x5 ≥0,maxZ= 3x1 +5 x2 +0x3 +0x4+0x5,24,minZ= x1 +2 x2 +3 x3′ x1 +2 x2 + x3′≤5 2x1 +3 x2 + x3′≥6 -x1 - x2 - x3′≥ -2 x1 ≥0, x3′≥0,第三节 线性规划的标准型,25,第三节 线性规划的标准型,标准化2 minZ= x1 +2 (x2′-x 2〃) +3 x3′ x1 +2 (x2′-x 2〃) + x3′≤5 2x1 +3 (x2′-x 2〃) + x3′≥6 - x1 - (x2′-x 2〃) - x3′≥ -2 x1, x2′,x 2〃 , x3′ ≥0 标准化3 minZ= x1 +2 (x2′-x 2〃 ) +3 x3′ x1 +2 (x2′-x 2〃 ) + x3′≤5 2x1 +3 (x2′-x 2〃 ) + x3′≥6 x1 + (x2′-x 2〃 ) + x3 ′≤ 2 x1, x2′, x 2〃, x3′ ≥0,26,第三节 线性规划的标准型,标准化4 minZ= x1 +2 (x2′-x 2〃) +3 x3′ x1 +2 (x2′-x 2〃) + x3′+ x4 =5 2x1 +3 (x2′-x 2〃) + x3′≥6 x1 + (x2′-x 2〃 ) + x3′ ≤ 2 x1, x2′, x 2〃, x3′, x4 ≥0标准化5 minZ= x1 +2 (x2′-x 2〃) +3 x3′ x1 +2 (x2′-x 2〃) + x3′+ x4 =5 2x1 +3 (x2′-x 2〃) + x3′ - x5 = 6 x1 + (x2′-x 2〃 ) + x3′ ≤ 2 x1, x2′, x 2〃, x3′, x4 , x5 ≥0,27,第三节 线性规划的标准型,标准化6 minZ= x1 +2 (x2′-x 2〃) +3 x3′ x1 +2 (x2′-x 2〃) + x3′+ x4 =5 2x1 +3 (x2′-x 2〃) + x3′ - x5 = 6 x1 + (x2′-x 2〃 ) - x3′ + x6= 2 x1, x2′, x 2〃, x3′, x4 , x5 , x6 ≥0标准化7 maxZ= -x1 -2 (x2′-x 2〃) - 3x3′+0x4+0x5+0x6 x1 +2 (x2′-x 2〃) + x3′+ x4 =5 2x1 +3 (x2′-x 2〃) + x3′ - x5 = 6 x1 + (x2′-x 2〃 ) - x3′ + x6 = 2 x1, x2′, x 2〃, x3′, x4 , x5 , x6 ≥0,。