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1、探究性课题探究性课题三角形的内接正方形的面积三角形的内接正方形的面积蔡兆生课本例题，具有一定的代表性现行课本中几经修订得以保留的例题，因其具有丰富 的内涵和推广价值而成为典型例题发挥典型例题应有的功能，对调动学生的学习积极性， 培养学生的思维品质，提高教学质量，具有重要的意义，现举例说明人教版初中几何第二册 P243 例 5，如图 1，ABC 是一块锐角三角形余料，边 BC=120mm，高 AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形一边在 BC 上，其余两个顶点 分别在 AB、AC 上，这个正方形零件的边长是多少？为方便起见，将课本解答抄录如下：设正方形 PQMN 为加工成的正方形零件，
2、边 QM 在 边 BC 上，顶点 P、N 分别在 AB、AC 上，ABC 的高 AD 与边 PN 相交于点 E，设正方形的边 长为 xmm， PNBC， APNABC，解得 x=48(mm) 答：(略)这是一道源于实际的应用题，既有自身的应用价值又有探究引申的教学价值1 1 变换视角，谋求问题解决的彻底性变换视角，谋求问题解决的彻底性由例题解法可知，正方形的边 QM 落在不同的边上(这样的正方形称为三角形的内接正 方形)，所得正方形的边长不尽相同，为提高锐角三角形余料的利用率，正方形的边长总希 望大一些为好为便于讨论，设ABC 的三边长分别为 a、b、c，各边上的高分别为 ha、hb、hc，边
3、落 在 BC、AC、AB 边上的内接正方形的边长分别为 xa、xb、xc，为不失一般性，设 abc，ABC 的面积为 S可得 hahbhc 根据例题解法有同理 xbxc， xaxbxc这表明，对于锐角三角形余料，内接正方形的一边落在锐角三角形最短边上时，边长 最大，即加工成的正方形最大 如果三角形余料不是锐角三角形，怎样使加工成的正方形零件最大呢？ xa=xb这表明：边落在直角边上的两个内接正方形一样大同理，可得 xbxc，即边落在斜 边上的内接正方形最小如果ABC 是钝角三角形，一边落在 BC 边上的面积最大的是正方形 PCMN，如图 2 所示，AD 为 BC 边上的高， MNAD， BCE
4、ACD，ab，SBCESACD， (aCDha)2(bCEhb)2=c22aha2CDhac22bhb2CEhb =4SABC2CDha4SABC2CEhb =2CDha2CEhb =4SACD4SBCE0， aCDhabCEhb， 即 xaxb 又 (bCEhb)2(chc)2 xb与 xc的大小不确定，从可操作性看，将内接正方形的一边落在钝角三角形较短边上 具有应用价值至此，三角形余料内接正方形的面积如何取得最大值问题已获彻底解决2 2 逆向思维，探求例题引出的新结论逆向思维，探求例题引出的新结论从上面的分析可以看出，同一个三角形，内接正方形的边落在三角形的不同边上的内 接正方形大小不同如
5、果正方形的一边落在三角形不同边上的内接正方形面积都相等，三 角形是不是等边三角形呢？设 a、b、c 分别ABC 中A、B、C 的对边，每边上的高分别为 ha，hb，hc，三个 内接正方形的边长分别为 xa、xb、xc，ABC 的面积为 S，由课本题目的解法可知：由 xa=xb=xc及 2S=aha=bhb=chc 得 aha=bhb=chc 由 aha=bhb去分母，整理得 a2b2bSab22aS=0， 分解因式得 2S(ba)ab(ba)=0， 即(ba)(2Sab)=0， 2Sab=ahaab=a(hab)0 (hab)， ba=0 即 a=b，同理 b=c， ABC 为等边三角形这样，
6、我们就得到了一个真命题：设ABC 三边上的三个内接正方形面积都相等，则 ABC 是等边三角形(第十一届江苏省初中数学竞赛题)3 3 静中窥动，录求例题引申的新题型静中窥动，录求例题引申的新题型从运动的观点看，若将原题中的点 P、N 沿 AB、AC 移动，必然会引起正方形边长及 QM 位置的变化，由此可编拟如下新题：已知：在ABC 中，四边形 PQMN 是有一边平行于 BC 的正方形，BC=120mm，高 AD=80mm，设正方形的边长为 xmm，正方形与三角形重叠部分的面积为 ymm2(1)当 Q、M 在ABC 内部时(如图 3)，求 y 与 x 的函数关系式及 x 的取值范围，并画出 它的图
7、象；(2)当 Q、M 不在ABC 内部时(如图 4)求 y 与 x 之间的函数关系式及 x 的取值范围，并 画出它的图象，求出 y 的最大值 略解：(1)y=x2，由例题解法知，当 QM 在 BC 边时，x=48，故 x 的取值范围是 0x48，图象如图 5(2) PNBC，y 取最大值为4 4 数形结合，探索例题达到的新境界数形结合，探索例题达到的新境界数与形是数学的两大支柱，优势互补，相得益彰，例题中三角形的底和高为将三角形 放入坐标系中有了可能，三角形的三个顶点为确定抛物线解析式创造了几何条件，三角形 的不定性会引起内接正方形大小的不定性，由此又可编拟如下探索性问题：已知抛物线 y=x2
8、mxm6(1)求证：不论 m 取何值，抛物线与 x 轴总有两个不同的交点；(2)若抛物线与 x 轴的两个交点 B、C 位于原点的两侧，且 OBOC=12，求 m 的值及 抛物线的解析式；(3)由(2)所得的抛物线上是否存在点 A，使得两个顶点落在 AB、AC 上，另两个顶点落 在 BC 上的正方形边长为 3？如果存在，请求出 A 点的坐标，如果不存在，请说明理由 略解 (1)因为=m24(1)(m6)=m24m24=(m2)2200，所以不论 m 取何值， 抛物线与 x 轴总有两个不同的交点 (2)由题意，设 x1，x2为 B、C 两点的横坐标，则 x10，x20，x2=2x1， 由根与系数的关系得 x1x2=m，x1x2=(m6)，解析式为 y=x22x82x08)，则易见 B、C 两点的横坐标分别为2，4， BC=6 由 PNBC 得(图 7)得ABC 内接正方形的边长为 3本题熔代数、几何于一炉，沟通了函数、方程、相似形之间的联系，不仅能使学生开 拓眼界，而且促进了思维能力的提高与创新意识的培养课本例题，蕴藏着丰富的内涵，挖掘、提高课本例题的教学价值，是一种创造性的劳 动发挥课本例题应有的作用，不仅能提高教学质量的近期效果，而且有利于落实素质教 育的远期需要充分利用课本例题的典型性与代表性，构建基础性训练与探索性学习相结 合的训练体系，是改进学生有效性学习的重要途径
