排列组合期末复习(学生版)

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1、排列组合常见题型及解法排列组合常见题型及解法1 1 重复排列重复排列“求幂运算求幂运算” 例例 1 1 8 名同学争夺 3 项冠军，获得冠军的可能性有（ ） 2.2. 特殊元素（位置）用优先法特殊元素（位置）用优先法 例例 1 1. 6 人站成一横排，其中甲不站左端也不站右端，有多少种不同站法？ 例例 2 2（2000 年全国高考题）乒乓球队的 10 名队员中有 3 名主力队员，派 5 名参加比赛，3 名主力队员要安排在第一、 三、五位置，其余 7 名队员选 2 名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有_种（用数字作答） 。 例例 3 3 5 个“1”与 2 个“2”可以组成多少个不同的数

2、列？ 3.3. 相邻问题用捆绑法相邻问题用捆绑法 例例 1.（1996 年上海高考题）有 8 本不同的书，其中数学书 3 本，外文书 2 本，其他书 3 本，若将这些书排成一列放 在书架上，则数学书恰好排在一起，外文书也恰好排在一起的排法共有_种（结果用数字表示） 。 4.4. 相离问题用插空法相离问题用插空法 例. 7 人排成一排，甲、乙、丙 3 人互不相邻有多少种排法？ 5.5. 定序定序( (顺序一定顺序一定) )问题用除法问题用除法 例例. 由数字 0、1、2、3、4、5 组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的六位数有 多少个？ 6.6. 多排问题用直排法多排问题用直排法

3、 例. 9 个人坐成三排，第一排 2 人，第二排 3 人，第三排 4 人，则不同的坐法共有多少种？ 7.7. 至少问题至少问题正难则反正难则反“排除法排除法” 例例 1.1. 四面体的顶点和各棱中点共有 10 个点，取其中 4 个不共面的点，则不同的取法共有（ ） A. 150 种 B. 147 种 C. 144 种 D. 141 种 8 8错位排列问题错位排列问题:错位排列问题是一个古老的问题，最先由贝努利（Bernoulli）提出，其通常提法是：n 个有序元 素，全部改变其位置的排列数是多少？所以称之为“错位”问题。 例例 1五个编号为 1、2、3、4、5 的小球放进 5 个编号为 1、2

4、、3、4、5 的小盒里面，全错位排列（即 1 不放 1，2 不放 2，3 不放 3，4 不放 4，5 不放 5，也就是说 5 个全部放错）一共有多少种放法？ 例例 2五个瓶子都贴了标签，其中恰好贴错了三个，则错的可能情况共有多少种？ 9.9. “隔板法隔板法” 例例: :为构建和谐社会出一份力，一文艺团体下基层宣传演出，准备的节目表中原有 4 个歌舞节目，如果保持这些节 目的相对顺序不变，拟再添 2 个小品节目，则不同的排列方法有多少种？ 例例. . 有 10 个三好学生名额，分配到 6 个班，每班至少 1 个名额，共有多少种不同的分配方案？ 10分球入盒问题分球入盒问题 例将 5 个小球放到

5、 3 个盒子中，在下列条件下，各有多少种投放方法？ 小球不同，盒子不同，盒子不空小球不同，盒子不同，盒子不空 解：将小球分成 3 份，每份 1，1，3 或 1，2，2。再放在 3 个不同的盒子中，即先分堆，后分配。有3122 35253 322 22CC(+)AAACC小球不同，盒子不同，盒子可空小球不同，盒子不同，盒子可空 解：种53 小球不同，盒子相同，盒子不空小球不同，盒子相同，盒子不空解：只要将 5 个不同小球分成 3 份，分法为：1，1，3；1，2，2。共有=25 种3122 5253 22 22CC+AACC小球不同，盒子相同，盒子可空小球不同，盒子相同，盒子可空本题即是将 5 个

6、不同小球分成 1 份，2 份，3 份的问题。共有种3122 5435253 55522 22CC()(+)41AACCCCC小球相同，盒子不同，盒子不空小球相同，盒子不同，盒子不空解：（隔板法） 。0 00 00 ，有种方法2 4C小球相同，盒子不同，盒子可空小球相同，盒子不同，盒子可空 把 5 个小球及插入的 2 个隔板都设为小球（7 个球） 。7 个球中任选两个变为隔板（可以相邻） 。那么 2 块隔板分成 3 份的小球数对应于 相应的 3 个不同盒子。故有=212 7C解：分步插板法。 小球相同，盒子相同，盒子不空小球相同，盒子相同，盒子不空 解：5 个相同的小球分成 3 份即可，有 3，

7、1，1；2，2，1。 共 2 种 小球相同，盒子相同，盒子可空小球相同，盒子相同，盒子可空 解：只要将将 5 个相同小球分成 1 份，2 份，3 份即可。分法如下：5，0，0； 4，1，0；3，2，0； 3，1，1； 2，2，1。 例、有 4 个不同的小球，放入 4 个不同的盒子内，球全部放入盒子内 （1）共有几种放法？（答：）44（2）恰有 1 个空盒，有几种放法？（答：）23 44144C A （3）恰有 1 个盒子内有 2 个球，有几种放法？（答：）同上23 44144C A （4）恰有 2 个盒子不放球，有几种放法？（答：）3222 444484C AC C11分组问题与分配问题分组问

8、题与分配问题 分组问题：均匀分组，除法处理；非均匀分组，组合处理分组问题：均匀分组，除法处理；非均匀分组，组合处理 例例。有 9 个不同的文具盒：（1）将其平均分成三组；（2）将其分成三组，每组个数 2，3，4。上述问题各有 多少种不同的分法？ 练习：12 个学生平均分成 3 组，参加制作航空模型活动，3 个教师各参加一组进行指导，问有多少种分组方法？分配问题：分配问题： 定额分配，组合处理；定额分配，组合处理； 随机分配，先组后排。随机分配，先组后排。 例例。有 9 本不同的书：（1）分给甲 2 本，乙 3 本，丙 4 本；（2）分给三个人，分别得 2 本，3 本，4 本。上述 问题各有多少

9、种不同的分法？概率概率、随机事件的概率例 1 某商业银行为储户提供的密码有 0，1，2，9 中的 6 个数字组成. (1)某人随意按下 6 个数字，按对自己的储蓄卡的密码的概率是多少？ (2)某人忘记了自己储蓄卡的第 6 位数字，随意按下一个数字进行试验，按对自己的密码的概率是多少？ 例 2 一个口袋内有 m 个白球和 n 个黑球，从中任取 3 个球，这 3 个球恰好是 2 白 1 黑的概率是多少？（用组合数 表示）、互斥事件有一个发生的概率例 3 在 20 件产品中有 15 件正品，5 件次品，从中任取 3 件，求： （1）恰有 1 件次品的概率；（2）至少有 1 件次品的概率. 例 4、

10、1 副扑克牌有红桃、黑桃、梅花、方块 4 种花色，每种 13 张，共 52 张，从 1 副洗好的牌中任取 4 张，求 4 张中至少有 3 张黑桃的概率.、相互独立事件同时发生的概率来源:学+科+网例 5 猎人在距离 100 米处射击一野兔，其命中率为 0.5，如果第一次射击未中，则猎人进行第二次射击，但距离 150 米. 如果第二次射击又未中，则猎人进行第三次射击，并且在发射瞬间距离为 200 米. 已知猎人的命中概 率与距离的平方成反比，求猎人命中野兔的概率.例 6 要制造一种机器零件，甲机床废品率为 0.05，而乙机床废品率为 0.1，而它们的生产是独立的，从它们制造 的产品中，分别任意抽

11、取一件，求： （1）其中至少有一件废品的概率； （2）其中至多有一件废品的概率. 、概率内容的新概念较多，本课时就学生易犯错误作如下归纳总结：类型一 “非等可能”与“等可能”混同例 1 掷两枚骰子，求所得的点数之和为 6 的概率类型二 “互斥”与“对立”混同例 2 把红、黑、白、蓝 4 张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁 4 个人，每个人分得 1 张，事件“甲分得红牌”与“乙 分得红牌”是（ ）A对立事件 B不可能事件 C互斥但不对立事件 D以上均不对类型三 “互斥”与“独立”混同例 3 甲投篮命中率为 O8，乙投篮命中率为 0.7，每人投 3 次，两人恰好都命中 2 次的概率是多少?几何概型几何

12、概型1、 【2012 高考真题辽宁理 10】在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 C.现作一矩形，领边长分别等于线段 AC，CB 的长，则该矩形面积小于 32cm2的概率为(A) (B) (C) (D) 1 61 32 34 5 2、 【2012 高考真题湖北理 8】如图，在圆心角为直角的扇形 OAB 中，分别以 OA，OB 为直径作两个半圆. 在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是A21 B11 2C2 D1 3、 【2012 高考真题北京理 2】设不等式组，表示平面区域为 D，在区域 D 内随机取一个点，则此点到坐 20, 20 yx标原点的距离大于 2 的概率是（A）

13、4（B）2 2（C）6（D）4 4练习：一、从 10 位同学（其中 6 女，4 男）中随机选出 3 位参加测验.每位女同学能通过测验的概率均为，每位男同学54能通过测验的概率均为.试求：53（）选出的 3 位同学中，至少有一位男同学的概率；（）10 位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率.二、 已知 8 支球队中有 3 支弱队,以抽签方式将这 8 支球队分为 A、B 两组,每组 4 支.求：（）A、B 两组中有一组恰有两支弱队的概率；（）A 组中至少有两支弱队的概率. (2004 年全国卷)三、为防止某突发事件发生，有甲、乙、丙、丁四种相互独立的预防措施可供采用，单独采用甲、乙

14、、丙、丁预防措施后此突发事件不发生的概率（记为 P）和所需费用如下:预防措施甲乙丙丁P0.90.80.70.6费用（万元）90603010预防方案可单独采用一种预防措施或联合采用几种预防措施，在总费用不超过 120 万元的前提下,请确定一个预防方案，使得此突发事件不发生的概率最大.(2004 年湖北卷)来源:学|科|网作业作业1、给 n 个自上而下相连的正方形着黑色或白色.当 n4 时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示：n=1n=2n=3n=4由此推断，当 n=6 时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有 种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有 种.（结果用数值表示）2、设整数，是平面直角坐标系中的点，其中4n ( , )P a bxOy,1,2,3, ,a bnabL（1）记为满足的点的个数，求；nA3abPnA（2）记为满足是整数的点的个数， 求nB1()3abPnB来源:Zxxk.Com