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1、神奇的神奇的 1 和和 0本系列本系列贡贡献者献者： ：与你的与你的缘缘 知知识识要点要点1我们用字母 表示除 0 以外的任何数，则有 1=1=； 1=。 0=0=； 0=； 0=0=0； 0=0。 0 无意义。 2掌握含 0 的数的读法，规定末尾的 0 不读；中间有一个 0 或几个 0 连在一起都只读一个0。范例解析范例解析例例 1 计算下面由数字 1 组成的“金字塔”，把所有的 1 都加起来，看谁算得快。1111111111111111111111111111111111111111111111111111111解解 “金字塔”每层的和分别是 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10。它们
2、的总和是：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 例例 2 请回答：数字 3 最少是几个数字相乘的积？最多呢？ 解解 由于 31=3，所以 3 最少是两个数字的积，最多可看成是一个数 3 和无穷多个数 1 的 积。 例例 3 我们做一个数字计算游戏。任取一个不是 1 的数，如果是双数就除以 2（如取 18，就 182）；如果是单数就乘以 3 加上 1 后再除以 2如取 7，就（731）2。现在我们取数 3， 反复用这两种方法计算，最后的结果怎样？任取数 7 呢？ 解解 将数 3 按这两种方法计算有：331=10 102=5 531=16 162=8 82=4 42=2 22=1简记为：310
3、5168421 同样，对于数 7 有：7221134175226134020105168421 数 3 和数 7 经过用规定的两种方法反复计算，最后的结果都是 1。这种计算方法称“角谷猜想”。例例 4 20 得几？说明理由。 解解 假定 20=，根据除法的意义，应有 0=2。但 0=0，所以 0 不能等于 2。这说明， 找不到一个数与 0 的积等于 2，故 20 无意义。 例例 5 把两个“9”和两个“0”拿来组成四位数，那么： 两个 0 都不读出来的数是什么数？ 只读出一个 0 的数是什么数？ 四位数中最大的一个数是什么数？ 四位数中最小的一个数是什么数？ 解解 9900 9090 9009
4、 9900 例例 6 计算： 13003 16005 4703 50085解解 思路技巧思路技巧任何一个数中间或末尾的 0，都占一个数位。因此，用乘数去乘被乘数时，不管乘数中间 有几个 0，都要一个一个地同乘数相乘；遇到被乘数末尾有 0 的时候，可以先用乘数去乘 0前面的数，然后在乘得的数的末尾填写 0，填写 0 的个数要与被乘数末尾的 0 的个数相同。 总之，0 和 1 有许多奇妙的性质，用途很广，例如，电子计算机所采用的二进制数，就只 用 1 和 0 来表示。随着数学知识的增长，你会越来越感到它们重要。 习题习题精精选选 1填空。1（ ）=1 1（ ）=1 1（ ）=12（ ）=1 1（
5、）=1 7（ ）=1 2计算。 61704 578390 8031 203034 302023 701012 3用“角谷猜想”计算方法填数。 6 181 4在 6 的后面添上一个 0，这个数是原来的几倍？比原来的数多多少？ 51400 末尾的两个 0 可以不读，也可以不写，对吗？为什么？ 61005 中间的两个零只读一个，也可以只写一个，对吗？为什么？ 70、2、4、6、8 五个数字的和与 2、4、6、8、0 五个数字的积相比，不用计算，你说是和大？ 还是积大？ 8比比看，谁做得又对又快？10 01 11 10 11 00 11 00 10 01 11 61 61 70 07 70 07 77
6、 77 （66）4 （88）0 0（84）11110101 9用四个 3、三个 0 写成七位数，按下面的要求写出各多位数： 一个零都不读出来 （ ） 只读出一个零 （ ） 读出两个零 （ ） 读出三个零 （ ）10数字迷。下面每个题里都有一组数，请你从中找出一个适合各问条件的数： 7 6 25 53 19 这个数被 3 除余 1； 这个数比最小的两位数大； 这个数加上 1，再乘以 5 正好是最小的三位数； 这个数的几？ 30500 53010 400200 7003000 这个数只读出一个零； 这个数的最高位在二节中； 这个数各个数位上的数的和为 8； 这个数是几？ 11用 1、0、0、4 四
7、个数字写出两个四位数，要使它们是差是 99，这两个四位数分别是（ ）和（ ）。余数的妙用余数的妙用本系列本系列贡贡献者献者： ：与你的与你的缘缘 知知识识要点要点1被除数=除数商余数； 2余数要比除数小； 3会解有余数除法的应用题。范例解析范例解析例例 1 如图 1-1。把 14 个乒乓球平均分给三个班，每班分得几个？还余下几个？解解 143 = 4 余 2 每班分得 4 个还余 2 个。 例例 2 下面三个竖式，哪个对？哪个不对？为什么不对？解解 第一个竖式不对，它的余数 8 比除数 5 还大，还可商 1，即商应为 8；第二个竖式也不对，因商和除数的积不能大于被除数；第三个竖式是对的，余数
8、3 小于除数 5。 说说明明 计算有余数的除法，余数一定要比除数小。这时被除数、除数、商和余数的关系是：被除数 = 除数商余数 被除数余数 = 除数商 例例 3 把 11、12、13、14、15、16、17 分别除以 3 时，各得哪些余数？解解 113 = 3 余 2； 123 = 4 余 0； 133 = 4 余 1； 143 = 4 余 2； 153 = 5 余 0； 163 = 5 余 1； 173 = 5 余 2。 说说明明 一串连续数除以同一个数，因为它们的余数小于除数，所以余数重复出现。“余数”在我们生活中还有不少的用处呢！ 例例 4 国庆节挂彩灯，用六种颜色的灯泡，按红、黄、蓝、
9、白、绿、紫的次序装配，总共要装 50 只灯，每种颜色的灯泡各需要多少只？ 解解 可以这样想，六种颜色的灯泡作为一组，50 只灯泡可以分成506 = 8（组）余 2（只）于是，其中有四种颜色的灯泡各配 8 只，另两种颜色的灯泡各配 9 只。 例例 5 今天是星期三，再过 20 天是星期几？ 解解 今天是星期三，因为一个星期有 7 天，以星期一为星期的第一天计算，因已经过了3 天。所以有（203）7 = 3 余 2即再过 20 天是星期二。例例 6 把 4、7、18、2 四个数填入下式的括号中。 （ ）（ ） = （ ）余（ ） 分析分析 第一个括号是被除数，它必须填最大的一个数 18。其次，除数
10、比余数要大，因此， 第二个括号中的数必须比最后一个括号中的数要大，但是 74 大于 18，所以最后一 个括号中只能填数 4。即题中式子填数如下：（ 18 ）（ 7 ） = （ 2 ）余（ 4 ）思路技巧思路技巧正确理解余数的性质，是正确解决有关余数问题的关键。 计算有余数的除法，余数一定要比除数小。 习题习题精精选选 看图填数。 113 = _( 根 )_（ 根 ） 144 = _( 份 )_（ 个 ）143 = _( 个 )_（ 个 ）下面各题的计算对吗？把不对的改过来。 385 = 68 496 = 77 498 = 59334 = 81 21 = 11 173 = 52 （ ）里最大能填
11、几？ （ ）855 （ ）519 （ ）733 （ ）962 （ ）650 （ ）414 55 除以 7，商几余几？除以 8 呢？除以 9 呢？ 被 4 除没有余数的：_被 9 除没有余数的：_ 用下面各数除以 2 时，得到哪些余数？除以 4 时，得到哪些余数？11、13、14、15、17、19 用下面各数分别除以 5、6 时，各得到哪些余数？11、12、13、14、15、16、17 把 23、7、3、2 填入两个式子中，使它们的余数相同。（ ）（ ） = （ ）（ ） （ ）（ ） = （ ）（ ） 下面三个算式的被除数相同，你能填出来吗？（ ）7 = （ ）1 （ ）6 = （ ）5 （
12、）5 = （ ）4 在里填上适当的数。在机场上停着 20 架飞机，准备每 3 架编为一组起飞，可以编成几组？还声几架？ 把 16 张风景画片平均分给 5 个同学，每人分得几张？还剩几张？ 把 16 张风景画片分给同学，每人分得 5 张，可以分给几个同学？还剩几张？ 一件衬衣前面要钉 5 个纽扣，袖口要钉 2 个纽扣，一共要钉几个纽扣？ 现有 45 个纽扣，每件钉 7 个，够钉几件衬衣？还剩几个纽扣？ 有 30 千克水果糖，每盒装 4 千克，剩下的装在纸袋里，纸袋里装多少千克糖？一个星期有 7 天，十月份有 31 天，十月份里有几个星期零几天？ 学校开会庆“六一”，有 9 面彩旗，平均插在会场两
13、边，每边插几面？还剩几面？ 学校开会庆“六一”，有 9 面彩旗，会场两边各插 4 面旗，中间插 1 面旗，共插了几面旗？周期周期现现象象本系列本系列贡贡献者献者： ：与你的与你的缘缘 知知识识要点要点自然界里有许多现象，如春、夏、秋、冬年复一年地交替；白天与黑夜反复出现；我国民间 流传着“初三、初四娥眉月，十五、十六月团圆”的说法；七天一个星期，等等，都是周期现象。 算术中也有一些有趣的周期问题。例如，一串连续的自然数被 3 除的余数是：1、2、0、1、2、0、1、2、0、 它是 1、2、0 重复出现的一列数，即周期是 3。 本节就是要让学生初步了解周期现象，并会用周期解某些较简单的问题。范例解析范例解析例例 1 有一串黑白珠子排列如图 1-4 所示。图 1-4其中黑珠与白珠共有 70 个，那么最后一个是黑珠还是白珠？共有几个白珠？ 解解 我们由图 1-4 可知四个珠子是一个周期，又 704=17 余 2，即这一串珠子经过 17 次重复后还余 2 个珠子，因此，最后一个是黑珠子。 一个周期的 4 个主张中有 3 个白珠，最后 2 个主张中有一个白珠，白珠一共应有：3171 = 511 = 52
