浓度配比与平均数问题

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1、浓度配比与平均数问题浓度配比与平均数问题一、一些简单的问题一、一些简单的问题求平均数可以产生许多数学题，这一节将通过一些简单的例子，增加对“平均” 这一概念的理解.例例 2 2 小明 4 次语文测验的平均成绩是 89 分，第 5 次测验得了 97 分，5 次测验的 平均成绩是多少？解：解：按照例 1 中的两种思路，有两种计算方法：先算出 5 次成绩的总和，再求平 均成绩，就有（894+97）5=90.6（分）.从算每一次“差”的平均入手，就有89+（97-89）5=90.6（分）.很明显，第二种方法计算简易.例例 3 3 小强 4 次语文测验的平均成绩是 87 分，5 次语文测验的平均成绩是

2、88.4 分， 问第 5 次测验他得了多少分？解：解：两种思路，两种计算方法：从总分数（总成绩）来考虑.第 5 次成绩=5 次总成绩-4 次总成绩=88.45-874=94（分）.从“差的平均”来考虑，平均成绩要提高88.4-87.因此，第 5 次得分应是87+（88.4-87）5=94（分）.请大家想一想，例 2 与例 3 这两个问题之间的关系.例例 4 4 小明前几次数学测验的平均成绩是 84 分，这一次要考 100 分，才能把平均 成绩提高到 86 分，问这一次是第几次测验？解：解：平均每次要提高（86-84）分，这一次比原来的平均成绩多了（100-84）分， 平均分摊在每一次上，可以分

3、摊多少次呢？（100-84）（86-84）=8（次）.因此这一次测验是第 8 次.例例 5 5 寒假中，小明兴致勃勃地读西游记，第一天读 83 页，第二天读 74 页， 第三天读 71 页，第四天读 64 页，第五天读的页数，比五天中平均读的页数还多 3.2 页，问小明在第五天读了多少页？解：解：前四天，每天平均读的页数是（83+74+71+64）4=73（页）.很明显，第五天读的页数比 73 页多，由此平均数就增加了.为了便于思考，画出 下面的示意图：图上“73”后面的虚线，表示第五天后增加的平均数，现在要用 3.2 去补足这些 增加的平均数值，3.2 共要补足四份，每份是3.54=0.8.

4、由此就知道，第五天读的页数是73+0.8+3.2=77（页）.例例 6 6 甲、乙、丙三人，平均体重 63 千克.甲与乙的平均体重比丙的体重多 3 千 克，甲比丙重 2 千克.求乙的体重.解：解：甲与乙的平均体重比丙的体重多 3 千克，也就是甲与乙的体重之和比两个丙 的体重多 32=6（千克）.已知甲比丙重 2 千克，就得出乙比丙多32-2=4（千克）.从方法 2 知道丙的体重+差的平均=三人的平均体重.因此，丙的体重=63-（32）3=61（千克）.乙的体重61+4=65（千克）.例例 7 7 下面是一串有规律的数5，9，13，17，21，25，29.从小到大排到，后一个数与前一个数的差都是

5、 4，求这串数的平均数.解：解：上面共有 7 个数，第 2 个数比第 1 个数多 4，而第 6 个数比第 7 个数少 4.因 此，第 1 个和第 7 个的平均数（5+29）2=17，与第 2 个和第 6 个的平均数（9+25） 2=17 是相等的.同样道理，第 3 个和第 5 个的平均数也是 17.由此，可以得出这串 数的平均数，就是头、尾两数的平均值 17.当把一些数排列好前后次序，相邻的两个数，后一个减前一个的差都相等，这列 数，就称为等差数列.例 7 中的这串数就是一个等差数列.等差数列可长可短，不论它 有多少数，总有一个基本性质：它的所有数的平均数，就是头、尾两数的平均数.很 明显，当

6、等差数列有奇数个数时，这一平均数恰好是最中间的这个数.当等差数列有 偶数个数时，这一平均数也就是最中间两个数的平均数.利用这一性质，我们很容易求一个等差数列的所有数之和，它等于平均数乘以数 的个数.例 7 中 7 个数之和是（5+29）27=119.例例 8 8 小强在前五天平均每天做了 3.6 道数学题，第四、五两天共做了 5 题.第六 天，为了使后三天的平均数超过六天的平均数，第六天他至少要做多少题？解：解：（前三天题数3+后三天题数3）2=六天题数6.因此，只要后三天平均数超过前三天平均数，也就是后三天做的题数，比前三天 做的题数多，后三天的平均数就超过六天平均数了.前三天做的题数是3.

7、65-5=13（题）.第四、五天已做了 5 题，13-5=8，小强第六天至少要做 9 题.答：小强第六天至少要做 9 题.习题一习题一1.4 位小朋友，他们的体重分别是 32.3 千克，29.8 千克，34.2 千克，28.5 千克， 他们的平均体重是多少千克？2.8 位同学在某次考试中，最高得分是 95 分，最低得分是 65 分.他们 8 人的平 均成绩 87.5 分，去掉最高得分与最低得分后，其余 6 位同学的平均成绩是多少？3.全班有 50 人，其中 15 人 9 岁，17 人 10 岁，18 人 11 岁，那么这个班的平均 年龄是多少岁？4.小明家共有 5 个人，如果不算小明，其余 4

8、 人的平均体重是 56 千克，当小明 加入后，全家的平均体重就要减少 2.6 千克，那么小明的体重是多少千克？5.某次考试，按成绩排先后次序，前 10 名的平均成绩是 87 分，前 8 名的平均成 绩是 90.第 9 名比第 10 名多 2 分，问第 10 名的成绩是多少？6.村东的 4 亩地平均亩产小麦 85 千克，把村西的 2 亩田算在一起，平均亩产小 麦 88 千克.问村西的 2 亩田平均亩产小麦多少千克？7.本学期自然课进行 5 次测验，小明的成绩是第 2 次比第 1 次多 10 分，第 3 次 比第 2 次少 5 分，第 4 次比第 3 次多 4 分.前 4 次的平均成绩是 85 分

9、，第 5 次比第 4 次少 13 分，那么全学期 5 次测验的平均成绩是多少？8.把 1.2，3.7，6.5，2.9，4.6 分别填在五个圆圈内，再在每个方框中填上和它 相连的三个圆圈中的数的平均数，再把三个方框中的数的平均值填在三角中.找出一 种填法，使三角内的数尽可能小，那么三角中填的数是多少？二、部分平均与全体平均二、部分平均与全体平均例例 9 9 某次考试，21 位男同学的平均成绩是 82 分，19 位女同学的平均成绩是 87 分，全体同学的平均成绩是多少？解：解：有两种求法：方法方法 1 1男同学的总分数 8221=1722，女同学的总分数 8719=1653，全体同学的总分数 17

10、22+1653=3375，全体同学的人数 21+19=40，全体同学的平均成绩 337540=84.375.方法方法 2 2以男同学的平均成绩 82 分作为计算的基数，女同学每人平均多（87-82）=5（分） ，19 人多了 519=95（分），现在平均分摊给全体 40 人.因此，全体同学的平均成绩是82+（87-82）1940=82+9540=84.375（分）.注意注意 从部分的平均数，来求全体的平均数，不能简单地把部分平均数再进行求 平均，如例 9，（82+87）2=83.5，它不是全体的平均成绩.这一基本概念，大家必 须弄清楚.例例 1010 甲班 52 人，乙班 48 人.语文考试中

11、，两个班全体同学的平均成绩是 78 分， 乙班的平均成绩要比甲班的平均成绩高 5 分.两个班的平均成绩各是多少？解：解：两个班的全体人数是52+48=100（人）.他们的分数总和是78100=7800（分）.以甲班同学的平均成绩为基数，乙班每人平均多了 5 分，如果乙班的分数总和少 了 548=240（分），乙班的平均成绩就与甲班的一样，因此甲班的平均成绩是（7800-240）100=75.6（分）.乙班的平均成绩是75.6+5=80.6（分）.例例 1111 女同学的人数是男同学人数的一半，男同学的平均体重是 41 千克，女同 学的平均体重是 35 千克，全体同学的平均体重是多少千克？解：解

12、：题目没有告诉我们女同学或男同学有多少人，怎么办？设全体女同学是 1 组人，那么男同学就是 2 组人.女同学的体重总和： 351 组人数.男同学的体重总和： 412 组人数.全体总人数：（1+2）组人数.全体同学平均体重是（351+412）（1+2）=39（千克）.上面算式中每一项都有“组人数”，因此可以约掉.实际上和“1 个女同学与 2 个男同学”的情形一样.还有一种计算方法，以女同学体重为基数，2 组人每人都多（41-35）千克，平 摊给（2+1）组人，因此全体同学的平均体重是35+（41-35）2（2+1）=39（千克）.例例 1212 某班有 50 人，在一次数学考试后，按成绩排了名次

13、.结果，前 30 名的平 均分数比后 20 名的平均分数多 12 分.一位同学对“平均”的概念不清楚，他把前 30 名的平均成绩，加上后 20 名的平均成绩，再除以 2，错误地认为这就是全班的平均 成绩.这样做，全班的平均成绩是提高了，还是降低了？请算出提高多少或降低多少.解：解：全班平均成绩降低了.按照这位同学的计算，相当于把前 30 名同学比后 20 名同学平均多出的 12 分作 了平分.因此相当于前 30 名同学每人少了 6 分，后 20 名同学每人多了 6 分，合起来 全班的总分就少了306-206=60（分）.全班的平均成绩也就降低了60（30+20）=1.2（分）.例例 1313

14、某学校入学考试，确定了录取分数线.报考的学生中，只录取了均分比录取分数线低 26 分.所有考生的平均成绩是 70 分.那么录取分数线是多少？我们把录取学生的人数算作 1，没有被录取的人数算作 3.以录取分数线作为基数，没有被录取的考生总共少了 263 分，录取的学生总共 多了 101 分，合起来，总共少了263-101（分）.对所有考生来说，每人平均少了（263-101）（3+1）=17（分）.也就是每一考生的平均分 70（分）比录取分数线少了 17（分），因此录取的分 数线是70+17=87（分）.注意注意 这道题可检验如下：没有被录取的考生的平均成绩是 87-26=61（分），被录取考生的

15、平均成绩是 87+10=97（分）.全体考生的平均成绩是61+（97-61）（3+1）=70（分），或（613+971）（3+1）=70（分）.由此就知道，上面解答是正确的.例例 1414 某次数学竞赛原定一等奖 10 人，二等奖 20 人.现在将一等奖中最后 4 人 调整为二等奖，这样得二等奖的学生平均分提高了 1 分，得一等奖的学生的平均分提 高了 3 分.那么原来一等奖平均分比二等奖平均分多多少分？解：解：根据题意前六人平均分=前十人平均分+3.这说明在计算前十人平均分时，前六人共多出 36=18（分），来弥补后四人的 分数，因此后四人的平均分比前十名平均分少184=4.5（分）.当后四

16、人调整为二等奖后，这时二等奖共有 20+4=24（人），平均每人提高了 1 分，这由调整进来的四人来供给，每人平均供给244=6（分）.后四人平均分=（原二等奖平均分）+6.与前面算出的前六人平均分比较，就知原来一等奖平匀分比原来二等奖平均分多4.5+6=10.5（分）.我们可以画出示意图来说明上面的计算.从前十名来说，前六名用二条虚线所夹部分，来弥补后四人的二条虚线所夹部分 这一块的不足.对二等奖来说，可以画出如下示意图：习题二习题二1.3 人的平均身高是 1.66 米，其余 7 人的平均身高是 1.59 米，这 10 个人的平 均身高是多少米？2.育才小学六年级学生参加校办工厂劳动，第一组 3 人共制作小螺丝 159 个，第 二组 5 人比第一组平均每人多制作小螺丝 24 个，第三组 4 人，共比第二组少制作小 螺丝 41 个，求三个组平均每人制作螺丝多少个.3.某次外语考试，赵、钱、孙、李、周五人的平均分数比孙、李、周三人的平均 分数少 4 分，赵、钱