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1、一. 教学内容: 三角形中的角平分线、中线、高线和中垂线二. 教学内容 1. 三角形的角平分线和中线 2. 三角形的高线和中垂线 3. 角平分线性质定理、中垂线性质定理三. 教学目标和要求 1. 理解三角形角平分线、中线、高线和中垂线的概念,并能画出相应的线。 2. 掌握三角形角平分线、中线、高线及中垂线的一些特征,并能在解题中灵 活应用。四. 教学重点、难点 1. 重点:角平分线性质定理及中垂线性质定理的运用 2. 难点:三角形中线在面积方面的应用,角平分线性质定理、中垂线性质定 理的运用是本周难点。五. 知识要点 1. 角平分线性质定理 2. 中垂线性质定理 3. 三角形中的三条角平分线
2、4. 三角形中的三条中线 5. 三角形中的三条高线 6. 三角形中三边上的中垂线【典型例题典型例题】 例 1. 如图,ABC 的两条角平分线 AD,CE 相交于 P,PMBC 于 M,PNAB 于 N,则 PNPM,请说明理由。解:解:过 P 作 PFAC,垂足为 F AD 平分BAC,PNAB,PFAC PNPF (为什么) CE 平分ACB,PMBC,PFAC PMPF PMPN (为什么)例 2. 如图,BP、CP 分别为ABC 的两个外角的平分线,则点 P 到ABC 三边的距离相等吗?若相等,请说明理由。解析:解析:略例 3. 已知ABC,要把它分成面积相等的 6 块,且只能画三条线,
3、应怎样分? 并说明分法的正确性。解:解:分法:分别画ABC 的三条中线 AD、BE、CF,交于 P 点,所分得的 6 块面积相等。 理由:AD 为中线 BDCD SPBDSPCD 设 SPBDSPCDa 同理:可设 SPCESPEAb;SPAFSPBFc AD 为ABC 的中线 SABDSACD 即 a+2ca+2b cb 同理可得 ab abc ABC 三条中线分得的 6 块三角形面积相等。例 4. ABC 的三条中线交于 P 点,点 P 把每条中线分成的两条线段的长度 之比为多少?请说明理由。 解:解:先说明 6 个小三角形面积相等(方法同例 3)下接: SABP2SDBP高相同 PA2P
4、D 同理:CP2PF BP2PE 点 P 把每条中线分成的两条线段的长度之比为 2:1 例 5. 如图ABC 中,A80,延长 BC 到 D,ABC 与ACD 的平分 线交于点 A1,A1BC 与A1CD 的平分线相交于 A2,依次类推, A4BC 与 A4CD 的平分线相交于 A5 ,则A5的度数为多少?再画下去,An的大 小呢?解:解:ACD 为ABC 的外角 ACDABC+A 即 ACDABCA A1CD 为A1BC 的外角 A1CDA1BCA1 BA1,A1C 分别平分ABC,ACD A1CD21 ACD,A1BC21 ABC21 (ACDABC)A1即A121 A同理:A221 A1
5、221 AA321 A2321 AA421 A3421 AA521 A4521 AA5521 A5280Ann21 An280例 6. 如图,已知 AC,BD 相交于点 O,BE,CE 分别平分ABD,ACD,且交于 E,则E21 (A+D) ,请说明理由。解:解:5 为CDN 与BEN 的外角 54+D2+E 即:4+D2+E (1) 6 为AMB 和CME 的外角 61+A3+E 即1+A3+E (2) (1)式+(2)式得 1+4+A+D2+3+2E 12,34 A+D2EE21 (A+D)【模拟试题模拟试题】 (答题时间:60 分钟) 一、填空题 1. RtABC 中,C90,其中A,
6、B 的平分线的交点为 E,则 AEB 度。 2. 如图,D 为ABC 的 BC 边上一点,BD:DC3:2,ABC 的面积为 45,则ABD 的面积为 。3. 如图,ABC 中,BC16cm,AB,AC 边上的中垂线分别交 BC 于 E,F,则 AEF 的周长是 cmA B E F C 4. 如图,ABC 三条中线 AD、BE、CF 交于点 O,SABC12,则 SABD ,SAOF 。5. 一个三角形三边之比为 3:4:5,则这个三角形三边上的高线之比为 。二、选择题 1. 下列叙述正确的个数是( ) 三角形的中线,角平分线都是射线;三角形的中线,角平分线都在三 角形内部; 三角形的中线就是
7、一边中点的线段;三角形三条角平分线交于一点; A. 0 个B. 1 个C. 2 个D. 3 个 2. 如图,ABC 中,D,E 分别为 BC 边上的两点,且 BDDEEC,则图 中面积相同的三角形有几对( ) A. 2 对B. 3 对C. 4 对 D. 5 对3. 直角三角形的两锐角的角平分线的夹角的度数是( ) A. 45B. 135C. 45或 135D. 以上都不对 4. 已知ABC 的外角CBE,BCF 的角平分线 BP,CP 交于 P 点,则 BPC 是( ) A. 钝角B. 锐角C. 直角D. 无法确定 5. 如图,ABC 中,AACB,CD 平分ACB 交 AB 于 D,ADC1
8、50,则B 为( ) A. 120B. 130C. 140D. 1506. 如图,SABC1,若 SBDESDEC SACE,则 SADE( ) A. 1/5B. 1/6C. 1/7D. 1/8三、解答题 1. 在四边形 ABCD 中,E、F 分别为 AD、BC 的中点,已知四边形 ABCD 的 面积为 1,求四边形 DEBF 的面积。D C E F A B 2. A70求ABD,BFC 的度数。A E D F B C 3. 如图,已知ABC 中,C90,ACBC,BD 平分CBA,DEAB 于 E,请说明 AD+DEBE 成立的理由。4. 如图,BE 平分ABD,CF 平分ACD,BE 与 CF 交于点 G,若 BDC140, BGC110,A 的度数是多少?【试题答案试题答案】 一、1. 1352. 273. 164. 6;25. 20:15:12二、1. C2. C3. C4. B5. C6. B三、1. 提示:连接 BD 21DEBFS2. 20;110 3. 解:C90,DEAB BD 平分CBADCDE(角平分线性质定理)CBDEBDCDEB90AD+DEAC在BCD 和BED 中CDEBCBDEBDBDBDBCDBED(AAS)BCBEACBCACBEAD+DEBE 4. 提示:连接 BC ,A80