高一数学同步线性规划2

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1、典型例题一典型例题一例例 1 画出不等式组表示的平面区域 . 0330402yxyxyx，分析：分析：采用“图解法”确定不等式组每一不等式所表示的平面区域，然后求其公共部 分解：解：把，代入中得0x0y2yx0200 不等式表示直线下方的区域（包括边界） ，02 yx02 yx即位于原点的一侧，同理可画出其他两部分，不等式组所表示的区域如图所示 说明：说明：“图解法”是判别二元一次不等式所表示的区域行之有效的一种方法典型例题二典型例题二例例 2 画出表示的区域，并求所有的正整数解332yx),(yx分析：分析：原不等式等价于而求正整数解则意味着，还有限制条件，即 . 3, 32yxyxy求 .

2、 3, 32, 0, 0yxyzyzxyx解：解：依照二元一次不等式表示的平面区域，知表示的区域如下图：332yx对于的正整数解，先画出不等式组所表示的平面区域，332yx . 3, 32, 0, 0yxyzyzxyx如图所示容易求得，在其区域内的整数解为、) 1,1 ()2,1 ()3,1 ()2,2()3,2(说明：说明：这类题可以将平面直角坐标系用网络线画出来，然后在不等式组所表示的平面 区域内找出符合题设要求的整数点来典型例题三典型例题三例例 3 求不等式组所表示的平面区域的面积 111xyxy分析：分析：本题的关键是能够将不等式组所表示的平面区域作出来，判断其形状进而求出 其面积而要

3、将平面区域作出来的关键又是能够对不等式组中的两个不等式进行化简和变 形，如何变形？需对绝对值加以讨论解：解：不等式可化为或；11 xy) 1(xxy) 1(2xxy不等式可化为或1xy)0( 1xxy)0( 1xxy在平面直角坐标系内作出四条射线， ) 1(xxyAB：) 1(2xxyAC：，)0( 1xxyDE：)0( 1xxyDF：则不等式组所表示的平面区域如图 由于与、与互相垂直，ABACDEDF 所以平面区域是一个矩形根据两条平行线之间的距离公式可得矩形的两条边的长度分别为和22 223所以其面积为23典型例题四典型例题四例例 1 若、满足条件求的最大值和最小值xy . 0104010

4、230122yxyxyx ， yxz2分析：分析：画出可行域，平移直线找最优解解：解：作出约束条件所表示的平面区域，即可行域，如图所示作直线，即，它表示斜率为，纵截距为的平zyxl2:zxy21 21212z行直线系，当它在可行域内滑动时，由图可知，直线 过点时，取得最大值，lz 当 过点时，取得最小值lBz 18822maxz2222minz说明：说明：解决线性规划问题，首先应明确可行域，再将线性目标函数作平移取得最值典型例题五典型例题五例例 5 用不等式表示以，为顶点的三角形内部的平面)4,1 (A)0,3(B)2,2(C区域 分析：分析：首先要将三点中的任意两点所确定的直线方程写出来，然

5、后结合图形考虑三角 形内部区域应怎样表示。解：解：直线的斜率为：，其方程为AB1)3(104ABk3 xy可求得直线的方程为直线的方程为BC62 xyAC22 xy的内部在不等式所表示平面区域内，同时在不等式ABC03 yx所表示的平面区域内，同时又在不等式所表示的平面区域内062 yx022 yx（如图） 所以已知三角形内部的平面区域可由不等式组表示 022, 062, 03yxyxyx说明：说明：用不等式组可以用来平面内的一定区域，注意三角形区域内部不包括边界线典型例题六典型例题六例例 6 已知，求的最大、最小值05 yx010 yx22yx 分析：分析：令，目标函数是非线性的而可看做区2

6、2yxz22222yxyxz域内的点到原点距离的平方问题转化为点到直线的距离问题解：解：由得可行域(如图所示)为，而到 , 010, 05 yxyx22222yxyxz)0,0(，的距离分别为和05 yx010 yx25 210所以的最大、最小值分别是 50 和z225说明：说明：题目中的目标函数是非线性的解决的方法类似于线性规划问题可做出图， 利用图进行直观的分析典型例题七典型例题七例例 7 设式中的变量、满足下列条件求的最大yxz57 xy .*, 023, 02034NyNxyxyx z值分析：分析：先作出不等式组所表示的可行域，需要注意的是这里的，故只是可*Nyx、行域内的整数点，然后

7、作出与直线平等的直线再进行观察057 yx解：解：作出直线和直线，得可行域如图所示020341 yxl ：0232 yxl ：解方程组得交点 02302034 yxyx)54,522(A又作直线，平等移动过点时，取最大值，然而点不是整数057 yxl：Ayx57 A点，故对应的值不是最优解，此时过点的直线为，应考虑可行域中距zA543457 yx离直线最近的整点，即，有，应注意不是543457 yx)4,2(B344527)(Bz找距点最近的整点，如点为可行域中距最近的整点，但A) 1,4(CA，它小于，故的最大值为 34331547)(Cz)(Bzz说明：说明：解决这类题的关键是在可行域内找

8、准整点若将线性目标函数改为非线性目标 函数呢？典型例题八典型例题八例例 8 设，式中的变量、满足试求的最大值、最小22yxzxy . 1,2553, 34xyxyx z值分析：分析：作出不等式组所表示的平面区域，本题的关键是目标函数应理解为22yxz可行域中的点与坐标原点的距离的平方解：解：作出直线，得到如图所示的可行0341 yxl：025532 yxl ：13xl ：域由得 02553034 yxyx)2,5(A由得 1034 xyx) 1,1 (C由得 102553 xyx)522,1 (B由图可知：当为点时，取最小值为 2；当为点时，),(yx) 1,1 (Cz),(yx)2,5(A取

9、最大值 29z说明：说明：若将该题中的目标函数改为，如何来求的最大值、最小值呢？请自己yxz z探求 （将目标函数理解为点与点边线的斜率）),(yx)0,0(典型例题九典型例题九例例 9 设，0x，；，用图表示出点0y0zzyxp23zyxq42 1zyx的范围),(qp分析：分析：题目中的，与，是线性关系可借助于，的范围确定pqxyzxyz的范围),(qp解：由得由，得 , 1,42,23zyxqzyxpzyx),345(271),3514(271),68(271qpzpqypqx0x0y0z做出不等式所示平面区域如图所示 , 0543, 01453, 086qpqpqp说明：说明：题目的条

10、件隐蔽，应考虑到已有的，的取值范围借助于三元一次方xyz程组分别求出，从而求出，所满足的不等式组找出的范围xyzpq),(qp典型例题十典型例题十例例 10 某糖果厂生产、两种糖果，种糖果每箱获利润 40 元，种糖果每箱获ABAB 利润 50 元，其生产过程分为混合、烹调、包装三道工序，下表为每箱糖果生产过程中所需 平均时间（单位：分钟）混合烹调包装A153 B241每种糖果的生产过程中，混合的设备至多能用 12 机器小时，烹调的设备至多只能用机 器 30 机器小时，包装的设备只能用机器 15 机器小时，试用每种糖果各生产多少箱可获得 最大利润 分析：分析：找约束条件，建立目标函数解：解：设生

11、产种糖果箱，种糖果箱，可获得利润元，则此问题的数学模式在AxByz约束条件下，求目标函数的最大值，作出可行域，其边界0090031800457202yxyxyxyxyxz5040 0:yOA09003: yxAB0180045: yxBC07202: yxCD0:xDO由得，它表示斜率为，截yxz5040 5054zxy54距为的平行直线系，越大，越大，从而可知过点时50z 50zzC截距最大，取得了最大值z解方程组3001201800457202，Cyxyx 即生产种糖果 120 箱，生产种糖果 300198003005012040maxzAB箱，可得最大利润 19800 元 说明：说明：由

12、于生产种糖果 120 箱，生产种糖果 300 箱，就使得两种糖果共计使用的AB 混合时间为 1202300720（分） ，烹调时间 512043001800（分） ，包装时间3120300660（分） ，这说明该计划已完全利用了混合设备与烹调设备的可用时间，但 对包装设备却有 240 分钟的包装时间未加利用，这种“过剩”问题构成了该问题的“松驰” 部分，有待于改进研究典型例题十一典型例题十一例例 11 甲、乙、丙三种食物的维生素、含量及成本如下表：AB甲乙丙维生素（单位/千克）A600700400维生素（单位/千克）B800400500成本（元/千克）1194某食物营养研究所想用千克甲种食物，

13、千克乙种食物，千克丙种食物配成 100xyz 千克的混合食物，并使混合食物至少含 56000 单位维生素和 63000 单位维生素 （1）AB用、表示混合物成本 （2）确定、的值，使成本最低xyCxyz分析：分析：找到线性约束条件及目标函数，用平行线移动法求最优解解：解：（1）依题意：、满足xyzyxzzyx100100 成本（元）400574911yxzyxC（2）依题意 6300050040080056000400700600 zyxzyx yxz100 00130316032yxyxyx，作出不等式组所对应的可行域，如图所示联立 2050160321303，交点Ayxyx作直线则易知该直

14、线截距越小，越小，所以该直线过Cyx40057C时，直线在轴截距最小，从而最小，此时 750520400850 元2050，AyCC 千克，千克时成本最低50x30z典型例题十二典型例题十二例例 12 某工厂有甲、乙两种产品，按计划每天各生产不少于 15 ，已知生产甲产品 1t需煤 9 ，电力 4，劳力 3 个（按工作日计算） ；生产乙产品 1 需煤 4 ，电力ttkWtt 5，劳力 10 个；甲产品每吨价 7 万元，乙产品每吨价 12 万元；但每天用煤最不得超过kW300 吨，电力不得超过 200，劳力只有 300 个问每天各生产甲、乙两种产品多少 ，kWt 才能既保定完成生产任务，又能为国家创造最多的财富分析：分析：先设每天生产甲、乙两种产品的产量分别为和，建立约束条件和目标函xtyt数后，再利用图形直观解题解：解：设每天生产甲产品，乙产品，总产值，依题意约束条件为：xtytSt.300103,20054,