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1、155 因式分解的复习因式分解的复习新课指南新课指南 1.知识与技能：掌握运用提公因式法、公式法、分组分解法分解因式，及形如 x2+(p+q)x+pq 的多项 式因式分解，培养学生应用因式分解解决问题的能力. 2.过程与方法：经历探索因式分解方法的过程，培养学生研讨问题的方法，通过猜测、推理、验证、 归纳等步骤，得出因式分解的方法. 3.情感态度与价值观：通过因式分解的学习，使学生体会数学美，体会成功的自信和团结合作精神， 并体会整体数学思想和转化的数学思想. 4.重点与难点：重点是用提公因式法和公式法分解因式.难点是分组分解法和形如 x2+(p+q)x+pq 的多 项式的因式分解. 教材解读
2、教材解读 精华要义精华要义 数学与生活数学与生活 630 能被哪些数整除？说说你是怎么想的. 思考讨论思考讨论 在小学我们知道，要想解决这个问题，需要把 630 分解成质数的乘积的形式，即630=23257. 类似地，在整式的变形中，有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式，这种变形就是因式 分解.那么如何进行因式分解呢？ 知识详解知识详解 知识点知识点 1 1 因式分解的定义因式分解的定义 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项 式分解因式. 【说明】 (1)因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆的运算.例如：(2)因式分解是恒等变形，
3、因此可以用整式乘法来检验. 知识点知识点 2 2 提公因式法提公因式法 多项式 ma+mb+mc 中的各项都有一个公共的因式 m，我们把因式 m 叫做这个多项式的公因式.ma+mb+mc=m(a+b+c)就是把 ma+mb+mc 分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式 m，另一 个因式(a+b+c)是 ma+mb+mc 除以 m 所得的商，像这种分解因式的方法叫做提公因式法. 例如：x2-x=x(x-1)，8a2b-4ab+2a=2a(4ab-2b+1). 探究交流探究交流 下列变形是否是因式分解？为什么， (1)3x2y-xy+y=y(3x2-x)； (2)x2-2x+3=(x
4、-1)2+2； (3)x2y2+2xy-1=(xy+1)(xy-1)；(4)xn(x2-x+1)=xn+2-xn+1+xn. 点拨 (1)不是因式分解，提公因式错误，可以用整式乘法检验其真伪. (2)不是因式分解，不满足因式分解的含义 (3)不是因式分解，因为因式分解是恒等变形而本题不恒等. (4)不是因式分解，是整式乘法. 知识点知识点 3 3 公式法公式法 (1)平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b). 即两个数的平方差，等于这两个数的和与这个数的差的积. 例如：4x2-9=(2x)2-32=(2x+3)(2x-3). (2)完全平方公式：a22ab+b2=(ab)2.其中，a22a
5、b+b2叫做完全平方式. 即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的 2 倍，等于这两个数的和(或差)的平方. 例如：4x2-12xy+9y2=(2x)2-22x3y+(3y)2=(2x-3y)2. 探究交流探究交流 下列变形是否正确？为什么？ (1)x2-3y2=(x+3y)(x-3y)； (2)4x2-6xy+9y2=(2x-3y)2；(3)x2-2x-1=(x-1)2. 点拨 (1)不正确，目前在有理数范围内不能再分解. (2)不正确，4x2-6xy+9y2不是完全平方式，不能进行分解. (3)不正确，x2-2x-1 不是完全平方式，不能用完全平方公式进行分解，而且在有理数范围内也不能
6、 分解. 知识点知识点 4 4 分组分解法分组分解法 (1)形如：am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n) =(m+n)(a+b) (2)形如：x2-y2+2x+1=(x2+2x+1)-y2=(x+1)2-y2=(x+y+1)(x-y+1). 把多项式进行适当的分组，分组后能够有公因式或运用公式，这样的因式分解方法叫做分组分解法. 知识规律小结知识规律小结 (1)分组分解法一般分组方式不惟一. 例如：将 am+an+bm+bn 因式分解，方法有两种： 方法 1：am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n
7、)(a+b). 方法 2：am+an+bm+bn=(am+bm)+(an+bn)=m(a+b)+n(a+b)=(m+n)(a+b). (2)分组除具有尝试性外，还要具有目的性，或者分组后能出现公因式，或者分组后能运用公式. 例如：am+an+bm+bn 分组后有公因式；x2-y2+2x+1 分组后能运用公式. 分组分解法是因式分解的基本方法，体现了化整体为局部，又统揽全局的思想，如何恰当分组是解 题的关键，常见的分组方法有： (1)按字母分组； (2)按次数分组； (3)按系数分组. 例如：把下列各式因式分解.(1) am+bm+an+bn； (2)x2-y2+x+y；(3)2ax-5by+2
8、ay-5bx. 知识点知识点 5 5 关于关于 x x2 2+(p+q)x+pq+(p+q)x+pq 型二次三项式的因式分解型二次三项式的因式分解x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q). 事实上：x2+(p+q)x+pq=x2+px+qx+pq =(x2+px)+(qx+pq) =x(x+p)+q(x+p) =(x+p)(x+q). x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q). 利用这个公式，可以把二次三项式因式分解，当 p=q 时，这个式子化成 x2+2px+p2或 x2+2qx+q2，是 完全平方式，可以运用公式分解因式. 例如：把 x2+3x+2 分解因式.(分析)因为二次三
9、项式 x2+3x+2 的二次项系数是 1，常数项 2=12，一次项系数 3=1+2，这是一个 x2+(p+q)x+pq 型式子. 解：x2+3x+2=(x+1)(x+2) 典例剖析典例剖析 师生互动师生互动 基础知识应用题基础知识应用题 本节基础知识的应用主要包括：(1)掌握用提公因式法、公式法、分组分解法分解因式；(2)会分解 关于 x2+(p+q)x+pq 型的二次三项式. 例 1 用提公因式法将下列各式因式分解.(1)ax-ay； (2)6xyz-3xz2； (3)-x3z+x4y； (4)36aby-12abx+6ab； (5)3x(a-b)+2y(b-a)；(6)x(m-x)(m-y
10、)-m(x-m)(y-m). (分析) (1)(4)题直接提取公因式分解即可，(5)题和(6)题首先要适当的变形，其中(5)题把 b-a 化成-(a-b)的，(6)题把(x-m)(y-m)化成(m-x)(m-y)，然后再提取公因式. 解：(1)ax-ay=a(x-y)(2)6xyz-3xz2=3xz(2y-z). (3)-x3z+x4y=x3(-z+xy). (4)36aby-12abx+6ab=6ab(6y-2x+1). (5)3x(a-b)+2y(b-a)=3x(a-b)-2y(a-b)=(a-b)(3x-2y).(6)x(m-x)(m-y)-m(x-m)(y-m) =x(m-x)(m-y
11、)-m(m-x)(m-y) =(m-x)(m-y)(x-m) =-(m-x)2(m-y). 小结 运用提公团式法分解因式时，要注意下列问题： (1)因式分解的结果每个括号内如有同类项要合并，而且每个括号不能再分解. 如：(7m-8n)(x+y)-(3m-2n)(x+y)=(x+y)(7m-8n)-(3m-2n) =(x+y)(4m-6n). =2(x+y)(2m-3n). (2)如果出现像(5)(6)小题需统一时，首先统一，尽可能使统一的个数少，减少统一计算出现误差的 机率，这时注意到(a-b)n=(b-a)n(n 为偶数). 例如：分解因式 a(x-y)2+b(y-x)3+c(y-x)2.
12、本题既可以把(x-y)统一成(y-x)，也可以把(y-x)统一成(x-y),但比较而言把(x-y)化成(y-x)比较简 便，因为(x-y)2=(y-x)2.a(x-y)2+b(y-x)3+c(y-x)2 =a(y-x)2+b(y-x)3+c(y-x)2 =(y-x)2a+b(y-x)+c =(y-x)2(a+by-bx+c). (3)因式分解最后如果有同底数幂，要写成积的形式. 例如：(7a-8b)(a-2b)+(a-8b)(a-2b)=(a-2b)(7a-8b)+(a-8b) =(a-2b)(8a-16b) =8(a-2b)(a-2b) =8(a-2b)2. 学生做一做学生做一做 把下列各式
13、分解因式.(1)am+an；(2)(xy+ay-by)； (3)(2a+b)(2a-3b)+(2a+5b)(2a+b)；(4)3x(a-b)-2y(b-a)；(5)4p(1-q)3+2(q-1)2；(6)ab2(x-y)m+a2b(x-y)m+1. 老师评一评老师评一评 (1)原式=a(m+n)(2)原式=y(x+a-b)； (3)原式=2(2a+b)2；(4)原式=(a-b)(3x+2y)； (5)原式=(1-q)2(4p-4pq+2)；(6)原式=ab(x-y)m(b+ax-ay). 例 2 把下列各式分解因式. (1)m2+2m+1；(2)9x2-12x+4； (3)1-10x+25x2
14、；(4)(m+n)2-6(m+n)+9. (分析)本题旨在考查用完全平方公式分解因式. 解：(1)m2+2m+1=(m+1)2.(2)9x2-12x+4=(3x-2)2. (3)1-10x+25x2=(1-5x)2. (4)(m+n)2-6(m+n)+9=(m+n-3)2. 学生做一做学生做一做 把下列各式分解因式. (1)(x2+4)2-2(x2+4)+1；(2)(x+y)2-4(x+y-1). 老师评一评老师评一评 (1)原式=(x2+3)2；(2)原式=(x+y-2)2. 例 3 把下列各式分解因式. (1)x2+7x+10；(2)x2-2x-8； (3)y2-7y+10；(4)x2+7
15、x-18. (分析) 二次三项式 x2+7x+10 的二次项系数为 1，常数项 10=25，一次项系数 7=2+5，所以这是一 个 x2+(p+q)x+pq 型的式子，可以用 x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)进行因式分解. 解：(1)x2+7x+10=(x+2)(x+5).(2)x2-2x-8=(x-4)(x+2). (3)y2-7y+10=(y-2)(y-5). (4)x2+7x-18=(x+9)(x-2). 小结 对于 x2+(p+q)x+pq 型二次三项式的因式分解，pq0，则 p,q 同号，若 p+q0，则 p0，q0；若 q+p0，则 p0，q0；若 pq0，则 p,q
16、 异号，若 p+q0，则绝对值大的为正数， 若 p+q0,则绝对值大的为负数. 学生做一做学生做一做 把下列各式分解因式. (1)m2-7m+12；(2)x2y2-3xy-10； (3)(m-n)2-(m-n)-12；(4)x2-xy-2y2. 老师评一评老师评一评 (1)原式=(m-3)(m-4)；(2)原式=(xy-5)(xy+2)； (3)原式=(m-n-4)(m-n+3)；(4)原式=(x-2y)(x+y). 综合应用题综合应用题 本节知识的综合应用主要包括：(1)用分组分解法分解因式；(2)与方程组的综合应用；(3)与几何知 识的综合应用；(4)几种因式分解方法的综合应用. 例 4 分解因式. (1)x3-2x2+x；(2)(a+b)2-4a2；(3)x4-81x2y2； (4)x2(x-y)+y2(y-x)； (5)(a+b+c)2-(a-b-c)2. (分析)本题旨在考查综合运用提公因式法和公式法分解因式. 解：(1)x3-2x2
