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1、5高考复习知识要点高考复习知识要点 3 3 2.12.1 映射、函数与反函数映射、函数与反函数 1、映射、映射：设两个集合 A、B，按照某种对应关系 f，对于集合 A 中的任何一个元素，在集合B 中都有唯一确定的元素与之对应，这样的对应关系叫从集合 A 到 B 的映射，记作 f:AB.若,则把元素 b 叫做 a 的象，元素 a 叫做元素 b 的原象。象集.: fBAbaB映射f:f:AB的对应类型可以是一对一，或多对一，但不能是一对多型。集合 A 中的元素必有象，但集合 B 中的元素不一定有原象（A 中元素的象有且仅有一个，但 B 中元素的原象可能没有，也可能任意个）2 2、函数、函数：设A、
2、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，则称映射 f:AB为集合 A 到 B 的一个函数，记作 y=f(x),xA.其中自变量x的取值范围A叫做函数的定义域，函数值 y 的集合叫做函数的值域。函数是特殊的映射：即非空数集A到非空数集B上的映射。函数的三要素是：定义域、对应法则、值域，其中对应法则是核心。定义域和对应法则确定值域；若定义域和对应法则完全相同，则两函数是同一个函数。函数的表示方法主要有：解析法，列表法，图表法分段函数分段函数：若函数在其定义域内的不同子集上，对应法则不同（或用几个不同的式子来表示）
3、 ，则称此函数为分段函数。复合函数复合函数：如果 y=f(u),u=g(x),且g(x)的值域与 f(u)的定义域的交集不空，则确定了一个 y 关于 x 的函数 y=fg(x),这时 y 叫做 x 的复合函数，其中 u 叫中间变量，y=f(u)称为外函数，u=g(x)称为内函数。3、反函数、反函数：函数 f(x)的定义域为 A，值域为 B。由 y=f(x)求出 x=,对于)(yB 中的每一个元素 y，在 A 中都有唯一确定的 x 的值和它对应，那么。)(yx叫做函数 y=f(x)的反函数。记作：.通常习惯记作：.)(1yfx)(1xfy注 1：只有从定义域到值域上的一一映射所确定的函数才有反函
4、数。6注 2：一般地，不是的反函数. 已知函数，) 1(1xf) 1( xf) 1( xfy求，一般是先求，后求，再用代入法求.1(1)fx( )f x1( )fx1(1)fx而函数的反函数是(1)yf x1( ) 1yfx(1) 互为反函数的三要素之间的关系：对应法则互逆，定义域、值域互换。注意：反函数的定义域不能由其解析式来确定，而应是原函数的值域。(2) 求反函数的步骤： 求原函数的值域，反解 ，x、y互换，并标明定义域。)(1yfx(3) 原函数与反函数的图象关于直线y=x对称；反之，若两个函数的图象关于直线y=x对称，则两者互为反函数。（特殊地，函数 f(x)的反函数是它本身f(x)
5、的图象关于直线 y=x 对称） 。(4)，即点（a,b）在反函数上，则点（b,a）一定在原函数上，abfbaf)()(1反之亦然。 注意：反函数的问题通常转化为原函数的问题来解决。(5) 互为反函数的两个函数具有相同的单调性。(6) 定义域上的单调函数必有反函数，而且单调性与原函数一致。注：原函数在-a,a上单调递增，则一定存在反函数，且反函数也单调1( )yfx递增；但一个函数存在反函数，此函数不一定单调例如：.xy1(7) 周期函数不存在反函数。(8) 定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数。如果一个奇函数有反函数，那么它的反函数也为奇函数. （奇函数不一定有反函数，如：y=sinx.）(9) 若函数y=f(x)的图象关于直线y=x成轴对称图形，则；)()(1xfxf若函数y=f(x)与y=g(x)的图象关于直线y=x对称，则。)()(1xfxg(10) 分段函数的反函数须分别求出各段的反函数，再合成。
