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1、 一元二一元二次不等式：次不等式：一元一次不等式的解法：（依据、步骤、注意的问题，利用数轴表示）例 1、已知关于x 的不等式在(2，0)上恒成立，求实数 a 的取值范围例 2关于 x 的不等式对所有实数 xR 都成立，求 a 的取值范围.例 3、若关于 的不等式的解集为，则实数 的取值范围是x02aaxx),(a_；若关于 的不等式的解集不是空集，则实数 的取值范围x32aaxxa是_。 （-4,0）, , 26,U几个重要不等式几个重要不等式（1）0, 0|,2aaRa则若（2）)2|2(2,2222ababbaabbaRba或则、若（当仅当 a=b 时取等号）（3）如果 a,b 都是正数，
2、那么.2abab（当仅当 a=b 时取等号）一正、二定、三相等. 3,3abcabcRabc(4)若、则（当仅当 a=b=c 时取等号）0,2baabab(5) 若则（当仅当 a=b 时取等号）2222(6)0|;|axaxaxaxaxaxaaxa 时，或（7）|,bababaRba则、若常用不等式常用不等式（1）(根据目标不等式左右的运算结构选用)；222 2211abababab 22(3)210xaxa )1(log2 2axaxy（2）a、b、c R，（当且仅当时，取等号） ；222abcabbccaabc（3）若，则（糖水的浓度问题） 。如如0,0abmbbm aam如果正数 、 满
3、足，则的取值范围是_（答：）ab3baabab9,常用不等式的放缩法常用不等式的放缩法：21111111(2)1(1)(1)1nnnn nnn nnnpp11111(1)121nnnnnnnnnn pp利用函数的单调性简单的一元高次不等式的解法简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现的符号变化规律，写出不等式的解集。( )f x如（如（1 1）解不等式。 （答：或
4、） ；2(1)(2)0xx |1x x 2x （2 2）不等式的解集是_（答：或） ；2(2)230xxx |3x x 1x （3 3）设函数、的定义域都是 R，且的解集为，的( )f x( )g x( )0f x |12xx( )0g x 解集为，则不等式的解集为_（答：） ；( )( )0f x g x g(,1)2,)U（4 4）要使满足关于 的不等式（解集非空）的每一个 的值至少满足x0922axxx不等式中的一个，则实数 的取值范围是_.（答：08603422xxxx和a）817,)8分式不等式的解法分式不等式的解法：先移项使右边为 0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最
5、高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。如（1 1）解不等式（答：） ；25123x xx ( 1,1)(2,3)U（2 2）关于 的不等式的解集为，则关于 的不等式的x0bax), 1 ( x02 xbax解集为_（答：）.), 2() 1,(U绝对值绝对值不等式的解法不等式的解法： （1）分段讨论法（最后结果应取各段的并集最后结果应取各段的并集）：如如 在上有解,则 的21xxaRxa取值范围是（）3 ,（2）利用绝对值的定义；， axa)0a (axaxax)0a (ax或（3）数形结合；如如解不等式（答：）|1| 3xx(,
6、1)(2,) U（4）两边平方：如如若不等式对恒成立，则实数 的取值范围为|32| |2|xxaxRa_。 （答：）4 3含参不等式的解法含参不等式的解法：求解通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键 ”注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是” 。注意注意：按参数讨论，最后按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集. 如（如（1 1）若，则 的取值范围是_（答：或） ；2log13aa1a 203a（2 2）解不等式2 ()1axx aRax（答：时，；时，或；时，或）0a |x0x 0a 1 |x xa0x 0a 1 |0xxa0x 提醒：（提醒：（1 1）
7、解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；（2 2）不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。如如关于 的x不等式的解集为，则不等式的解集为_（答：（1,2） ）0bax) 1 ,(02 baxx含绝对值不等式的性质含绝对值不等式的性质：同号或有；ab、0| |abab| |abab异号或有.ab、0| |abab| |abab如设，实数 满足，求证：2( )13f xxxa| 1xa|( )( )| 2(| 1)f xf aa不等式的恒成立不等式的恒成立, ,能成立能成立, ,恰成立等问题恰成立等问题：不等式恒成立问题的常规处理方式？（常应用函数方程思想
8、和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法）1).1).恒成立问题恒成立问题若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上 AxfDD minf xA若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上 BxfDD maxf xB如（如（1 1）设实数满足，当时， 的取值范围是_（答：, x y22(1)1xy0xycc） ；21,（2 2）不等式对一切实数 恒成立，求实数 的取值范围_（答：axx34xa） ；1a （3 3）若不等式对满足的所有都成立，则 的取值范围) 1(122xmx2mmx_（答：（,） ） ；71 231 2（4 4）若不等式对于任意正整数 恒成立，则
9、实数 的取值范围是nan n1) 1(2) 1(na_（答：） ；3 2, )2（5 5）若不等式对的所有实数 都成立，求的取值范围.22210xmxm 01xxm（答：）1 2m 2).2).能成立问题能成立问题若在区间上存在实数 使不等式成立,则等价于在区间上；Dx AxfD maxf xA若在区间上存在实数 使不等式成立,则等价于在区间上的.如如Dx BxfD minf xB已知不等式在实数集上的解集不是空集，求实数 的取值范围axx34Ra_（答：）1a 两个重要函数两个重要函数： 函数 y=x+|1| 3xxx1练习：1、已若，求的最小值 已知 x，求函数 y=4x-2+的最大值1x
10、 4231xx45 541 x2、知且，则的最小值是_若，则的最,Rx y191xyxy21xy24xy小值是_3、知 a，b，c，d 均为实数，有下列命题：2(1)4( )(1)1xf xxx 若，则；若，则abbcad00，c ad b 0abc ad b00，bcad 0若，则其中正确命题是（）bcadc ad b00，ab 04.求函数的最小值.5、求证： 2311 24(1)2 (1)(1)( )22 327xxxxx2221111223nL二元一次不等式组与简单线性规划问题二元一次不等式组与简单线性规划问题1.二元一次不等式表示的平面区域：二元一次不等式表示的平面区域：直线 l:
11、ax+by+c=0 把直角坐标平面分成了三个部分：（1）直线 l 上的点（x,y）的坐标满足 ax+by+c=0（2）直线 l 一侧的平面区域内的点（x,y）的坐标都满足 ax+by+c0（3）直线 l 另一侧的平面区域内的点（x,y）的坐标满足 ax+by+c0所以，只需在直线 l 的某一侧的平面区域内，任取一特殊点（x0 , y0）,从 a0x+b0y+c值的正负，即可判断不等式表示的平面区域。2.线性规划：线性规划：如果两个变量 x,y 满足一组一次不等式，求这两个变量的一个线性函数的最大值或最小值，称这个线性函数为目标函数目标函数，称一次不等式组为约束条件约束条件，像这样的问题叫作二元
12、线性规划问题元线性规划问题。其中，满足约束条件的解(x,y)称为可行解可行解，由所有可行解组成的集合称为可行域可行域，使目标函数取得最大值和最小值的可行解称为这个问题的最优最优解解。3.线性规划问题应用题的求解步骤：线性规划问题应用题的求解步骤：（1）先写出决策变量，找出约束条件和线性目标函数；（2）作出相应的可行域；（3）确定最优解例题分析：例题分析：例例 1若为不等式组表示的平面区域，则当 从2 连续变化到 1 时，动直线A002xyyx a扫过中的那部分区域的面积为 ( )xyaAA B1 CD53 47 4例例 2.如果点 P 在平面区域上，点 O 在曲线上， 01202022yyxy
13、x1)2(22 yx那么最小值为（）的| PQ(A) (B) (C) (D)2315412212 例例 3 3、已知实数满足，则的最大值是_., x y30 250 0 0xy xy x y 2yx1、点 P（x，y）在直线 4x + 3y = 0 上，且满足14xy7，则点 P 到坐标原点距离的取值范围是（）A. 0，5B. 0，10C. 5，10D. 5，152已知变量满足约束条件则的取值范围是（）xy，20170xyxxy ，y xA B CD 6 ,59965U， 36U，3 6，3.设D是不等式组表示的平面区域，则D中的点P（x,y）到直线x+y=10 距离 1, 40, 32102yxyxyx，的最大值是.4.已知则的最小值是.1,10,220xxyxy 22xy例例 1C; 例例 2. A; 例例 3 3、_0_.1、B; 2.A; 3.; 4. 5 ;24
