《高三数学 立体几何题怎么解》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高三数学 立体几何题怎么解（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高三数学高三数学 立体几何题怎么解立体几何题怎么解高考立体几何试题一般共有 4 道(客观题 3 道, 主观题 1 道), 共计总分 27 分左右,考查的知识点在 20 个以内. 选择填空题考核立几中的计算型问题, 而解答题着重考查立几中的逻辑推理型问题, 当然, 二者均应以正确的空间想象为前提. 随着新的课程改革的进一步实施,立体几何考题正朝着”多一点思考,少一点计算”的发展.从历年的考题变化看, 以多面体和旋转体为载体的线面位置关系的论证,角与距离的探求是常考常新的热门话题.例 1 四棱锥 PABCD 的底面是边长为 a 的正方形，PB面 ABCD.（1）若面 PAD 与面 ABCD 所成的
2、二面角为 60，求这个四棱锥的体积；（2）证明无论四棱锥的高怎样变化，面 PAD 与面 PCD 所成的二面角恒大于 90讲解:（1）正方形 ABCD 是四棱锥 PABCD 的底面, 其面积为从而只要算出四棱锥的高就行了.,2a面 ABCD,BA 是 PA 在面 ABCD 上的射影.又 DAAB，PBQPADA， PAB 是面 PAD 与面 ABCD 所成的二面角的平面角，PAB=60而 PB 是四棱锥 PABCD 的高，PB=ABtg60=a,3.32 33331aaaV锥（2）不论棱锥的高怎样变化，棱锥侧面 PAD 与 PCD 恒为全等三角形.作 AEDP，垂足为 E，连结 EC，则ADEC
3、DE，是面 PAD 与面 PCD 所成的二面角的平面角.CEACEDCEAE故,90,o设 AC 与 DB 相交于点 O，连结 EO，则 EOAC，.22aADAEOAa在. 0)2)(2( 2)2(cos,2222 AEOAAEOAAE ECAEOAECAEAECAEC中故平面 PAD 与平面 PCD 所成的二面角恒大于 90.本小题主要考查线面关系和二面角的概念，以及空间想象能力和逻辑推理能力, 具有一定的探索性, 是一道设计新颖, 特征鲜明的好题.例 2 如图，直三棱柱 ABC-A1B1C1的底面 ABC 为等腰直角三角形，ACB=900，AC=1，C 点到 AB1的距离为 CE=，D
4、为 AB 的中点.23（1）求证：AB1平面 CED；（2）求异面直线 AB1与 CD 之间的距离；（3）求二面角 B1ACB 的平面角.讲解:（1）D 是 AB 中点，ABC 为等腰直角三角形，ABC=900，CDAB 又AA1平面 ABC，CDAA1.CD平面 A1B1BA CDAB1，又 CEAB1， AB1平面 CDE；（2）由 CD平面 A1B1BA CDDEAB1平面 CDE DEAB1DE 是异面直线 AB1与 CD 的公垂线段CE=，AC=1 , CD=；23.22 21)()(22CDCEDE（3）连结 B1C，易证 B1CAC，又 BCAC , B1CB 是二面角 B1AC
5、B 的平面角.在 RtCEA 中，CE=，BC=AC=1,B1AC=60023， ,260cos121AB2)()(22 11ABABBB , .21 1BCBBCBBtg21arctgCBB作出公垂线段和二面角的平面角是正确解题的前提, 当然, 准确地作出应当有严格的逻辑推理作为基石.例 3 如图 al是 120的二面角，A，B 两点在棱上，AB=2，D 在内，三角形ABCDA1EB1C1ABD 是等腰直角三角形，DAB=90，C 在内，ABC 是等腰直角三角形ACB=.900（I）求三棱锥 DABC 的体积；（2）求二面角 DACB 的大小； （3）求异面直线 AB、CD 所成的角.讲解:
6、 (1) 过 D 向平面做垂线，垂足为 O，连强 OA 并延长至 E. 为二面角 al的平DAEOAABDAOAADAB,上的射影在平面为Q面角.是等腰直角三.60,120ooDAODAE3, 2DOABADQABCQ角形，斜边 AB=2.又 D 到平面的距离 DO=, 1ABCS. 3.33ABCDV（2）过 O 在内作 OMAC,交 AC 的反向延长线于 M,连结 DM.则ACDM.DMO 为二面角 DACB 的平面角. 又在DOA 中，OA=2cos60=1.且.22,45OMCAEOAMo. 6. 6arctgDMODMOtg（3）在平在内，过 C 作 AB 的平行线交 AE 于 F，
7、DCF 为异面直线 AB、CD 所成的角. 为等腰直角三角形，又ACFCAFDFCFAFCFAFAB即又,45,oQAF 等于 C 到 AB 的距离，即ABC 斜边上的高,. 1CFAF.7.7. 7120cos2222DCFtgCFDFDCFtgAFADAFADDFo异面直线 AB,CD 所成的角为 arctg.7比较例 2 与例 3 解法的异同, 你会得出怎样的启示? 想想看.例 4 在边长为 a 的正三角形的三个角处各剪去一个四边形这个四边形是由两个全等的直角三角形组成的，并且这三个四边形也全等，如图若用剩下的部分折成一个无盖的正三棱柱形容器，如图则当容器的高为多少时，可使这个容器的容积
8、最大，并求出容积的最大值图 图讲解: 设容器的高为 x则容器底面正三角形的边长为,xa322331( )(2 3 ) (0)4 3(2 3 )(2 3 )442 34 3aV xxaxxxax ax .当且仅当 . 54)3323234(1613 3axaxax.54,183,32343maxaVaxxax时即故当容器的高为时，容器的容积最大，其最大容积为a183.543a对学过导数的同学来讲，三次函数的最值问题用导数求解是最方便的，请读者不妨一试. 另外，本题的深化似乎与 2002 年全国高考文科数学压轴题有关，还请做做对照. 类似的问题是:某企业设计一个容积为 V 的密闭容器，下部是圆柱形
9、，上部是半球形，当圆柱的底面半径r 和圆柱的高 h 为何值时，制造这个密闭容器的用料最省（即容器的表面积最小）.例 5 已知三棱锥 PABC 中，PC底面 ABC，AB=BC，D、F 分别为 AC、PC 的中点，DEAP 于 E（1）求证：AP平面 BDE； （2）求证：平面 BDE平面 BDF；（3）若 AEEP=12，求截面 BEF 分三棱锥PABC 所成两部分的体积比讲解: (1）PC底面 ABC，BD平面ABC，PCBD由 AB=BC，D 为 AC 的中点，得 BDAC又 PCAC=C，BD平面 PAC 又 PA平面、PAC，BDPA由已知 DEPA，DEBD=D，AP平面 BDE（2
10、）由 BD平面 PAC，DE平面 PAC，得 BDDE由 D、F 分别为 AC、PC 的中点，得 DF/AP由已知，DEAP，DEDF. BDDF=D，DE平面 BDF又DE平面 BDE，平面 BDE平面 BDFQ（3）设点 E 和点 A 到平面 PBC 的距离分别为 h1和 h2则 h1h2=EPAP=23,.31 232313121 PBCPBFPBCAPBFEABCPEBFPShShVV VV故截面 BEF 分三棱锥 PABC 所成两部分体积的比为 12 或 21值得注意的是, “截面 BEF 分三棱锥 PABC 所成两部分的体积比”并没有说明先后顺序, 因而最终的比值答案一般应为两个,
11、 希不要犯这种”会而不全”的错误.例 6 已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，它被过底面中心 O1且平行于母线 AB 的平面所截，若截面与圆锥侧面的交线是焦参数（焦点到准线的距离）为 p 的抛物线.（1）求圆锥的母线与底面所成的角；（2）求圆锥的全面积讲解: （1）设圆锥的底面半径为 R，母线长为 l，由题意得：,即,Rl2 21cos1lRACO所以母线和底面所成的角为.600（2）设截面与圆锥侧面的交线为 MON，其中 O 为截面与 AC 的交点，则 OO1/AB 且.21 1ABOO 在截面 MON 内，以 OO1所在有向直线为 y 轴，O 为原点，建立坐标系，则 O 为抛物的顶点，所以抛物
12、线方程为 x2=2py，点 N 的坐标为（R，R），代入方程得R2=2p（R），得 R=2p，l=2R=4p.圆锥的全面积为.22221248pppRRl将立体几何与解析几何相链接, 颇具新意, 预示了高考命题的新动向. 类似请思考如下问题:一圆柱被一平面所截，截口是一个椭圆已知椭圆的长轴长为 5，短轴长为 4，被截后几何体的最短侧面母 线长为 1，则该几何体的体积等于 例 7 如图，几何体 ABCDE 中，ABC 是正三角形，EA 和 DC 都垂直于平面 ABC，且EA=AB=2a， DC=a，F、G 分别为 EB 和 AB 的中点.（1）求证：FD平面 ABC；（2）求证：AFBD；(3)
13、 求二面角 BFCG 的正切值.讲解: F、G 分别为 EB、AB 的中点，FG=EA，又 EA、DC 都垂直于面 ABC, FG=DC，21四边形 FGCD 为平行四边形，FDGC，又 GC面ABC，FD面 ABC.（2）AB=EA，且 F 为 EB 中点，AFEB 又 FGEA，EA面 ABCFG面 ABC G 为等边ABC，AB 边的中点，AGGC.AFGC 又 FDGC，AFFD 由、知 AF面 EBD，又 BD面 EBD，AFBD.（3）由（1）、（2）知 FGGB，GCGB，GB面 GCF.过 G 作 GHFC，垂足为 H，连 HB，HBFC.GHB 为二面角 B-FC-G 的平面
14、角.易求.33223,23aaGHBtgaGH例 8 如图，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，P、Q 分别是线段 AD1和 BD 上的点，且D1PPA=DQQB=512. (1) 求证 PQ平面 CDD1C1； (2) 求证 PQAD；(3) 求线段 PQ 的长. 讲解: （1）在平面 AD1内，作 PP1AD 与 DD1交于点 P1，在平面 AC 内，作 QQ1BC 交 CD 于点 Q1，连结 P1Q1. , PP1QQ1 .1251QBDQ PAPD/由四边形 PQQ1P1为平行四边形, 知 PQP1Q1 而 P1Q1平面 CDD1C1， 所以 PQ平面 CDD1C1（2）AD平面 D1DCC1， ADP1Q1，又PQP1Q1， ADPQ.Q（3）由（1）知 P1Q1PQ,，而棱长 CD=1.DQ1=.同理可求得 / 125 QBDQ CQDQ11175P1D=.1712在 RtP1DQ1中，应用勾股定理, 立得 P1Q1=AFBEDCMN.1713 175 171222 22 1 DQDP做为本题的深化, 笔者提出这样的问题: P, Q 分别是 BD,上的动点,试求的最小1ADPQ值, 你能够应用函数方法计算吗? 试试看. 并与如下 2002 年全国高考试题做以对照, 你会得到什么启示?如图，正方形 ABCD、ABEF 的边长都是
