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1、1解析几何专题-圆锥曲线一、知识整合1椭圆的定义，第一定义：椭圆的定义，第一定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两个定点之间的距离）的点的轨迹，即|PF1|+|PF2|=2a (2a|F1F2|=2c).第二定义：第二定义：平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数 e(0b0)， 参数方程为 sincosbyax （为参数）。（2）焦点在 y 轴上，列标准方程为12222 by ay(ab0)。焦点在分母大的轴上。焦点在分母大的轴上。3椭圆中的相关概念，对于中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆12222 by ax，a 称半长轴长，b 称半短轴长，c 称为半焦距，长轴
2、端点、短轴端点、两个焦点的坐标分别为(a, 0), (0, b), (c, 0)；与左焦点对应的准线（即第二定义中的定直线）为cax2 ，与右焦点对应的准线为cax2 ；定义中的比 e 称为离心率，且ace ，由 c2+b2=a2知 0b0), F1(-c, 0), F2(c, 0)是它的两焦点。若 P(x, y)是椭圆上的任意一点，则|PF1|=a+ex, |PF2|=a-ex.5.补充知识点：几个常用结论：1）过椭圆上一点 P(x0, y0)的切线方程为 ： 120 20byy axx；22）斜率为 k 的切线方程为222bkakxy；3）过焦点 F2(c, 0)倾斜角为 的弦的长为222
3、2cos2 caabl。6双曲线的定义，第一定义：双曲线的定义，第一定义：满足|PF1|-|PF2|=2a(2a0)的点 P 的轨迹；第二定义：第二定义：到定点的距离与到定直线距离之比为常数 e(1)的点的轨迹。7双曲线的方程：中心在原点，（1）焦点在 x 轴上的双曲线方程为12222 by ax， 参数方程为 tansecbyax （为参数）。（2）焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程为12222 bx ay。8双曲线的相关概念，中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线12222 by ax(a, b0),a 称半实轴长，b 称为半虚轴长，c 为半焦距，实轴的两个端点为(-a, 0), (a, 0
4、). 左、右焦点为F1(-c,0), F2(c, 0)，对应的左、右准线方程分别为.,22caxcax离心率ace ，由a2+b2=c2知 e1。两条渐近线方程为，双曲线12222 by ax与12222 by ax有相同的byxa 渐近线，它们的四个焦点在同一个圆上。若 a=b，则称为等轴双曲线。9补充知识点：双曲线的常用结论，1）焦半径公式( (由第二定义容易推导由第二定义容易推导) )，对于双曲线12222 by ax，F1（-c,0）, F2(c, 0)是它的两个焦点。设 P(x,y)是双曲线上的任一点，若 P 在右支上，则|PF1|=ex+a, |PF2|=ex-a；若P（x,y）在
5、左支上，则|PF1|=-ex-a，|PF2|=-ex+a.2) 过焦点的倾斜角为 的弦长是2222cos2 caab 。31010抛物线：抛物线：平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点 F 叫焦点，直线 l 叫做抛物线的准线。若取经过焦点 F 且垂直于准线 l 的直线为 x 轴，x 轴与 l 相交于K，以线段 KF 的垂直平分线为 y 轴，建立直角坐标系，设|KF|=p，则焦点 F 坐标为)0 ,2(p，准线方程为2px，标准方程为 y2=2px(p0)，离心率 e=1.11补充知识点抛物线常用结论：若 P(x0, y0)为抛物线上任一点，1）焦半径|PF|
6、=2px ；2）过点 P 的切线方程为 y0y=p(x+x0)；3）过焦点倾斜角为 的弦长为2cos12 p。12极坐标系，在平面内取一个定点为极点记为 O，从 O 出发的射线为极轴记为 Ox 轴，这样就建立了极坐标系，对于平面内任意一点 P，记|OP|=,xOP=，则由（，）唯一确定点 P 的位置，（，）称为极坐标。13圆锥曲线的统一定义：圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比为常数 e 的点 P，若 01，则点 P 的轨迹为双曲线的一支；若 e=1，则点 P 的轨迹为抛物线。这三种圆锥曲线统一的极坐标方程为cos1eep 。二、基础例题1与定义有关的问题例 1 已知定点 A（
7、2，1），F 是椭圆1162522 yx的左焦点，点 P 为椭圆上的动点，当3|PA|+5|PF|取最小值时，求点 P 的坐标。例 2 已知 P，P为双曲线 C：12222 by ax右支上两点，PP延长线交右准线于 K，PF1延长线交双曲线于 Q，（F1为右焦点）。求证：PF1K=KF1Q. 2求轨迹问题例 3 已知一椭圆及焦点 F，点 A 为椭圆上一动点，求线段 FA 中点 P 的轨迹方程。例 4 长为 a, b 的线段 AB，CD 分别在 x 轴，y 轴上滑动，且 A，B，C，D 四点共圆，求此动圆圆心 P 的轨迹。例 5 在坐标平面内，AOB=3，AB 边在直线 l: x=3 上移动，
8、求三角形 AOB 的外心的轨迹方程。3定值问题定值问题例 6 过双曲线12222 by ax(a0, b0)的右焦4点 F 作 B1B2x轴，交双曲线于 B1，B2两点，B2与左焦点 F1连线交双曲线于 B 点，连结 B1B 交x 轴于 H 点。求证：H 的横坐标为定值。例 7 设抛物线 y2=2px(p0)的焦点为 F，经过点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，点 C 在准线上，且 BC/x 轴。证明：直线 AC 经过定点。例 8 椭圆12222 by ax上有两点 A，B，满足 OAOB，O 为原点，求证：22|1 |1 OBOA为定值。4 4最值问题最值问题例 9 设 A，B 是椭圆
9、x2+3y2=1 上的两个动点，且 OAOB（O 为原点），求|AB|的最大值与最小值。例 10 设一椭圆中心为原点，长轴在 x 轴上，离心率为23，若圆 C：22)23(yx1 上点与这椭圆上点的最大距离为71，试求这个椭圆的方程。5直线与二次曲线例 11 若抛物线 y=ax2-1 上存在关于直线 x+y=0 成轴对称的两点，试求 a 的取值范围。例 12 若直线 y=2x+b 与椭圆1422 yx相交，（1）求 b 的范围；（2）当截得弦长最大时，求 b 的值。三、趋近高考【必懂】1.1.（20102010 湖南文）湖南文）5. 设抛物线28yx上一点 P 到 y 轴的距离是 4，则点 P
10、 到该抛物线焦点的距离是A. 4 B. 6 C. 8 D. 122.2.（20102010 浙江理）浙江理）（8）设1F、2F分别为双曲线22221(0,0)xyabab的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P，满足212PFFF，且2F到直线1PF的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（A）340xy （B）350xy （C）430xy （D）540xy3.（2010 陕西文）9.已知抛物线y22px（p0）的准线与圆（x3）2y216 相切，则p的值为（A）1 2（B）1（C）2（D）454.（2010 辽宁文）（9）设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该双
11、曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（A）2 （B）3 （C）31 2（D）51 25.5.（20102010 辽宁文）辽宁文）（7）设抛物线28yx的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PAl，A为垂足，如果直线AF斜率为3，那么PF （A）4 3 （B） 8 （C） 8 3 （D） 166.6.（20102010 辽宁理）辽宁理） (9)设双曲线的个焦点为 F；虚轴的个端点为 B，如果直线 FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为(A) 2 (B)3 (C)31 2(D) 51 27.7.（20102010 辽宁理）辽宁理）(7)设抛物线 y2=8x 的焦点为 F
12、，准线为 l,P 为抛物线上一点,PAl,A 为垂足如果直线 AF 的斜率为- 3,那么|PF|=(A)4 3 (B)8 (C)8 3 (D) 168.8.（20102010 全国卷全国卷 2 2 文）文）（12）已知椭圆 C：22221xy ab（ab0）的离心率为3 2，过右焦点 F且斜率为 k（k0）的直线于 C 相交于 A、B 两点，若3AFFBuuu ruu u r 。则 k =（A）1 （B）2 （C）3 （D）29.9.（20102010 浙江文）浙江文）（10）设 O 为坐标原点，1F,2F是双曲线2222xy1ab（a0，b0）的焦点，若在双曲线上存在点 P，满足1FP2F=
13、60，OP=7a,则该双曲线的渐近线方程为（A）x3y=0 （B）3xy=06（C）x2y=0 （D）2xy=01010. .（20102010 重庆理）重庆理）（10）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是A. 直线 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 双曲线11.11.（20102010 山东文）山东文）（9）已知抛物线22(0)ypx p，过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线与A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为 2，则该抛物线的准线方程为（A）1x (B)1x (C)2x (D)2x 12.12.（20102010 四川理）四川理）（9）
14、椭圆22221()xyabab 的右焦点F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是（A）20,2（B）10,2（C） 2 1,1（D）1,1 213.13.（20102010 江苏卷）江苏卷）18、（本小题满分 16 分）在平面直角坐标系xoy中，如图，已知椭圆15922 yx的左、右顶点为 A、B，右焦点为 F。设过点 T（mt,）的直线 TA、TB 与椭圆分别交于点 M),(11yx、),(22yxN，其中 m0,0, 021yy。（1）设动点 P 满足422 PBPF,求点 P 的轨迹；（2）设31, 221xx，求点 T 的坐标；（3）设9t,求证：直线 MN 必过 x 轴上的一定点（其坐标与 m无关）。
