高等数学上册教案

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1、第- 1 页高等数学教案高等数学教案一、课程的性质与任务一、课程的性质与任务 高等数学是计算机科学与技术；信息管理与信息系统两个专业 的一门重要的基础理论课，通过本课程的学习，也是该专业的核心 课程。要使学生获得“向量代数”与“空间解析几何” ， “微积分” ， “常微分方程与无穷级数”等方面的基本概论、基本理论与基本运 算；同时要通过各个教学环节逐步培训学生的抽象概括能力、逻辑 推理能力、空间想象能力和自学能力。在传授知识的同时，要着眼 于提高学生的数学素质，培养学生用数学的方法去解决实际问题的 意识、兴趣和能力。第一章：函数与极限第一章：函数与极限教学目的与要求教学目的与要求 18 学时

2、1.解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函 数关系式。 2.解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4.掌握基本初等函数的性质及其图形。 5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与 左、右极限之间的关系。 6.掌握极限的性质及四则运算法则。 7.了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要 极限求极限的方法。 8.理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷 小求极限。 9.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续） ，会判别函数间断点的类 型。 10.了解

3、连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的 性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理） ，并会应用这些性质。第一节：映射与函数第一节：映射与函数一、集合一、集合第- 2 页1、 集合概念集合概念具有某种特定性质的事物的总体叫做集合。组成这个集合的事物称具有某种特定性质的事物的总体叫做集合。组成这个集合的事物称为该集合的元素为该集合的元素表示方法：用 A，B，C，D 表示集合；用 a，b，c，d 表示集合中的元素1),321LLaaaA 2)PxxA的性质元素与集合的关系： AaAa一个集合，若它只含有有限个元素，则称为有限集；不是有限集的集合称为无限集。常见的数集：N，Z，Q，

4、R，N+元素与集合的关系： A、B 是两个集合，如果集合 A 的元素都是集合 B 的元素，则称 A 是 B 的子集，记作。BA 如果集合 A 与集合 B 互为子集，则称 A 与 B 相等，记作BA 若作且则称 A 是 B 的真子集。BA BA 空集： A2、 集合的运算集合的运算并集 ：BAAx|xBABx或交集 ：BAAx|xBABx且差集 ：BA|BxAxxBA且全集 I 、E 补集： CA集合的并、交、余运算满足下列法则：第- 3 页交换律、 ABBAABBA结合律、)()(CBACBA)()(CBACBA分配律 )()()(CBCACBA)()()(CBCACBA对偶律 ( cccBA

5、BAI)cccBABA)(笛卡儿积 AB| ),(ByAxyx且3、 区间和邻域开区间 ),(ba闭区间 ba,半开半闭区间 baba,有限、无限区间邻域： )(aU),(axaxaUppa 邻域的中心 邻域的半径去心邻域 ),(aUo左、右邻域二、映射二、映射1.映射概念映射概念定义定义 设设 X，Y 是两个非空集合，如果存在一个法则是两个非空集合，如果存在一个法则，使得对，使得对 X 中中f的每一个元素的每一个元素，按法则，按法则，在，在 Y 中有唯一确定的元素中有唯一确定的元素与之对应，与之对应，xfy第- 4 页则称则称为从为从 X 到到 Y 的的映射映射，记作，记作fYXf：其中其中

6、 称为元素称为元素的像，并记作的像，并记作，即，即 yx)(xf)(xfy 注意：1）集合 X；集合 Y；对应法则f2）每个 X 有唯一的像；每个 Y 的原像不唯一3) 单射、满射、双射2、 映射、复合映射映射、复合映射三、函数三、函数1、 函数的概念：函数的概念：定义：设数集，则称映射为定义在 D 上RD RDf:的函数 记为 Dxxfy)(自变量、因变量、定义域、值域、函数值用、fg函数相等：定义域、对应法则相等自然定义函数；单值函数；多值函数、单值分枝.例：) 2) x3) 符号函数4) 取整函数 （阶梯曲线） xy 010001pfxxx y第- 5 页5) 分段函数 11102 fx

7、xxxy2、 函数的几种特性函数的几种特性1） 函数的有界性 (上界、下界；有界、无界)有界的充要条件：既有上界又有下界。注注：不同函数、不同定义域，有界性变化。2) 函数的单调性 （单增、单减）在 x1、x2点比较函数值与的大小（注：与区间有关）)(1xf)(2xf3) 函数的奇偶性(定义域对称、与关系决定)(xf)( xf 图形特点 (关于原点、Y 轴对称) 4)函数的周期性(定义域中成立：)()(xflxf3、 反函数与复合函数反函数与复合函数反函数反函数：函数是单射，则有逆映射，称此)(:DfDfxyf)(1映射为函数的反函数1ff函数与反函数的图像关于对称xy 复合函数复合函数：函数

8、定义域为 D1，函数在 D 上有定义、)(ygu )(xfy 且。则为复合函数。(注意：构成1)(DDf)()(xfgxfguo条件)4、 函数的运算函数的运算和、差、积、商(注：只有定义域相同的函数才能运算)5、初等函数：初等函数：1) 幂函数： 2)指数函数： axy xay 第- 6 页3) 对数函数 )(logxya4)三角函数 )cot(),tan(),cos(),sin(xyxyxyxy5) 反三角函数， )arcsin(xy )arccos(xy )cot()arctan(xarcyxy以上五种函数为基本初等函数以上五种函数为基本初等函数6) 双曲函数 2xxeeshx2xxee

9、chxxxxxeeee chxshxthx注：双曲函数的单调性、奇偶性。双曲函数公式shyshxchychxyxchshyshxchychxyxchshychxchyshxyxshshychxchyshxyxsh)()()()(反双曲函数： arthxyarchxyarshxy作业作业： 同步练习册练习一第- 7 页第二节：数列的极限第二节：数列的极限一、数列一、数列数列就是由数组成的序列。1）这个序列中的每个数都编了号。2）序列中有无限多个成员。一般写成：LLLLnaaaaa4321缩写为 nu例 1 数列是这样一个数列，其中 n1 nx，nxn1LLL5 , 4 , 3 , 2 , 1n也

10、可写为：LLLL51 41 31 211可发现：这个数列有个趋势，数值越来越小，无限接近 0，记为01lim nn1、 极限的极限的定义定义：N则称数列则称数列的极限的极限pffaxNnNn0 nx为为，记成，记成 aaxn n lim也可等价表述：1）)(0axNnNn2）)(0aOxNnNn第- 8 页极限是数列中数的变化总趋势，因此与数列中某个、前几个的值没极限是数列中数的变化总趋势，因此与数列中某个、前几个的值没有关系。有关系。二、收敛数列的性质收敛数列的性质定理 1：如果数列收敛，那么它的极限是唯一 nx定理 2 如果数列收敛，那么数列一定有界 nx nx定理 3：如果且 a0(a0

11、，当 nN 时，axn x lim)0(0nnxx定理 4、如果数列收敛于 a 那么它的任一子 数列也收敛,且收敛于nxa。第三节：函数的极限第三节：函数的极限 一、极限的定义一、极限的定义1、在、在点的极限点的极限0x1）可在函数的定义域内，也可不在，不涉及在有没有定义，0xf0x以及函数值的大小。只要满足：存在某个使：)(0xf0。Dxxxx),(),(00002）如果自变量趋于时，相应的函数值 有一个总趋势-x0x)(xf以某个实数为极限 ，则记为 ：。AAxf xx )(lim0形式定义为：Axfxxx)()0(00第- 9 页注：左、右极限。单侧极限、极限的关系2、的极限的极限x设：

12、设：如果当时函数值如果当时函数值 有一个总趋势有一个总趋势-该该),()(xxfy曲线有一条水平渐近线曲线有一条水平渐近线-则称函数在无限远点则称函数在无限远点有极限。记为：有极限。记为：Ay Axf x )(lim在无穷远点在无穷远点的左右极限：的左右极限：)(lim)(xffx)(lim)(xff x关系为：关系为：)(lim)(lim)(limxfAxfAxf xxx二、函数极限的性质二、函数极限的性质1、 极限的唯一性2、 函数极限的局部有界性3、 函数极限的局部保号性4、 函数极限与数列极限的关系第四节：无穷小与无穷大第四节：无穷小与无穷大一、无穷小定义一、无穷小定义定义：对一个数列

13、定义：对一个数列，如果成立如下的命题：，如果成立如下的命题： nx则称它为无穷小量，即则称它为无穷小量，即nxNnN00lim nxx第- 10 页注：注： 1、的意义；2、可写成；nx0nx), 0(nx3、上述命题可翻译成：对于任意小的正数，存在一个号码N，使在这个号码以后的所有的号码，相应的与极限 0 的距离比这nnx个给定的还小。它是我们在直观上对于一个数列趋于 0 的认识。定理定理 1 在自变量的同一变化过程在自变量的同一变化过程（或（或中，函数中，函数0xx )x具有极限具有极限 A 的充分必要条件是的充分必要条件是，其中，其中是无穷小。是无穷小。 xf Axf)(二、无穷大定义二

14、、无穷大定义一个数列一个数列，如果成立：，如果成立： nx那么称它为无穷大量。记成：那么称它为无穷大量。记成：GxNnNGn0。 nxxlim特别地，如果，则称为正无穷大，GxNnNGn0记成 nxxlim特别地，如果，则称为负无穷大，GxNnNGn0记成 nxxlim注：无法区分正负无穷大时就笼统地称之为无穷大量。注：无法区分正负无穷大时就笼统地称之为无穷大量。三、无穷小和无穷大的关系三、无穷小和无穷大的关系定理定理 2 在自变量的同一变化过程中，如果在自变量的同一变化过程中，如果为无穷大，则为无穷大，则)(xf为无穷小；反之，如果为无穷小；反之，如果为无穷小，且为无穷小，且则则为为)(1 xf)(xf0)(xf)(1 xf第- 11 页无穷大无穷大即：非零的无穷小量与无穷大量是倒数关系：当时：有0nx nxxx1lim0lim01limlim nxxx注意是在自变量的同一个变化过程中注意是在自变量的同一个变化过程中第五节：极限运算法则第五节：极限运算法则1、无穷小的性质、无穷小的性质设设和和是无穷小量于是：是无穷小量于是： nx ny（1）两个无穷小量的和差也是无穷小量：）两个