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1、第 1 页椭圆与双曲线的对偶性质椭圆与双曲线的对偶性质-（必背的经典结论）（必背的经典结论）高三数学备课组椭椭 圆圆1.点 P 处的切线 PT 平分PF1F2在点 P 处的外角外角.2.PT 平分PF1F2在点 P 处的外角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3.以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离相离.4.以焦点半径 PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切内切.5.若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是.000(,)P xy22221xy ab0P00 221x xy y ab6.若在椭圆外 ，则过 Po 作椭圆的两条切线切点为 P1、P2
2、，则切点弦 P1P2的直线方程000(,)P xy22221xy ab是.00 221x xy y ab7.椭圆 (ab0)的左右焦点分别为 F1，F 2，点 P 为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点22221xy ab12FPF角形的面积为. . 122tan2F PFSb8.椭圆椭圆（ab0）的焦半径公式：）的焦半径公式：22221xy ab,( , ).10|MFaex20|MFaex1(,0)Fc2( ,0)F c00(,)M xy9.设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M、N 两点，则 MFN
3、F.10. 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P 和 A2Q 交于点 M，A2P和 A1Q 交于点 N，则 MFNF.11. AB 是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为 AB 的中点，则，22221xy ab),(00yx22OMABbkka 即。0202yaxbKAB12. 若在椭圆内，则被 Po 所平分的中点弦的方程是.000(,)P xy22221xy ab22 0000 2222x xy yxy abab13. 若在椭圆内，则过 Po 的弦中点的轨迹方程是.000(,)P xy22221xy ab22 00 2222x xy yxy ab
4、ab双曲线双曲线1.点 P 处的切线 PT 平分PF1F2在点 P 处的内角内角.2.PT 平分PF1F2在点 P 处的内角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3.以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交相交.4.以焦点半径 PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5.若在双曲线（a0,b0）上，则过的双曲线的切线方程是.000(,)P xy22221xy ab0P00 221x xy y ab6.若在双曲线（a0,b0）外 ，则过 Po 作双曲线的两条切线切点为 P1、P2，则000(,)P xy2
5、2221xy ab切点弦 P1P2的直线方程是.00 221x xy y ab7.双曲线（a0,bo）的左右焦点分别为 F1，F 2，点 P 为双曲线上任意一点，22221xy ab12FPF则双曲线的焦点角形的面积为. 122t2F PFSb co8.双曲线双曲线（a0,bo）的焦半径公式：）的焦半径公式：( , 22221xy ab1(,0)Fc2( ,0)F c当当在右支上时，在右支上时，,.00(,)M xy10|MFexa20|MFexa当当在左支上时，在左支上时，,00(,)M xy10|MFexa 20|MFexa 9.设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交 P、Q 两点，A 为
6、双曲线长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于 M、N 两点，则 MFNF.10. 过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点 P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P 和 A2Q 交于点 M，A2P 和 A1Q 交于点 N，则 MFNF.11. AB 是双曲线（a0,b0）的不平行于对称轴的弦，M为 AB 的中点，则22221xy ab),(00yx，即。0202yaxbKKABOM0202yaxbKAB12. 若在双曲线（a0,b0）内，则被 Po 所平分的中点弦的方程是000(,)P xy22221xy ab.22 0000 2222x xy
7、yxy abab13. 若在双曲线（a0,b0）内，则过 Po 的弦中点的轨迹方程是000(,)P xy22221xy ab.22 00 2222x xy yxy abab第 2 页椭圆与双曲线的对偶性质椭圆与双曲线的对偶性质-（会推导的经典结论）（会推导的经典结论）高三数学备课组椭椭 圆圆1.椭圆（abo）的两个顶点为,，与 y 轴平行的直线交椭圆于 P1、P2时22221xy ab1(,0)Aa2( ,0)A aA1P1与 A2P2交点的轨迹方程是.22221xy ab2.过椭圆 (a0, b0)上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于 B,C 两点，22221xy ab00(,)A x
8、y则直线 BC 有定向且（常数）.2 0 2 0BCb xka y3.若 P 为椭圆（ab0）上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点, , 22221xy ab12PFF，则.21PF Ftant22accoac4.设椭圆（ab0）的两个焦点为 F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在22221xy abPF1F2中，记, ,，则有.12FPF12PFF12FF Psin sinsincea 5.若椭圆（ab0）的左、右焦点分别为 F1、F2，左准线为 L，则当 0e时，可22221xy ab21在椭圆上求一点 P，使得 PF1是 P 到对应准线距离 d 与 PF2的比例中项.
9、6.P 为椭圆（ab0）上任一点,F1,F2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则22221xy ab,当且仅当三点共线时，等号成立.2112| | 2|aAFPAPFaAF2,A F P7.椭圆与直线有公共点的充要条件是22 00 22()()1xxyy ab0AxByC.22222 00()A aB bAxByC8.已知椭圆（ab0） ，O 为坐标原点，P、Q 为椭圆上两动点，且.（1）22221xy abOPOQ;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为;（3）的最小值是.22221111 |OPOQab22224a b abOPQS2222a b ab9.过椭圆（ab0）的右焦点 F 作直线交
10、该椭圆右支于 M,N 两点，弦 MN 的垂直平分线交22221xy abx 轴于 P，则.| |2PFe MN10. 已知椭圆（ ab0） ,A、B、是椭圆上的两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于点22221xy ab, 则.0(,0)P x22220ababxaa11. 设 P 点是椭圆（ ab0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记，则22221xy ab12FPF(1).(2) .2122|1 cosbPFPF1 22tan2PF FSb12. 设 A、B 是椭圆（ ab0）的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，, 22221xy abPAB,，c、e 分别是椭圆的半焦距离
11、心率，则有(1).(2) PBABPA22222|cos|sabPAac co .(3) .2tantan1 e 22222cotPABa bSba13. 已知椭圆（ ab0）的右准线 与 x 轴相交于点，过椭圆右焦点的直线与椭圆相交22221xy ablEF于 A、B 两点,点在右准线 上，且轴，则直线 AC 经过线段 EF 的中点.ClBCx14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为
12、端点的焦半径之比为常数 e(离心率). （注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比 e.18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.第 3 页椭圆与双曲线的对偶性质椭圆与双曲线的对偶性质-（会推导的经典结论）（会推导的经典结论）高三数学备课组双曲线双曲线1.双曲线（a0,b0）的两个顶点为,，与 y 轴平行的直线交双曲线22221xy ab1(,0)Aa2( ,0)A a于 P1、P2时 A1P1与 A2P2交点的轨迹方程是.22221xy ab2.过双曲线（a0,bo）上任一点任
13、意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于22221xy ab00(,)A xyB,C 两点，则直线 BC 有定向且（常数）.2 0 2 0BCb xka y 3.若 P 为双曲线（a0,b0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1, F 2是焦点, 22221xy ab, ，则（或）.12PFF21PF Ftant22cacocatant22cacoca4.设双曲线（a0,b0）的两个焦点为 F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，22221xy ab在PF1F2中，记, ,，则有.12FPF12PFF12FF Psin (sinsin)cea 5.若双曲线（a0,b0）的左、右焦点分别为
14、F1、F2，左准线为 L，则当 1e22221xy ab时，可在双曲线上求一点 P，使得 PF1是 P 到对应准线距离 d 与 PF2的比例中项.216.P 为双曲线（a0,b0）上任一点,F1,F2为二焦点，A 为双曲线内一定点，则22221xy ab,当且仅当三点共线且和在 y 轴同侧时，等号成立.21| 2|AFaPAPF2,A F PP2,A F7.双曲线（a0,b0）与直线有公共点的充要条件是22221xy ab0AxByC.22222A aB bC8.已知双曲线（ba 0） ，O 为坐标原点，P、Q 为双曲线上两动点，且.22221xy abOPOQ（1）;（2）|OP|2+|OQ
15、|2的最小值为;（3）的最小值是22221111 |OPOQab22224a b baOPQS.2222a b ba9.过双曲线（a0,b0）的右焦点 F 作直线交该双曲线的右支于 M,N 两点，弦 MN 的22221xy ab垂直平分线交 x 轴于 P，则.| |2PFe MN10. 已知双曲线（a0,b0）,A、B 是双曲线上的两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相22221xy ab交于点, 则或.0(,0)P x220abxa220abxa 11. 设 P 点是双曲线（a0,b0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记22221xy ab，则(1).(2) .12FPF2122|1 cosbPFPF1 22cot2PF FSb12. 设 A、B 是双曲线（a0,b0）的长轴两端点，P 是双曲线上的一点，, 222
