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1、1论文模板（武科大全国数学建模竞赛 2010 年 A 题论文） 本文只是提供一种竞赛论文写作的大体格式，具体细节内容可视情况而定，并不一定要完完全全按 照该论文的模式来写论文。大家关注的格式应该是以下这些：摘要 关键字 问题重述与分析 对题 目某些条件的合理假设及变量说明 模型建立及求解 模型的评价与推广 参考文献 附录（主要是一 些程序）储油罐的变位识别与罐容表标定 摘要 本文研究了两种形状的储油罐在罐体发生变位后，变位角度参数的识别和罐容表 的标定问题，建立了比较精确的数学模型。 对于问题一，针对小椭圆形储油罐无变位的情况，通过微元分析法得到储油体积 与油位高度的函数关系表达式（见正文3）
2、 ，并作出相应的曲线图像；通过与实VhP 际检测数据的比较和误差分析，可知无变位情况下所建立函数模型具有很高的精度。 在此基础上，针对纵向倾斜角度为的变位情况，我们也建立了储油体积和油位 高度的函数模型：根据油位高度的不同，确定边界条件，分为三种情况进行讨论，得 到了储油体积和油位高度见的函数关系，该函数是一分段函数（见附录 2、附录 3） 。 作出纵向倾角时的曲线图像，与实际数据的散点图比较检验，通过误差分析验01 . 4证所得到模型的准确性；并计算出罐体变位后，油位高度间隔为 1cm 的罐容表标定值 （见表一）。 对于问题二中的实际储油罐，我们按照以下步骤建立罐内储油量与油位高度及变 位参
3、数之间的函数关系： 首先分析仅有纵向偏转时罐内储油量与油位高度的函数关系。当纵向倾斜角度为 时，根据罐内油位高度的不同，应分为三种情况进行讨论，通过几何分析的方法可 得到该函数模型为（见正文）),(1hfV 15,14,13P再分析仅有横向偏转时储油量与油位高度的函数模型。对于横向偏转角度为的情形，通过几何关系，易得出实际油位高度与测量油高的关系式：hh ，(为测量的油高，为圆柱体半径)。将代入无偏转时储油量cosRhRhhRh的计算公式中，则可建立横向偏转时储油量的数学模型，（见正文）),(2hfV 15P在第三步中，我们假设储油罐先横向偏转度，再纵向偏转度，则在以上两步的分析基础上，可求出
4、罐内储油量与油位高度及变位参数间的函数模型，Vh, 。),(hfV 根据建立的数学模型，我们采用穷举搜索法，计算理论值与实际检),(hfV 测值最小时的偏转角度，从而确定油罐的变位参数， ；然后根据公1 . 206 . 50式求出了变位后油位高度间隔为 10cm 的罐容表标定值。我们利用所给),(00hfV 的实际检测数据对所建立模型进行了比较和误差分析，发现理论数据与检测数据间的 误差不大于 3%，表明所建立模型具有较高的准确性。关键字 微元分析法 曲线拟合 误差限 分段函数 比较检验一、问题重述 已知加油站都有若干地下储油罐，且有与之配套的“油位计量管理系统”， 通过预先标定的罐容表进行实
5、时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情 况。 然而储油罐在使用一段时间后，由于地基变形使罐体位置发生纵向倾斜和 横向偏转等变化，从而导致罐容表发生改变。因此需要定期对罐容表进行重新 标定。题中给出了一系列示意图，并得出了一些实验数据和实际检测数据。 本题需要用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定问题。 （1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用小椭圆型储油罐，分别对罐体无变位和倾斜角为的纵向变位两种情况做了实验，得出实验数据。o1 . 4请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度 间隔为的罐容表标定值。cm1 （2）对于实际储油罐，试建立罐体变位后标
6、定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度和横向偏转角度）之间的一般关系。利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据，根据所建立的数学 模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为的罐容表标定值。cm10 进一步利用实际检测数据来分析检验模型的正确性与方法的可靠性。二、对问题的初步分析要解决储油罐变位识别与罐容表标定问题，那么就需确定罐内油位高度与 储油量的对应关系。第一问由于只有纵向倾斜，因此需要通过积分来分别求无变位和纵向变位后的油位高度与储油量的关系（，），最 hfV , hfV 后通过对模型的求解来标定罐容表。而实际上，储油罐并不是如第一问那样简 单的椭圆
7、柱体，而且对于第二问不仅要考虑纵向倾斜，同时还要横向倾斜，因此我们要求出体积与油位高度的关系，必须要先确定。再对hfV,模型求解，标定罐容表。三、问题假设（1）假设储油罐是理想的，规则的罐体。不考虑物理形变，温度或其他因 素导致的罐体形状不规则或储油体积的变化。 （2）假设油位探针、注油口、出油管等伸进油罐内的部分忽略不计。 （3）对于油罐左右倾斜求解方法相同，只因为油浮子位置导致计算结果有 所改变，我们假设油罐按图中方位倾斜。 （4）假设图中标注的度量均不考虑油罐的厚度。四、模型的建立及求解符号规定：纵向倾斜角度 ：横向倾斜角度：罐体左端液面高 ：椭圆长半轴ha ：椭圆短半轴 ：储油量bV
8、：对微元积分的微元高度 ：储油横截面面积hS模型一： 研究罐体变位后对罐容表的影响，因此我们考虑先未变位时理论油位高度与储油量之间的关系，建立相应的数学模型。1hV设横截面椭圆的方程为：12222 by ax（1） 先讨论无变位模型： 椭圆弓形的高为，图中带阴影部分为储油横截面，先用定积分求储油体h 积。设椭圆弓形的面积为，则：)(hS abbbh bbh bbhdyybbahSbhb arcsin1222 22油罐的长为,储油的体积为，可得：L)(hV abLbbh bbh bbhhV arcsin122已求出储油量和油位高度的关系，用 MATLAB,对的关系式作图，与实验数据作)(hV图进
9、行比较（程序见附录 1） ，得下图。无变位进油量的数据图 红色的为曲线图 蓝色的为实际数据散点图无变位出油量的数据图 红色的为曲线图 蓝色的为实际数据散点图由图发现，未变位情况下，理论模型与实验数据几乎吻合，因此模型可用。现在讨论变位后的模型。 因为当油罐纵向偏转角后，需分三种情况讨论。 1）当油面到底面的投影时，如图：mL45. 2对每一个椭圆部分面积微元在上进行积分，求体积；L dxhSxVL 01Q abbbh bbh bbhdyybbahSbhb 2 22arcsin122 dxabbbh bbh bbhxVL 021arcsin12QhLxLh tanhL 进行变量代换 则 ，bbh
10、tbbxhttandtbdxtan积分变为： dttttabxVbh 11231arcsin12tan 再用MATLAB求积分，由于积分结果较复杂，所以将计算结果及方法置于附录2。2）当油面将底面全都覆盖，又不到达顶面时（如图），及 （单位为）的时候：2 . 1tan45. 2 hm椭圆的面积 bbh bbh bbhhsarcsin122xxhhtan则是 45. 202tandxxxhSxV令 tan,tanbdxdxbbxhy积分变为： xV2dxxxxabbhbbh 1tan45. 222 arcsin12tan 再用MATLAB求积分（计算结果及方法同上见附录3）。3）当油面开始慢慢覆
11、盖顶面，即倾斜时高端液面高恒定为1.2时（如图）：hm dxabbbh bbh bbhabdxhSVxVLL 0203arcsin1245.42总同 1) 设 进行变量代换得积分QhLxLh tanhL bbht dttttabxVbh 11231arcsin12tan MATLAB 求积分同 1） （计算结果及方法见附录 2） xVabxV13445. 2而实验数据是从0.159开始进油，而从第二个数据开Qm176. 01 . 4tan45. 2m始，就完全进入油面将底面全都覆盖的情况，即讨论的第二种情况，因此，我 们将建立的第二种情况的模型，与实际数据作图。为了使作图简单，我们将油位高度全
12、转化成用倾斜时高端液面高来表示hh油位高度 （）用MATLAB得到两种曲线的图如下（作Qtan4 . 0 hh1 . 4图方法见附录3）（横坐标为倾斜时高端液面油位高度）：h有变位进油量的数据图：红色的为曲线图，蓝色的为实际数据散点图有变位出油量的数据图：红色的为曲线图，蓝色的为实际数据散点图分析图像发现，模型做出来的曲线图与实际数据散点图几乎完全拟合。同时我 们求临界点的数据，对于 1），2）模型分别用求临界点时的体积，mL45. 2 得 ， 3 1152027. 0mV 3 2152068. 0mV 00027. 0212VVV对于 2）中曲线数据与散点数据用 MATLAB（算法见附录 4
13、）求得误差的最大值 0519. 0max11VVV误差的最小值0156. 0min11VVV对于 2）3）的临界点代入模型求得临界点mh2 . 13 29589. 3mV 3 39588. 3mV 00002526. 0323VVV综上所述 误差范围都在最大误差 0.0519 内，因此，通过数据检验，模型正确。最后，我们将三种情况的数学模型用 MATLAB 作图，将三段连接，得下图：油标高度与储油量关系曲线-500050010001500200025003000350040004500020406080100120140油标高度/cm储油量/L即为倾斜变位后油标高度与储油量的关系曲线。现根据所
14、建模型 用 MATLAB(计算方法见附录 5) 得出从油位高度为 0 开始 每隔 1的罐体变位后罐容表的标定值，如下表：cm表一模型二： 对于实际储油罐，要建立罐体变位后的数学模型，我们先求 1）无变位情况即时实际储油罐体积与油位高度的关系0,0 hfV 无变位的储油体积 油罐体积即求图中阴影部分的体积；为了计算简单，先计算如图3所示灰色部分的体积。 体积计算的模型分两部分： （1）计算中间圆柱体部分储油的体积。 这部分相当于圆柱体的一部分。只需要计算截面面积S。利用微积分， 有截面LSV 1则只需要计算截面,利用微积分： 2222 222022 1arctanRhhRhRhRhdhhRLSVh 截面（2）计算两端球缺部分所剩余油料的体积 2V由于左右是对称的，所以我们只需要计算其中一个。先计算水平截面的面积，然后在垂直方向上对积分，然后在垂直方向水平S上对h 的积分。dhSVh水平02下面求： S水平如图 6，球的水平截面是一个圆水平截面的半径 22hrrh如图，就是阴影部分的面积 S=222222222 HhHrhHdsshrhrHr 222222 2arctan21 HhHrHrrhhr=dhSVh水平 02322 322 62222232HhHrhrHhHrHhhhr
