圆锥曲线

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1、圆锥曲线圆锥曲线 一一 椭圆方程椭圆方程 （一） 椭圆的定义：方程为椭圆；12122PFPFaF F无轨迹；12122PFPFaF F以为端点的线段。12122PFPFaF F12,FF（二） 椭圆的方程: 椭圆的标准方程：i. 中心在原点，焦点在 x 轴上：.22221(0)xyababii. 中心在原点，焦点在轴上：. y22221(0)yxabab一般方程：.221(0,0)AxByAB椭圆的标准参数方程：的参数方程为 12222 byax sincos byax（三）椭圆的几何性质：顶点：A,B,C和 D.( ,0)a(,0)a(0, )b(0,)b轴：对称轴：x 轴，轴；长轴长=，短

2、轴长=.yABa2CDb2焦点：, 1F (,0)c2F( ,0)c焦距：，.122F Fc222abc离心率：. (01)ceea二二 双曲线方程双曲线方程 （一）双曲线的定义：（二）双曲线的方程12121212121212222,PFPFaF FPFPFaF FPFPFaF FFF方程为双曲线无轨迹以的一个端点的一条射线双曲线标准方程：i. 中心在原点，焦点在 x 轴上：. 22221( ,0)xya babii. 中心在原点，焦点在轴上：y22221( ,0)yxa bab一般方程：.221(0)AxCyAC椭圆的标准参数方程：的参数方程为 22221xy ab tansec byax（

3、三）双曲线的几何性质i. 焦点在轴上：顶点：；焦点：；x)0 ,(),0 ,(aa)0 ,(),0 ,(cc渐近线方程：或0by ax02222 byaxii. 焦点在轴上：顶点：；焦点：；y), 0(), 0(aa), 0(), 0(cc渐近线方程：或，0bx ay02222 bxay轴：为对称轴，实轴长为 2a, 虚轴长为 2b，焦距 2c. yx,离心率. ace 参数关系. acebac,222（四）常见的特殊双曲线：等轴双曲线：双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率222ayxxy.2e共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.与互为

4、共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：2222by ax2222byax.02222 byax共渐近线的双曲线系方程：的渐近线方程为如果双曲)0(2222 byax02222 byax线的渐近线为时，它的双曲线方程可设为.0by ax)0(2222 byax例如：若双曲线一条渐近线为且过，求双曲线的方程？xy21)21, 3( p解：令双曲线的方程为：，代入得.)0(422 yx)21, 3( 12822 yx（五）直线与双曲线的位置关系：如下图. 区域：无切线，2 条与渐近线平行的直线，合计 2 条； 区域：即定点在双曲线上，1 条切线，2 条与渐近线平行的直线，合计 3 条； 区域：2 条切线

5、，2 条与渐近线平行的直线，合计 4 条； 区域：即定点在渐近线上且非原点，1 条切线，1 条与渐近线平行的直线，合计 2 条；区域：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线. 小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有 0、2、3、4 条.三三 抛物线方程抛物线方程设，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：0p pxy22pxy22pyx22pyx22图形yx OyxOyx Oyx O焦点)0 ,2(pF)0 ,2(pF )2, 0(pF)2, 0(pF准线2px2px 2py2py 范围Ryx , 0Ryx , 00,yRx0,yRx对称轴轴x轴y顶点(0，0)离心率1e焦半径12xpPF12xpPF12ypPF12ypPF注：顶点.xcbyay2)244(2ab abac则焦点半径)0(22ppxy yxF1F21234533 yxF1F21234533;则焦点半径为.2PxPF)0(22ppyx 2PyPF通径为 2p，这是过焦点的所有弦中最短的.(或)的参数方程为(或)( 为参数).pxy22pyx22 ptyptx 222222ptyptx t