《2012年高考第一轮复习数学：11.3 相互独立事件同时发生的概率》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2012年高考第一轮复习数学：11.3 相互独立事件同时发生的概率（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、11.3 相互独立事件同时发生的概率知识梳理 1.相互独立事件：事件 A 是否发生对事件 B 发生的概率没有影响，这样的两个事件叫 相互独立事件. 2.独立重复实验：如果在一次试验中某事件发生的概率为 p，那么在 n 次独立重复试验中，这个事件恰好发生 k 次的概率为 Pn（k）=C pk（1p）nk.k n3.关于相互独立事件也要抓住以下特征加以理解： 第一，相互独立也是研究两个事件的关系； 第二，所研究的两个事件是在两次试验中得到的； 第三，两个事件相互独立是从“一个事件的发生对另一个事件的发生的概率没有影响” 来确定的. 4.互斥事件与相互独立事件是有区别的： 两事件互斥是指同一次试验中
2、两事件不能同时发生，两事件相互独立是指不同试验下， 二者互不影响；两个相互独立事件不一定互斥，即可能同时发生，而互斥事件不可能同时发生 . 5.事件 A 与 B 的积记作 AB，AB 表示这样一个事件，即 A 与 B 同时发生. 当 A 和 B 是相互独立事件时，事件 AB 满足乘法公式 P（AB）=P（A）P（B） ，还要弄清，的区别. 表示事件与同时发生，因此它们的对立事件 AABBAABAB 与 B 同时不发生，也等价于 A 与 B 至少有一个发生的对立事件即，因此有BA AB ，但=.BAABBA 点击双基 1.（2004 年辽宁，5）甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是
3、 p1， 乙解决这个问题的概率是 p2，那么恰好有 1 人解决这个问题的概率是 A.p1p2B.p1（1p2）+p2（1p1） C.1p1p2D.1（1p1） （1p2） 解析：恰有一人解决就是甲解决乙没有解决或甲没有解决乙解决，故所求概率是 p1（1p2）+p2（1p1）. 答案：B 2.将一枚硬币连掷 5 次，如果出现 k 次正面的概率等于出现 k+1 次正面的概率，那么 k 的值为 A.0B.1C.2D.3解析：由 C （）k（）5k=C（）k+1（）5k1，k 521 211 5k 21 21即 C =C，k+（k+1）=5，k=2.k 51 5k答案：C3.从应届高中生中选出飞行员，
4、已知这批学生体型合格的概率为，视力合格的概率31为，其他几项标准合格的概率为，从中任选一学生，则该生三项均合格的概率为（假61 51设三项标准互不影响）A.B.C.D.94 901 54 95解析：P=.31 61 451 901答案：C4.一道数学竞赛试题，甲生解出它的概率为，乙生解出它的概率为，丙生解出它21 31的概率为，由甲、乙、丙三人独立解答此题只有一人解出的概率为_.41解析：P=+ + =.21 32 43 21 31 43 21 32 41 2411答案： 24115.一出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是.那么这
5、位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的31概率是_. 解析：因为这位司机在第一、二个交通岗未遇到红灯，在第三个交通岗遇到红灯，所以 P=（1） （1）=.31 31 31 274答案： 274典例剖析 【例 1】 （2004 年广州模拟题）某班有两个课外活动小组，其中第一小组有足球票 6 张，排球票 4 张；第二小组有足球票 4 张，排球票 6 张.甲从第一小组的 10 张票中任抽 1 张，乙从第二小组的 10 张票中任抽 1 张. （1）两人都抽到足球票的概率是多少? （2）两人中至少有 1 人抽到足球票的概率是多少? 解：记“甲从第一小组的 10 张票中任抽 1 张，抽到足球票”为事件
6、A， “乙从第二小 组的 10 张票中任抽 1 张，抽到足球票”为事件 B；记“甲从第一小组的 10 张票中任抽 1张，抽到排球票”为事件， “乙从第二小组的 10 张票中任抽 1 张，抽到排球票”为事件A ，B于是 P（A）= ，P（）=；106 53A52P（B）= ，P（）=.104 52B53由于甲（或乙）是否抽到足球票，对乙（或甲）是否抽到足球票没有影响，因此 A 与 B 是相互独立事件. （1）甲、乙两人都抽到足球票就是事件 AB 发生，根据相互独立事件的概率乘法公式，得到 P（AB）=P（A）P（B）=.53 52 256答：两人都抽到足球票的概率是.256（2）甲、乙两人均未抽
7、到足球票（事件发生）的概率为ABP（）=P（）P（）=.ABAB52 53 256两人中至少有 1 人抽到足球票的概率为P=1P（）=1=.AB256 2519答：两人中至少有 1 人抽到足球票的概率是.2519【例 2】 有外形相同的球分别装在三个不同的盒子中，每个盒子中有 10 个球.其中第 一个盒子中有 7 个球标有字母 A，3 个球标有字母 B；第二个盒子中有红球和白球各 5 个； 第三个盒子中有红球 8 个，白球 2 个.试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球， 若取得标有字母 A 的球，则在第二个盒子中任取一球；若第一次取得标有字母 B 的球，则 在第三个盒子中任取一球.如
8、果第二次取得的球是红球，则称试验成功，求试验成功的概率. 解：设事件 A：从第一个盒子中取得一个标有字母 A 的球；事件 B：从第一个盒子中取得一个标有字母 B 的球，则 A、B 互斥，且 P（A）=，P（B）=；事件 C：从第二107 103号盒子中取一个红球，事件 D：从第三号盒子中取一个红球，则 C、D 互斥，且 P（C）=，P（D）=.21 108 54显然，事件 AC 与事件 BD 互斥，且事件 A 与 C 是相互独立的，B 与 D 也是相互 独立的.所以试验成功的概率为 P=P（AC+BD）=P（AC）+P（BD）=P（A）P（C）+P（B）P（D）=.10059本次试验成功的概率
9、为.10059【例 3】 （2004 年福州模拟题）冰箱中放有甲、乙两种饮料各 5 瓶，每次饮用时从中 任意取 1 瓶甲种或乙种饮料，取用甲种或乙种饮料的概率相等. （1）求甲种饮料饮用完毕而乙种饮料还剩下 3 瓶的概率； （2）求甲种饮料被饮用瓶数比乙种饮料被饮用瓶数至少多 4 瓶的概率. 解：（1）由题意知，甲种已饮用 5 瓶，乙种已饮用 2 瓶. 记“饮用一次，饮用的是甲种饮料”为事件 A，则 p=P（A）=.21题（1）即求 7 次独立重复试验中事件 A 发生 5 次的概率为 P7（5）=C p5（1p）5 72=C （）7=.2 721 12821（2）有且仅有 3 种情形满足要求：
10、 甲被饮用 5 瓶，乙被饮用 1 瓶；甲被饮用 5 瓶，乙没有被饮用；甲被饮用 4 瓶，乙没 有被饮用.所求概率为 P6（5）+P5（5）+P4（4）=C p5（1p）+C p5+C p4=.6 55 54 4163答：甲饮料饮用完毕而乙饮料还剩 3 瓶的概率为，甲饮料被饮用瓶数比乙饮料被12821饮用瓶数至少多 4 瓶的概率为.163闯关训练 夯实基础夯实基础 1.若 A 与 B 相互独立，则下面不相互独立事件有A.A 与 B.A 与 C. 与 B D. 与ABAAB 解析：由定义知，易选 A. 答案：A 2.在某段时间内，甲地不下雨的概率为 0.3，乙地不下雨的概率为 0.4，假设在这段时
11、 间内两地是否下雨相互无影响，则这段时间内两地都下雨的概率是 A.0.12 B.0.88C.0.28 D.0.42 解析：P=（10.3） （10.4）=0.42. 答案：D3.某学生参加一次选拔考试，有 5 道题，每题 10 分.已知他解题的正确率为，若 4053分为最低分数线，则该生被选中的概率是_. 解析：该生被选中，他解对 5 题或 4 题.P=（）5+C （）4（1）=.534 553 53 31251053答案：312510534.某单位订阅大众日报的概率为 0.6，订阅齐鲁晚报的概率为 0.3，则至少订阅其中一 种报纸的概率为_. 解析：P=1（10.6） （10.3）=0.72
12、. 答案：0.72 培养能力培养能力 5.在未来 3 天中，某气象台预报每天天气的准确率为 0.8，则在未来 3 天中， （1）至少有 2 天预报准确的概率是多少？ （2）至少有一个连续 2 天预报都准确的概率是多少？ 解：（1）至少有 2 天预报准确的概率即为恰有 2 天和恰有 3 天预报准确的概率，即C 0.820.2+C 0.83=0.896.2 33 3至少有 2 天预报准确的概率为 0.896. （2）至少有一个连续 2 天预报准确，即为恰有一个连续 2 天预报准确或 3 天预报准确 的概率为20.820.2+0.83=0.768. 至少有一个连续 2 天预报准确的概率为 0.768
13、. 6.（2004 年南京模拟题）一个通讯小组有两套设备，只要其中有一套设备能正常工作， 就能进行通讯.每套设备由 3 个部件组成，只要其中有一个部件出故障，这套设备就不能正 常工作.如果在某一时间段内每个部件不出故障的概率为 p，计算在这一时间段内， （1）恰有一套设备能正常工作的概率； （2）能进行通讯的概率. 解：记“第一套通讯设备能正常工作 ”为事件 A， “第二套通讯设备能正常工作 ” 为事件 B.由题意知 P（A）=p3，P（B）=p3，P（）=1p3，P（）=1p3.AB （1）恰有一套设备能正常工作的概率为 P（A+ B）=P（A）BAB +P（B）A =p3（1p3）+（1p
14、3）p3=2p32p6. （2）方法一：两套设备都能正常工作的概率为 P（AB）=P（A）P（B）=p6. 至少有一套设备能正常工作的概率，即能进行通讯的概率为P（A+ B）+P（AB）=2p32p6+p6=2p3p6.BA 方法二：两套设备都不能正常工作的概率为P（）=P（）P（）=（1p3）2.ABAB 至少有一套设备能正常工作的概率，即能进行通讯的概率为 1P（）=1P（）P（）=1（1p3）ABAB2=2p3p6.答：恰有一套设备能正常工作的概率为 2p32p6，能进行通讯的概率为 2p3p6. 7.已知甲袋中有 3 个白球和 4 个黑球，乙袋中有 5 个白球和 4 个黑球.现从两袋中
15、各取 两个球，试求取得的 4 个球中有 3 个白球和 1 个黑球的概率.解：从甲袋中取 2 个白球，从乙袋中取 1 个黑球和 1 个白球的概率为=2 72 3 CC2 91 41 5 CCC；635从甲袋中取 1 个黑球和 1 个白球，从乙袋中取 2 个白球的概率为=.2 71 41 3 CCC2 92 5 CC 6310所以，取得的 4 个球中有 3 个白球和 1 个黑球的概率为+=.635 6310 6315 215探究创新探究创新 8.（2004 年湖南）甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为，乙机床加工的零件是一41等品而丙机床加工的零件不是一等品 的概率为，甲、丙两台机床加工的零件都是一等121品的概率为.92（1）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率； （2）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率. 解：（1）设 A、B、C 分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件，由题设条件有,92)(,121)(,41)(CAPCBPBAP即 .92)()(,121)(1 )(,41)(1 )(CPAP
