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1、学科：数学学科：数学教学内容：平行四边形的识别教学内容：平行四边形的识别 学习目标学习目标 1掌握平行四边形识别的四种方法 2能综合运用平行四边形的性质和识别的方法去解决一些实际问题 学法指导学法指导 1平行四边形的定义是识别平行四边形的最基本的方法，要把它和四种识别方法加在 一起灵活地运用 2通过定理的证明，使我们逐步学习分别从题设或结论出发，运用综合法和分析法寻 找几何证明思路 3判断一个命题是否正确，可采用反例法，即举出一个符合题设，但不符合结论的例 子 基础知识讲解基础知识讲解 平行四边形的识别方法 1两组对角分别相等的四边形是平行四边形 2两组对边分别相等的四边形是平行四边形 3对角
2、线互相平分的四边形是平行四边形 4一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 5除以上四种识别方法外，还有一种最基本的识别方法，即两组对边分别平行的四边 形为平行四边形，这种方法也叫定义法 重点难点重点难点 重点：利用平行四边形的识别方法来判断一个四边形是否是平行四边形 难点：五种识别方法的选择是本章的难点，综合应用平行四边形的性质和识别方法来 解决实际问题也是本章的难点 易错误区分析易错误区分析 1利用本节内容解题时常犯“错用识别方法”的错误 例如：已知如图 12-1-19，所示ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，OE 上 AD 于 E，OFBC 于 F求证：四边形 AECF 是平行四
3、边形 错证：在AOE 和COF 中 OEAD，OFBC AEO=CFO=90 四边形 ABCD 为平行四边形OAOC，ADBC EACACF AOECOF（AAS） OF=OE 四边形 AECF 是平行四边形 错误分析：上面证明由 OFOE，OA=OC 不能说明 EF 与 AC 互相平分，因为原题设中没 有说明 E、O、F 三点共线，因此先证 E、O、F 三点共线 正确证：在AOE 和COF 中 OEAD OFBC AEOCFO90 四边形 ABCD 为平行四边形 OAOC，ADBC EAC=ACF AOECOF（AAS） OFOE 又ADBC，OEAD，OFBC E、O、F 三点共线 四边形
4、 AECF 是平行四边形 例如：判断命题“一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形”是否正确 错解：这个命题正确 分析：错解的原因主要是与一组对边平行且相等的识别方法相混淆 正确解法：这个命题不正确，例如：如图 12-1-20，作一个ABCD（其中A 是锐角） 以 C 为圆心，以 CB 为半径画弧交 AB 的延长线于点 E，连结 CE，则有 CDAE，ADCE，显 然四边形 AECD 虽满足命题的条件，但它不是平形四边形典型例题典型例题 例 1已知如图 12-1-21 所示，在ABCD 中，E、F 是对角线 AC 上的两点，且 AE=CF，M、N 是 AB、CD 上的点，且 BMDN.
5、求证：四边形 MENF 是平行四边形 分析：由平行四边形的识别方法按照已知条件应从边入手，由已知及平行四边形可知 AMECNF，则有 MENF，同理AMFCNE，则有 MFNE 证明：在ABCD 中，ABCD 12 又BMDN AM=CN 且 AE=CF AMECNF（SAS） MEFN 同理可证AMFCNE MFNE 四边形 MENF 是平行四边形 例 2如图 12-1-22 所示，现有一块等腰直角三角形的铁板，通过切割焊接成一个含 有 45角的平行四边形，请你设计一种最简单的方案，并证明你的方案确实得到的是一个 符合条件的平行四边形分析：运用三角形全等，平行四边形的识别方法来解答，在证明时
6、不要忽略证明 F，E，D 共线 解：取 AC、BC 的中点 E、D 连结 ED，则沿 ED 切割下来，如图使点 E 不变，点 C 与点 A 重合，再焊接上去最简单 证明：在 RtABC 中 ACBC B=45 又E、D 分别为 AC、BC 的中点 ECDC CEDCDE45 AEFCED45 AEF+AED=CED+AED180 F、E、D 在一条直线上 EAFC90 AFCD 又AFCDDB 四边形 AFDB 是平行四边形，且B45 例 3如图 12-1-23，在ABCD 的对角线上取两点 E、F，且 BFDE，请至少用两种不 同的方法证明四边形 AECF 是平行四边形，并指出哪种方法最简便
7、分析：可证两组对边分别相等，也可证对角线互相平分 证明方法（一） 在ABF 和CDE 中，ABCD，BFDE，ABFCDE ABFCDE AFCE 同理可证 AECF，故四边形 AECF 是平行四边形 方法（二） 连 AC 交 BD 于 O 在ABCD 中，OAOC，OBOD BFDE OE=OF 四边形 AECF 为平行四边形 例 4如果一块木板两边是线段，把两把曲尺的一边紧靠木板边缘，再看木板另一边 缘对曲尺另一边上的刻度是否相等，就可以判断木板的两个边缘是否平行，这是为什么？ 分析：这是一道生活实践题，运用数学知识来解决和分析一些生活实践问题，此题就 是运用平行四边形的识别方法来判断两边
8、是否平行解：如果曲尺的刻度相等，则木板的两个边缘就平行，因为，两把曲尺与木板的两个 边缘构成一个四边形，当曲尺的刻度相等，则四边形中就有一组对边平行且相等，所以四 边形为平行四边形，则木板的两边缘平行 如果曲尺的刻度不相等，则木板的两个边缘就不平行，因为曲尺与木板边缘构成的四边形不是平行四边形 例 5如图 12-1-24，在四边形 ABCD 中，ADBC，AD24cm，AB8cm，动点 P 从 A 开 始沿 AD 边向 D 以 1cm秒的速度运动，动点 Q 从 C 点开始沿 CB 边以 3cm秒的速度运动， P、Q 分别从点 A、C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动
9、 的时间为 t 秒，t 为何值时四边形 PQCD 为平行四边形分析：要使四边形 PQCD 为平行四边形，因为 PDQC，只要满足 PD=QC 即可 解：ADBC 只要 PDQC 时，四边形 PQCD 就是平行四边形 此时有 24-t3t 解得 t6 当 t6 时，四边形 PQCD 为平行四边形 创新思维创新思维 例 1如图 12-1-25，ABC 是边长为 a 的等边三角形，P 是ABC 内的任意一点，过 点 P 作 EFAB 交 AC，BC 于点 E、F，作 GHBC 交 AB，AC 于点 G、H，作 MNAC 交 AB、BC 于 M、N，请你猜想 EF+GH+MN 的值是多少？其值是否随
10、P 位置的改变而变化，并证明你的 结论分析：把线段 EF、MN、GH 通过平行四边形或等边三角形，利用相等的线段转移到同一 条边 AB 上 解：EF+GH+MN2a，EF+GH+MN 的值不随 P 的位置改变而变化 证明：ABC 是等边三角形 ABC60 GHBC AGHB60， AHGC60 AGH 是等边三角形 GH=AG=AM+MC（l） 同理可证：BMN 是等边三角形 MNMBMG+GB（2） MNAC，EFAB 四边形 AMPE 是平行四边形 PEAM 同理可证四边形 BFPG 是平行四边形 PFGB EFPE+PFAM+GB（3） （l）+（2）+（3）得 EF+GH+MNAM+G
11、B+MG+GB+AM+MG 2（AM+MG+GB）2AB2a 例 2已知如图 12-1-26 所示，ABC 中，AB9，AC10，试求 BC 边上中线 AD 的取 值范围分析：求线段的取值范围只有把已知线段和所求线段平移到一个三角形中，由三角形 的三边关系来确定线段的取值范围，由题意可知：根据已知三角形 ABC 求作一个平行四边 形即可求得 解：如图所示延长 AD 至 E，使 ADDE，连结 BE、CE ADDE BDDC 四边形 ABEC 为平行四边形 ACBE=10 在ABE 中，AB9，BE10 10-9AE1O+9，即 1AE19 0.5AD95 例 3如图 12-1-27，在ABCD
12、 中 MNAC 且交 DA 延长线于 M，交 DC 延长线于 N，交 AB 于 P，交 BC 于 Q（1）请指出图中平行四边形的个数 （2）图中 MP 与 NQ 能相等吗？为什么？ 分析：由 ADBC 可得 AMQC 同理可得 PANC 解：（1）有 3 个平行四边形 即AMQC，APNC，ABCD （2）MP 与 NQ 能相等 因为 MQAC PNAC 所以 MQPN 因为 MPMQ-PQ QNPN-PQ 所以 MPNQ 中考练兵中考练兵 1不能判定四边形 ABCD 是平行四边形的条件是（ ） AABCD，ADBCBABCD，ABCD CABCD，ADBCDABCD，ADBC 解：由平行四边
13、形的识别方法可得 A、B、D都能判定四边形 ABCD 是平行四边形，因 为有一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定是平形四边形，所以选 C 2已知四边形 ABCD 中 AC 与 BD 交于点 0，如果只给出条件“ABCD” ，那么还不能判 定四边形 ABCD 为平行四边形，给出以下 4 种说法，其中说法正确的是（ ） 如果再加上条件“BCAD”那么四边形 ABCD 一定是平行四边形 如果再加上条件“BADBCD” ，则四边形 ABCD 一定是平行四边形 如果再加上条件“AOCO”那么四边形 ABCD 一定是平行四边形 如果再加上条件“DBA=CA B” ，则四边形 ABCD 一定是平行四边
14、形 A和B和C和D和 分析：关于由 ABCD 知ABDCDB，如果用 ADBC 及 DBBD 一般地不能得到 ABDCDB 或ACBCAD 关于由 ABDC 知ABDCDB，如果BADBCD，再用 BDDB 可得ABD CDB，于是 ABDC，进而 ABDC关于由 ABCD 知OABOCD，OBAODC，若 AOOC 则AOBCOD 于是 ABDC，即 ABDC，故可得ABCD关于由DBA=CAB 知 OAOB，又 ABCD 知DBA=BDC，同理也会有 OCOD 且 OA 不一定等于 OC，如图 12- 1-28 所示就是一个反例解：综合上述知正确，故选 C随堂演练随堂演练 一、填空题 1过ABCD 的顶点 A、C 分别作对角线 BD 的垂直线，垂足为 E、F，则四边形 AECF 是 . 2延长ABC 的中线 AD 到 E，使 DEAD 则四边形 ABEC 是 四边形 3在四边形 ABCD 中A50欲使四边形为平行四边形，则B= ，C ，D . 4在四边形中，任意相邻两个内角互补，则这个四边形是 四边形 5如图 12-1-29，在ABCD 中，E、F 为 AB、CD 的中点，连结 DE、EF、BF 则图中共 有个平行四边形6在ABCD 中连结 BD 作 AEBD，CFBD，垂
