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1、1求解数列通项公式的常用方法求解数列通项公式的常用方法 数列是高考中的重点内容之一，每年的高考题都会考察到，小题一般较易，大题一般较 难。而作为给出数列的一种形式通项公式，在求数列问题中尤其重要。本文给出了求数 列通项公式的常用方法。 一一观察法观察法 例例 1：根据数列的前 4 项，写出它的一个通项公式： （1）9，99，999，9999，（2）K,17164,1093,542,211（3）K,52,21,32, 1（4）K,54,43,32,21（5）2，3，2，3， （6）1，0，-1，0，1，0，-1，0，（1）（2） （3） （4）110 n na;122nnnan;12 nan.1
2、) 1(1 nnan n观察各项的特点，关键是找出各项与项数 n 的关系。 二、二、定义法定义法 例例 2： 已知数列an是公差为 d 的等差数列，数列bn是公比为 q 的(qR 且 q1)的等 比数列，若函数 f (x) = (x1)2，且 a1 = f (d1)，a3 = f (d+1)，b1 = f (q+1)，b3 = f (q1)， (1)求数列 a n 和 b n 的通项公式； 解：(1)a 1=f (d1) = (d2)2，a 3 = f (d+1)= d 2， a3a1=d2(d2)2=2d， d=2，an=a1+(n1)d = 2(n1)；又 b1= f (q+1)= q2，
3、b3 =f (q1)=(q2)2，=q2，由 qR，且 q1，得 q=2，2213)2( qq bbbn=bqn1=4(2)n1 当已知数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求得首 项及公差公比。三、 叠加法（回忆等差数列通项公式的由来）叠加法（回忆等差数列通项公式的由来） 例例 3：已知数列 6，9，14，21，30，求此数列的一个通项。 解 易知, 121naann , 312aa , 523aa, 734aa , 121naann 各式相加得) 12(7531naanL)(52Nnnan一般地，对于型如类的通项公式，只要能)(1nfaann)()2() 1 (n
4、fffL进行求和，则宜采用此方法求解。例例 2 已知数列满足，求数列的通项公式。an1a1n2aa1n1n，an2解：由1n2aan1n得1n2aan1n则112232n1n1nnna)aa ()aa ()aa ()aa (aL1) 1n(2n) 1n(21) 1n( 12)2n() 1n(21) 112() 122( 1)2n(2 1) 1n(2 LL所以数列的通项公式为an2 nna评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而1n2aan1n1n2aan1n 求出，即得数列的通项公式。112232n1n1nna)aa ()aa ()aa ()aa (Lan例例 3 已知数列满足，求数列的
5、通项公式。an3a132aa1n n1n，an解：由132aan n1n得132aan n1n则112232n1n1nnna)aa ()aa ()aa ()aa (aL3) 1n()3333(23) 132() 132() 132() 132(122n1n122n1nLL所以1n32n31332annn评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，132aan n1n132aan n1n 进而求出，即得数列的通项公112232n1n1nna)aa ()aa ()aa ()aa (Lan 式。例例 4 已知数列满足，求数列的通项公式。an3a132a3a1n n1n，an解：两边除以，得132a3a
6、n n1n1n3，1nnn 1n1n 31 32 3a3a则，1nnn 1n1n 31 32 3a3a故3a)3a3a()3a3a()3a aa()aa3a(3a1 11 22 3n3n 2n2n 2n2n1n1n1n1n nn nn L333)31 32()31 32()31 32()31 32(22n1nnL1)31 31 31 31 31(3) 1n(222n1nnnL因此，n1n nnn 321 21 3n2131)31 (313) 1n(2 3a 则213213n32ann n评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，132a3an n1n1nnn 1n1n 31 32 3a3a进而
7、求出+，即得数列的)3a3a()3a3a()3a3a(3n3n 2n2n 2n2n 1n1n 1n1n nn 3a)3a3a(1 11 223ann通项公式，最后再求数列的通项公式。an四、四、叠乘法（回忆等比数列通项公式的由来）叠乘法（回忆等比数列通项公式的由来）例例 4：在数列中，=1, (n+1)=n，求的表达式。na1a1nanana解：由(n+1)=n得，1nana11 nn aann= 所以1aan12 aa23 aa34 aa1nn aa nnn11 43 32 21Lnan1一般地，对于型如=(n)类的通项公式，当的值可以求1nafna)()2() 1 (nfffL得时，宜采用
8、此方法。例例 5 已知数列满足，求数列的通项公式。an3aa5) 1n(2a1nn 1n，an解：因为，所以，则，3aa5) 1n(2a1nn 1n，0annn1n5) 1n(2aa则1 12232n1n1nn naaaaaaaaaaL35) 11 (25) 12(25) 12n(25) 11n(2122n1nL3523) 1n(n212)2n()1n(1nLL所以数列的通项公式为an!n523a2)1n(n 1n n 评注：本题解题的关键是把递推关系转化为，进而nn 1na5) 1n(2ann1n5) 1n(2aa4求出，即得数列的通项公式。1 12232n1n1nnaaa aa aa aa
9、Lan例例 6 （2004 年全国 15 题）已知数列满足an1123123naaaaaL，则的通项1(1)(2)nnanan 2n2!n1n1 an，解：因为)2n(a ) 1n(a3a2aa1n321nL所以n1n3211nnaa ) 1n(a3a2aaL所以式式得nn1nnaaa则)2n(a ) 1n(an1n则)2n( 1naan1n所以2 232n1n1nn naaa aa aaaL22a2!na34) 1n(nL由，取 n=2 得，则，又)2n(a ) 1n(a3a2aa1n321nL212a2aa12aa知，则，代入得1a11a2。2!nn5431anL评注：本题解题的关键是把递
10、推关系式转化为（n2） ，)2n(a ) 1n(an1n1naan1n进而求出，从而可得当 n2 时的表达式，最后再求出数列的2 232n1n1nnaaa aa aaLnaan通项公式。五、五、公式法公式法若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式nnSna nana求解。 211nSSnSannn nLLLLL例例 5：已知下列两数列的前 n 项和sn的公式，求的通项公式。nana（1）。 （2）13nnSn12 nsn解： （1）11111 Sa=3na1nnSS1) 1() 1() 1(33nnnn232 nn5此时，。=3为所求数列的通项公式。112Sana232 nn（2），当
11、时011 sa2n12 1) 1() 1(22 1nnnssannn由于不适合于此等式 。 1a )2(12) 1(0 nnnan注意要先分 n=1 和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一。2n例例 6. 设数列的首项为 a1=1，前 n 项和 Sn满足关系 na ), 4 , 3 , 2, 0(3)32(31LnttSttSnn 求证：数列是等比数列。 na解析：因为) 1 (), 4 , 3 , 2, 0(3)32(31LLLnttSttSnn所以)2(), 4 , 3 , 2, 0(3)32(321LLLnttSttSnn得：)2() 1 (所以，数列是等比数列。 na例例 1 已知数
12、列满足，求数列的通项公式。ann n1n23a2a2a1an解：两边除以，得，则，n n1n23a2a1n2 23 2a2ann 1n1n 23 2a2ann 1n1n故数列是以为首，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得2ann122 2a1123，所以数列的通项公式为。23) 1n(12annann n2)21n23(a评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，说明数n n1n23a2a23 2a2ann 1n1n列是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出，进而求出数列2ann 23) 1n(12ann的通项公式。an六、六、阶差法阶差法例例 7.已知数列的前项和与的关系是 na
13、nnSna，其中 b 是与 n 无关的常数，且。nnnbbaS)1 (111b求出用 n 和 b 表示的 an的关系式。解析：首先由公式：得： 211nSSnSannn nLLLLL), 2(3320)32(3), 4 , 3 , 2, 0(0)(32()311211Nnntt aaattantSStSStnn nnnnnnL（6)2()1 (1)1 (1121nbbabbabbannn1222 1) 1()1(1nnnbbabbabbLLLL1333 22 ) 1()1()1(nnnbbabbabb1111 22 ) 1()1()1( nn nn bbabbabb1121113211) 1() 1() 1(1 nnnnnnnnbbbb bbbbbbbabbaLL12)1 (nnnbbbbaL 1)1)(1 (12111bbbbbbnnnnLLLLL利用阶差法要注意：递推公式中某一项的下标与其系数的指数的关系，即 其和为。n七、七、待定系数法待定系数法例例 8：设数列的各项是一个等差数列与一个等
