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1、31 中值定理1第三章第三章 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用3 1 中值定理中值定理一、罗尔定理一、罗尔定理费马引理设函数 f(x)在点 x0的某邻域 U(x0)内有定义 并且在 x0处可导 如果对任意 xU(x0) 有f(x)f(x0) (或 f(x)f(x0) 那么 f (x0)0 罗尔定理罗尔定理 如果函数 yf(x)在闭区间a, b上连续 在开区间(a, b)内可导 且有 f(a)f(b) 那 么在(a, b)内至少在一点 使得 f ()0 简要证明 (1)如果 f(x)是常函数 则 f (x)0 定理的结论显然成立 (2)如果 f(x)不是常函数 则f(x)在(a b)内至
2、少有一个最大值点或最小值点 不妨设有一最大 值点(a b) 于是 0)()(lim)()( xfxfff x 0)()(lim)()( xfxfff x所以 f (x)=0.罗尔定理的几何意义 二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 如果函数 f(x)在闭区间a b上连续 在开区间(a b)内可导 那么在(a b)内 至少有一点(a0 或x0)或 xx x (x0)应用拉格朗日中值公式 得f(xx)f(x)f (xx)x (01) 如果记 f(x)为 y 则上式又可写为yf (xx)x (01) 试与微分 d yf (x)x 比较 d y f (x)x 是函数
3、增量y 的近似表达式 而 f (xx)x 是函数增量y 的精确表达式 作为拉格朗日中值定理的应用 我们证明如下定理 定理定理 如果函数 f(x)在区间 I 上的导数恒为零 那么 f(x)在区间 I 上是一个常数 证 在区间 I 上任取两点 x1 x2(x1x2) 应用拉格朗日中值定理 就得f(x2)f(x1)f ()(x2 x1) (x1 x2) 由假定 f ()0 所以 f(x2)f(x1)0 即f(x2)f(x1) 因为 x1 x2是 I 上任意两点 所以上面的等式表明 f(x)在 I 上的函数值总是相等的 这就是说 f(x) 在区间 I 上是一个常数 例例 2 证明当 x0 时 xxxx
4、)1ln(1证 设 f(x)ln(1x) 显然 f(x)在区间0 x上满足拉格朗日中值定理的条件 根据定理 就有f(x)f(0)f ()(x0) 0x。由于 f(0)0 因此上式即为xxf11)(1)1ln(xx又由 0x 有xxxx)1ln(1三、柯西中值定理三、柯西中值定理设曲线弧 C 由参数方程31 中值定理3(axb) )()( xfYxFX表示 其中 x 为参数 如果曲线 C 上除端点外处处具有不垂直于横轴的切线 那么在曲线 C 上必 有一点 x 使曲线上该点的切线平行于连结曲线端点的弦 AB 曲线 C 上点 x处的切线的斜 率为 )()( Ff dXdY 弦 AB 的斜率为 )()()()( aFbFafbf 于是 )()( )()()()( Ff aFbFafbf 柯西中值定理柯西中值定理 如果函数 f(x)及 F(x)在闭区间a b上连续 在开区间(a b)内可导 且 F (x) 在(a b)内的每一点处均不为零 那么在(a b)内至少有一点 使等式)()( )()()()( Ff aFbFafbf 成立 显然 如果取 F(x)x 那么 F(b)F(a)ba F (x)1 因而柯西中值公式就可以写成 f(b)f(a)f ()(ba) (ab) 这样就变成了拉格朗日中值公式了
