《三 等价无穷小与取对数法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《三 等价无穷小与取对数法（2页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、三、等价无穷小替换公式 正确地使用等价无穷小替换，将会快速化繁为简，得出结果，是求极限最得力的工具。 (请特别注意：自变量？，无穷小？因子？)例 11 =1。 得证。 0ln(1)lim xx x10limln(1)x xx 10lnlim(1)x xx lneln(1)xx说明说明：上面运算交换了交换了求极限与求对数的运算次序运算次序,这一步的合理性在以后的文档中给出 证明_规则是:只要过程中没有出见“无意义”的情况,结果都是正确的！ 由定理定理 5 5 及， 可以直接得到等价无穷小关系式， (ln(1+x)=t,x=et-1 是 ln(1+x)的反函数)。例 12 令令 = t ,x0 时
2、,t0, 1+1axt 的反函数 x =-1【,】,1ln(1 ) tae+1ln(1 ) t at a =1, 【x t/a】 得证。 0(1) 1lim axx ax0lim( / )tt a t a下面将多用箭头演算式中,为了简洁,用符号“#”表示原题中去掉极限运算后的函数式。例 7 又一解法: 【-2x0, 】=-1。 01 21lim xx x1 20( 2 )lim xx x例 13 ；y=#【o/x】【】=。2lim (1) xxxx 2(1 1/)1x xx 2 211()2xx1 2例 14 ；y=#【】=。22201 coslimsinxx xx221 2 22()x x
3、x1 2有界量与无穷小之积仍然是无穷小。简单标记为Mo例 15 。解：原式=0 【Mo,|sinx|1,注意 sinx 不是无穷小！】 。sinlim xx x10x例 16 。解：=0【Mo,|arctanx|/2】 。arctanlim xx xarctanlim xx x四、取对数法。简记为: 对 ； 该方法有以下特点: 1) 冪指函数当 x&时,若 u1,v这时称为型未定式未定式。( ) ( )vv xy uu x12) 解决这一类求极限的问题,都有相当的难度！但是,本方法却是套用一个简单的模式, 几乎可以心算得到结果,不用复杂的技巧,在化简中也不容易发生错误！ 3) 本方法只要记住名
4、称就不会忘记该怎么计算。4) 求解原理及步骤: 对于及 u1,v；设 u=1+,=u-1 是无穷小。( ) ( )vv xy uu x先取对数 lny =vlnu =vln(1+),再求 x&时的极限 lny【】v【结果 W】 。 再根据情况进行分类:最后直接给出答案就行了: =或 y。 &lim xy WeWe例 17 计算 。32lim(1)x xx解：设 y=,lny=3xln(1-2/x)【】3x(-2/x)=-6，y。32(1)x x6e例 18 计算 。21 1lim()xx xx 解：设 y=#=,lny=-2x【】-2x=4,y。22 1(1)x x 2 1ln(1)x2 1()x4 1x x4 (1 1/ )x xx4e例 19 计算 。arctan0lim(cos )xxx 解：y=#,lny=0,y=1【】 。22arctan ln1 (cos 1)(cos 1)()xxxxxx 0e例 20 计算 。 0lim(2sin)2xxxxe 解: y=#, lny=【】2ln1 (2sin1)xx ex 2(2sin1)xx ex 【拆】【】=6。y。4sin2(1) 4xxe x42xx xx6e掌握了方法后，这类问题能够用半心算方式快速求解。W ：a - / 0极限不存在y 的极限 ：ea0极限不存在
