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1、高数小结论高数小结论1 等价无穷小（等价无穷小（x0）重重要要的的等等价价无无穷穷小小替替换换当 x0 时， sinxx tanxx arcsinxx arctanxx 1-cosx1/2*（x2） （ax）-1x*lna (（ax-1)/xlna) （ex）-1x ln(1+x)x (1+Bx)a-1aBx (1+x)1/n-1（1/n）*x loga(1+x)x/lna 值得注意的是，等价无穷小一般只能在乘除中替换，在加减中替换有时 会出错（加减时可以整体代换，不能单独代换或分别代换）2200 |22 1sintan1 cos2xxxxxxx时时3lim(1)lim1,limlimVUVU
2、VUe 如果则4. ( )()( )() 22f xfxf xfx表示偶函数，表示奇函数5:( ) ( )limlim ( ) xxL ykxbyf x f xkbf xkxx直线为函数的渐近线的充分必要条件为：这里的包括和6 常见函数的导数常见函数的导数 (记熟后解题快记熟后解题快)2111()( )()(1 ln )2xxxxxxxxx 7.关于关于 n 阶导数的几个重要公式阶导数的几个重要公式( )( )( )( )( )( )( )( ) 11 ( )( ) 1(sin )sin()(cos )cos()22(sin)sin()(cos )cos()22 ()!()()(ln ) 1!
3、()()()1( 1)!( 1)(1)!()ln()()()nnnnnnnxnxnxnxn nnn nn nnnnxxxxnnkxkxxxxnaaa neetxtxnntxtxtxtx8. 泰勒公式泰勒公式(用来求极限用来求极限)3524 652323 332333 333sin()cos1()3!5!2!4!1()ln(1)()2!3!23 (1)(1)(2)(1)1()2!3! 1tan()cot( )33 11arcsin()arccos626xaxxxxxxo xxo xxxxxexo xxxo xa aa aaxaxxxo xxxxxo xxo xxxxxo xxxx 333 333
4、33()arctan()3 21tan(tan )()sin(sin )()33o xxxxo xxxxo xxxxo x9 重要不定积分重要不定积分(22)2(21)21(21)(21)(21)sec(sec )(sec )(tan ) (sin )cos(sin )(sin )(cos )(tan )nnnnnnndxxdxxdxxdx xxxxxx2(21)(21)1 (cot ) (cos )sin(cot )nnndxxdxxxx 1tan1 cos2xdxCx12tansec1 sin1tan2dxxxCCxx222(sec )(tan )(tan )(tan )(tan )(se
5、c )1 (tan )nnnxdxxdxxdxxxx222(csc )(cot )(cot )(cot )(cot )(csc )1 (cot )n nnxxdxxdxxdxxxtanln |cos|cotln |sin|xdxxCxdxxC secln |sectan|cscln |csccot|xdxxxCxdxxxC 221(sin )sin224 1()sin224xxdxxCxcoxdxxC22(tan )tan(cot )cotxdxxxCxdxxxC 22222222221arctanln |1ln |2arcsindxxCxaaa dxxxaC xa dxxaCxaaxa dx
6、xCaax 2 22222 222222arcsin22ln |22axxax dxaxCa axxa dxxxaxaC 2222cos( cossin)sin( sincos)ax axax axeebxdxabxbbxCab eebxdxabxbbxCab10 y=sinwx(w0)它的半个周期与它的半个周期与 x 轴围成的面积为轴围成的面积为 s=2/w把它的半个周期分成三等分把它的半个周期分成三等分,中间的那部分面积为中间的那部分面积为 s=1/w显然显然 s=2s03 2 32sin1sinwwwSwxdxwSwxdxw11. 定积分部分定积分部分 （1）如果函数）如果函数 f（x）
7、在）在-a,a上连续上连续000(f( )( ) ( )() 2( )( )aaaaxf x dxf xfx dx f x dxf x如果为奇函数如果为偶函数（2）22cos0sin0(cos)(sin)kxdxkxdxkxdxkxdx(3) ,cossin0coscos0sinsin0k lNklkxlxdxkxlxdxkxlxdx 设且则(4). 设设 f(x)是以周期为是以周期为 T 的连续函数的连续函数2 020(1).( )( )( )(2).( )( )Ta TTTaa nTTaf x dxf x dxf x dxf x dxnf x dx(5). 特殊积分特殊积分20022022
8、002 1(0)sin(0,0)cos(0,0)sinx 2uaxptpteduedxaa wewtdtpwpw pewtdtpwpwdxx(6). 关于三角函数定积分简化关于三角函数定积分简化( 注意：注意：f(x)是定义在是定义在0,1上的函数上的函数)2222 000022 00022 0000 2 0(1)(sin )(cos )(sin )(cos )(2)(sin )2(sin )2(cos )(sin )2(sin )2(cos )0()(3)(cos ) 2(cos )(4)(sinnnnnnnnfx dxfx dxxdxxdxfx dxfx dxfx dxxdxxdxxdxn
9、xdx xdx 特别的特别的为奇数（n为偶数）20 2 020 2 0 22002 00() 4(sin )0()(5)(cos ) 4(cos )(6)(sin )(cos )1352(7)(sin ).()243 1351.()242 2(nnnnnnnnxdx xdxnxdx xdxxdxxdxnnnxdxnnnn nnnnnnn 为奇数（n为偶数）为奇数（n为偶数）为正奇数为正偶数008)(sin )(sin )2xfx dxfx dx11. 图像分段的函数不一定是分段函数（如图像分段的函数不一定是分段函数（如 y=1/x） 分段函数的图像也可以是一条不断开的曲线（如分段函数的图像也可
10、以是一条不断开的曲线（如 y=|x|）12. 如何证明一个数列是发散的？如何证明一个数列是发散的？（1）只要找到的两个子数列收敛于不同的值）只要找到的两个子数列收敛于不同的值（2）找一个发散的子数列）找一个发散的子数列 13. 必记极限必记极限00!(1)lim0(2)lim1(3) limln0(4) lim1nnnnxxxn nnxxx14.函数函数 f(x)在在a,b有定义，且有定义，且|f(x)|在在a,b上可积，此时上可积，此时 f(x)在在a,b上的积分不一定存在上的积分不一定存在 列如：列如：1( )-1xf xx为有理数 为无理数15 注意注意( )0( )(, )( )( )
11、( ,)( )( );( )faf xaxaaf xf axa af xf af xU 若，只能得到结论：在点严格增加。即有有但不能得到结论：在（a, ）内单调增大16 21,2设f (x)=| x-a| g(x), 其中g(x)在x=a处连续，则f (x)在x=a处可导g(a)=0应用：求函数f (x)=| x(x-1)(x-2)| (x -3x+2)的可导的点显然为17. 函数取得极值的第二充分条件函数取得极值的第二充分条件(1) 00000( ) 0( ) 00( ) 000( )()()()()0()0(2)(1)2()0()(2)2()0()()nnnnf xnfffffnnkffn
12、kfffxxxxx x xx xx xL L设在处阶可导，且且为极大值且为极小值(3)n=2k+1不是极值点18. 拐点的第二充分条件拐点的第二充分条件0(1)( ) 000000( )()()()0()0(,()nnf xnfffffx xxxx xxL L设在处阶可导（n2且为奇数）若，则为拐点19 .用求导法判断数列的单调性用求导法判断数列的单调性 12121212(),( )(2)( )nnnnnnnf AAIf xIAAAAAAf xIAAZ设A若在区间上单调递增则：(1)注意：若在区间上单调递减则：与两数列具有相反的单调性20. ( )0( )fxfx题目中如果出现单调212ln(
13、1)(0)xxxx:22 无穷小小谈无穷小小谈0(1)0()(2)0()()()()(3)0()()(4),0()()()()()mnmnnm m n nmnm nmnm nxnmxo xnmo xo xo xo xnmo xx om nxo xo xo xo xo xgg当时，有当当当注意：两个不可以相除当23 无穷个无穷小之和与无穷个无穷小之积一定都是无穷小吗？无穷个无穷小之和与无穷个无穷小之积一定都是无穷小吗？11111lim()1()0(,1,2,3)! 1 2 3( !)1!( !)nnnnnnnnnnnnn knkn nn n n nnn L LL LL L哈哈！显然都是N O之和
14、：其中有无穷多个之积：取其中显然24反三角反三角1(1)arctanarctan2,02(2)arcsin(sin ) ,2xxtt t tt 25 21212 min12( )|1( )()24aaA bxb dxaaAbaa求的最小值结论：当b时26. ()02baabxdx2710ln1xdx 281100119900(1)(1)(1)(1)mnnmxx dxxxdxxx dxxx dx 作用：这下就好求了290000( )()1( ) ( )()2 0( )()1( ) ( )()2bbaabbaabbbbf x dxf abx dxf x dxf xf bx dxaf x dxf bx dxf x dxf xf bx dx若f (x)在 a, b 上可积则特别的当时，有如下推论：（1）（2）3022000
