椭圆中的定点定值问题

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1、1椭圆中的定点、定线、定值问题椭圆中的定点、定线、定值问题例 1 （2012 盐城二模）已知椭圆的离心率为, 且过点, 记椭22221(0)xyabab2 22 1(, )22P圆的左顶点为.A (1) 求椭圆的方程； (2) 设垂直于轴的直线 交椭圆于两点, 试求面积的最大值；yl,B CABC(3) 过点作两条斜率分别为的直线交椭圆于两点, 且, 求证: 直线恒过一A12,k k,D E122k k DE个定点.解:(1)由,解得,所以椭圆的方程222222 2 11124c aab abc 12 2 2 2abc C为2221xy(2)设,则( , )B m n(, )Cm n12| |

2、 |2ABCSmnmn又, 所以2222122 22 2 | |mnm nmn,2| |4mn当且仅当时取等号从而, 即面积的最大值为|2 |mn2 4ABCSABC2 4 (3)因为 A(1,0),所以,12:(1),:(1)AB yk xAC ykx由,消去 y,得,解得 x=1 或,1 22(1)21yk xxy 2222 111(12)4210kxk xk 2 1 2 11 2 12kxk点 同理,有,而,2 11 22 111 22(,)1212kkBkk 2 22 22 221 22(,)1212kkCkk 122k k 直线 BC 的方程为,2 11 22 1184(,)88kk

3、Ckk 11 222 1111 2222 1111 22 1142 28121 2()81 21212 812kk kkkkyxkkkk kk即,即 2 111 222 111231 2()122(2)12kkkyxkkk11 22 1135 2(2)2(2)kkyxkk所以,则由,得直线 BC 恒过定点2 112(35)0ykxky0 350y x 5(,0)3(注: 第(3)小题也可采用设而不求的做法,即设,然后代入找关系)1122( ,),(,)D x yE xy相关题：（江苏相关题：（江苏 20102010 年年 1616 分）分）在平面直角坐标系xoy中，如图，已知椭圆15922 y

4、x的左、右顶点为A、B，右焦点为 F。设过点 T（mt,）的直线 TA、TB 与椭圆分别交于点 M),(11yx、22N( x ,y )，其中 m0,0, 021yy。（1）设动点 P 满足22PFPB4,求点 P 的轨迹；（2）设31, 221xx，求点 T 的坐标；（3）设9t,求证：直线 MN 必过 x 轴上的一定点（其坐标与 m 无关） 。【答案答案】解：（1）设点 P（x，y） ，则：F（2，0） 、B（3，0） 、A（-3，0） 。由22PFPB4，得2222(2)(3)4,xyxy 化简得9 2x 。故所求点 P 的轨迹为直线9 2x 。（2）将31, 221xx分别代入椭圆方程

5、，以及0, 021yy得：M（2，5 3） 、N（1 3，20 9） 。直线 MTA 方程为：03 52303yx，即113yx，直线 NTB 方程为：03 2010393yx ，即55 62yx。联立方程组，解得：7 10 3xy，所以点 T 的坐标为10(7,)3。（3）点 T 的坐标为(9,)m直线 MTA 方程为：03 093yx m，即(3)12myx，直线 NTB 方程为：03 093yx m，即(3)6myx。分别与椭圆15922 yx联立方程组，同时考虑到123,3xx ，解得：2223(80)40M(,)8080mm mm 、2223(20)20N(,)2020mm mm。A

6、P xyO2当12xx时，直线 MN 方程为：222222222203(20) 2020 40203(80)3(20) 80208020mmyxmm mmmm mmmm令0y ，解得：1x 。此时必过点 D（1，0） ；当12xx时，直线 MN 方程为：1x ，与 x 轴交点为 D（1，0） 。所以直线 MN 必过x轴上的一定点 D（1，0） 。例 2 （2012 南京二模）如图，在平面直角坐标系 xoy 中， 椭圆 C：22221(0)xyabab的离心率为，以原点23为圆心，椭圆 C 的短半轴长为半径的圆与直线 x-y+2=0 相 切 （1）求椭圆 C 的方程； （2）已知点 P(0,1)

7、,Q(0,2),设 M,N 是椭圆 C 上关于 y 轴对 称的不同两点，直线 PM 与 QN 相交于点 T。求证：点 T 在椭 圆 C 上。17 （本小题满分 14 分）解：解：（1）由题意知b 3 分2因为离心率 e ，所以 c ab a1 2所以a2 2所以椭圆C的方程为1 6 分x2 8y2 2（2）证明：由题意可设M，N的坐标分别为(x0，y0)，(x0，y0)，则直线PM的方程为yx1， y01 x0直线QN的方程为yx2 8 分y02 x0证法一 联立解得x，y，即T(，) 11 分x0 2y033y04 2y03x0 2y033y04 2y03由1 可得x0284y02x02 8

8、y02 2因为 ()2 ()21 8x0 2y031 23y04 2y03x024(3y04)2 8(2y03)21，84y024(3y04)2 8(2y03)232y0296y072 8(2y03)28(2y03)2 8(2y03)2所以点T坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上 14 分证法二 设T(x，y)联立解得x0，y0 11 分x 2y33y4 2y3因为1，所以 ()2 ()21x02 8y02 21 8x 2y31 23y4 2y3整理得(2y3)2，所以12y84y212y9，x2 8(3y4)2 2x2 89y2 2即1x2 8y2 2所以点T坐标满足椭圆C的方程，即点T在

9、椭圆C上 14 分相关题：相关题： （20122012 年北京西城一模理年北京西城一模理 1919）已知椭圆的离心率为，定点:C22221 (0)xyabab5 3，椭圆短轴的端点是，且.(2,0)M1B2B12MBMB（）求椭圆的方程；C（）设过点且斜率不为的直线交椭圆于，两点.试问轴上是否存在定点，使M0CABxP平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. PMAPBP解：解：（）由 ， 得 . 222 2 22519abbeaa 2 3b a依题意是等腰直角三角形，从而，故. 12MB B2b 3a 所以椭圆的方程是. C22 194xy（）设，直线的方程为. 11( ,)A x

10、y22(,)B xyAB2xmy将直线的方程与椭圆的方程联立，ABC消去得 . x22(49)16200mymy所以 ，. 12216 49myym12220 49y ym 若平分，则直线，的倾斜角互补，PFAPBPAPB所以. 0PBPAkk3设，则有 .( ,0)P a12120yy xaxa将 ，代入上式，112xmy222xmy整理得 ，1212122(2)()0(2)(2)my yayy mya mya所以 . 12122(2)()0my yayy将 ，代入上式，12216 49myym12220 49y ym整理得 . ( 29)0am由于上式对任意实数都成立，所以 .m9 2a

11、综上，存在定点，使平分.9( ,0)2PPMAPB例例 3 3 （2011 重庆理）如图，椭圆的中心为原点，离心率，一条准线的方程为Oex （）求该椭圆的标准方程；（）设动点满足：，其中是椭圆上的点，直线与的斜率之积为POPOMONuu u ruuuruuu r ,M NOMON，问：是否存在两个定点，使得为定值？若存在，求的坐标；若,F FPFPF,F F不存在，说明理由解：（I）由22,2 2,2caeac解得，故椭圆的标准方程为2222,2,2acbac22 1.42xy（II）设，则由1122( , ),(,),(,)P x y M x yN xy得2OPOMONuuu ruuuu r

12、uuu r112212121212( , )(,)2(,)(2,2),2,2.x yx yxyxxyyxxxyyy即因为点 M，N 在椭圆上，所以2224xy，2222 112224,24xyxy故222222 121212122(44)2(44)xyxxx xyyy y2222 112212121212(2)4(2)4(2)204(2).xyxyx xy yx xy y设分别为直线 OM，ON 的斜率，由题设条件知,OMONkk因此12121,2OMONy ykkx x 121220,x xy y所以22220.xy所以 P 点是椭圆上的点，设该椭圆的左、右焦点为 F1，F2，则由椭圆的定义

13、22221(2 5)( 10)xy|PF1|+|PF2|为定值，又因，因此两焦点的坐标为22(2 5)( 10)10c 12(10,0),( 10,0).FF相关题：（2011 南通三模）(本题满分 16 分)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆(ab0)的离心率为，其焦点在圆x2+y2=1 上22221xy ab2 2(1)求椭圆的方程；(2)设A，B，M是椭圆上的三点(异于椭圆顶点)，且存在锐角，使cossinOMOAOBu u u u ru u u ru u u r(i)求证：直线OA与OB的斜率之积为定值；4(ii) 求证：OA2+OB2为定值。思路分析:本题第(2)问中，可以证明线段AB的中点恒在定椭圆x2+2y2=1 上后一问与前一问之间具有等价关系解解：(1)依题意，得 c=1于是，a=，b=1 所以所求椭圆的方程为 22 212xy(2) (i)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则， 2 21 112xy2 22 212xy又设M(x，y)，因，故 cossinOMOAOBu u u u ru u u ru u u r1212cossin ,cossin .xxxyyy 因M在椭圆上，故2 212 12(cossin )(cossin )12xxyy整理得22 22221212 1