跟波利亚学解题

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1、byby 刘未鹏刘未鹏 onon Friday,Friday, AprilApril 18,18, 20082008 21:3721:37 - - 7,1557,155 viewsviews - - 7 7 CommentsComments跟波利亚学解题跟波利亚学解题(rev#3(rev#3一些故事一些故事波利亚在他著名的How To Solve It中讲了这么一个有趣的心理学实验：用一个缺了一条边的正方形围栏围住一只动物（狗、黑猩猩、母鸡、人类婴儿），在围栏的另一侧放上一个被试很想要的物体（对动物 来说是食物，对人类婴儿来说是有趣的玩具），然后观察他们各自的行为。发现，狗在扒着围栏吠了几声发

2、现无法通过的时候，不久便 学会了从围栏的缺口的那一边绕出去，母鸡则朝着围栏一个劲的扑腾，不会想到绕弯子。此外，人类婴儿很快就学会了绕过障碍；而黑 猩猩也学得很快（黑猩猩是和人类最近的灵长类亲属）。这个实验有力的证明了，动物解决问题的能力是进化而来的、天生的、硬编码 在大脑的神经元网络里面的。事实上，不仅解决问题方面是如此，人类整个认知系统中绝大部分功能从本质上都是硬编码的，能在后天习得的只是“程度”的不同， 而不是“本质”的不同。动机心理学中有一个令人印象深刻的一个例子： 先给小鼠喝某种甜味水（称为“可口水”），然后用 X 射线促使其产生反胃感，能使小鼠形成对这种味道的水的厌恶和回避（经典条件

3、 反射）。但如果不是在水里面加味道，而是在它喝水的时候伴随强光刺激（即让它喝“光噪水”），然后同样刺激其反胃，却无法使它 养成对“光噪水”的厌恶。另一方面，如果不是促使其反胃（身体不适），而是用电击惩罚，则它无法形成对“可口水”的厌恶，而是 形成对“光噪水“的厌恶。显然，小鼠对事件之间的关联的归因也具有着某种硬编码好了的倾向。在这个例子中，老鼠的大脑里面硬编 码了“将身体不适（内部事件）归因于食物而不是闪光”、”将电击（外部事件）归因于闪光而非食物” 这种逻辑。而人类也有类似的归因倾向。金出武雄在像外行一样思考，像专家一样实践中也提到，他认为人类的直觉 实际上也是计算，捷径式的计算，只不过由于

4、我们目前还不了解人类大脑内神经元的全部结构（或者说“感性”的物质基础） 这才把“感性”当成人类所特有的；金出武雄的这种观点跟心理学中的认知捷径不谋而合。实际上，越是高等的动物，大脑 中用于处理特定问题的硬编码神经元回路就越是多和复杂。例如，达尔文早在人类和动物的情绪表达中就先知 先觉的提出了动物情绪的适应价值；Mean Genes列出了用于解决生存繁衍问题的特定认知倾向；决策与判断 里面则列出了人类在解决更具一般性的决策问题中的一些系统性的、可预测的认知偏差；而Predictably Irrational更是把这个认识提高到方法论的层面，主张人类的非理性实际上是完全可预知的。事实上，所有这些观

5、点 都建立在一个基本事实的基础上，即人类大脑中的千亿神经元是由在漫长的进化过程中被塑造出来的分工明确的、ad hoc 的一组子系统构成的。越是高等的动物，解题能力越高，猩猩能够进行某种顿悟，在脑子里就构想出通过堆放墙角的箱子来帮助获取高高吊着的香 蕉；而出于进化之树 顶端的人类则具有非比寻常的大脑，在人类整个进化的过程中，解决问题的能力一直在进化，所以说人脑中的神经 元最重要的部分是为了解题而存在的也不为过。不同的人只是在解题能力程度上不同，并没有本质上能与不能的差异。波利亚在How To Solve It中另外还举了下面这个例子：一个原始人站在一条小溪前，他想要越过这条小溪，但溪水经过昨天一

6、夜，已经涨了上来；因此他面临一个问题：如何越过这条小溪。 他联想起以前曾经从一棵倒下并横在河上的树木上走过去，于是他的问题变成了如何找到这样一颗倒下并横在溪流上的树木。他环顾四 周，发现溪流上没有这样的横着的树木，但他发现周围倒是有不少生长着的树木；于是问题再次变成了：如何使这些树木躺到溪流上。在这个想像的故事中我们看到了一个问题是如何被一步步归约的：首先，原始人通过对一个已知的类似问题的联想认识到一个重要的性 质：如果有一棵树横在河上，我就可以借助这棵树过河。这就将一个无法直接解决的问题转化为了一个新的、已知的、并容易解决的问 题。值得注意的是这里“联想”是极其重要的一个环节，联想可以将手上

7、的问题与已知的类似问题联系起来，并从后者中吸取能够利用 的方法。联想也能够将与问题有关的定理或性质从大脑的知识系统中提取出来。基本上，如果一个联想能够得到某个性质，而这个性质 能够或者将问题往上归约一层，或者将条件往下推导一层，这个联想就是有用的。事实上，如果你仔细注意以下解题的过程，你也许会 发现，所有的启发式思维方法（heuristics）实质上都是为了联想服务的，而联想则是为了从我们大脑的知识系统中提取出有价值的 性质或定理，从而补上从条件到结论、从已知到未知之间缺失的链环。一段历史一段历史实际上，人类自从进入理性文明以来，不仅在不断的解题，还在不断的对自身的解题方法进行反省和总结。在这

8、条路上，有一个真正光 荣与辉煌的梦想，那就是发现人类解题的所有一般性法则，并借此建造出一台能够解决人类能够解决的所有问题的一般解题机。 与物理中的建造永动机不一样，这个梦想并非遥不可及的，自从古希腊哲学家对人类心智的反省思考以来，许多著名的数学和哲学家为 此建造了阶梯，Pappus，亚历山大学派最后一位伟大的几何学家，就曾在他恢弘的八卷本数学汇编中描述了其中的一种法则，他 将它称为“分析与综合”，大意如下：首先我们把需要求解的问题本身当成条件，从它推导出结论，再从这个结论推导出更多的结论，直到某一个点上我 们发现已经出现了真正已知的条件。这个过程称为分析。有了这条路径，我们便可以从已知条件出发

9、，一路推导到 问题的解。波利亚在他的三卷本中把这种做法叫做 Working Backwards（倒过来解）。笛卡尔也曾经试图将人类思维的规则总结为 36 条（最终完成了21 条）。莱布尼兹，现代计算机实质上的发 明者，也说到：在我看来，没有什么能比探索发明的源头还要重要，它远比发明本身更重要。再后来，捷克数学家波尔查诺也试图总结人类思维的本质规律，他在他的著作科学的理论中写道：我根本不奢望自己能够提供任何超于其他天才所使用过的科学探索方法之外的新方法，从这个意义上，你别指望能在书中看 到什么新的东西。但是，我会尽我的全力去总结所有伟大的思想者们共有的、思维的原则和方法，我认为即便是他们自己在

10、思考的时候也未必全都意识到自己在使用什么方法。再后来，就到了近代，随着科学技术的进步，心理学最活跃的子学科认知科学开始辉煌起来，人类开始向思维 乃至自我意识的物质基础发起进攻。两位多才多艺的计算机科学家兼认知科学家，Herbert Simon（另外还是经济学家） 和Allen Newell写出了世界上第一个一般性解题机的程序（GPS），虽然 GPS 只能解决很狭窄的一类问题，但这是 第一个将“问题解决策略”和“知识”分离开来的程序。显然，在知识之外，人类的思维是有着一些一般性的指导规则的。 事实上，波利亚在数学与猜想中写道，欧拉是最重数学思维的教学的，欧拉认为如果不能把解决数学问题背后的思维过

11、程教给学生 的话，数学教学就是没有意义的。一些方法一些方法这些一般性的思维方法，就是波利亚用了整整三本书，五卷本（How To Solve It、数学的发现、数学与猜想）来试图阐明的。波利亚的书是独特的，从小到大，我们看过的数学书几乎无一不是欧几里德式的：从定义到定理，再到推论。是 属于“顺流而下”式的。这样的书完全而彻底的扭曲了数学发现的真实过程。举个例子，证明与反驳：数学发现的逻辑 在附录一中讲了一个非常有趣的例子：柯西当年试图将函数的连续性从单个函数推广到无穷级数上面去，即证明由无穷多个连续函数构 成的收敛级数本身也是一个连续的函数，柯西给出了一个巧妙的证明，似乎漂亮地解决了这个问题。然

12、而傅立叶却给出了一个噩梦般的 三角函数的收敛级数，它的和却并不是连续的。这令柯西大为头疼，以至于延迟了他的数学分析教程的出版好些年。后来，赛德尔解决 了这个问题：原来柯西在他看似无懈可击的证明中非常隐蔽（他自己也不知觉的情况下）引入了一个潜在的假设，这个假设就是后来被 称为的“一致收敛”条件。当时我看到这里就去翻我们的数学分析书，发现“一致收敛”这个概念第一次出现的时候是这样写的：定义： 一致收敛所以说，从这个意义上，数学，确定性的丧失从历史的角度再现了真实的数学发展过程，是一本极其难得的好书。而事实上，从真实的数学 历史发展的角度去讲授数学，也是数学教学法的最佳方法。不过，数学，确定性的丧失

13、的弱点是并 没有从思维的角度去再现数学发现的思维过程，而这正是波利亚所做的。总结波利亚在书中提到的思维方法，尤其是How To Solve It中的启发式思考方法，有这样一些：时刻不忘未知量时刻不忘未知量（即时刻别忘记你到底想要求什么，问题是什么。）莱布尼兹曾经将人的解题思考过程比喻成晃筛子， 把脑袋里面的东西都给抖落出来，然后正在搜索的注意力会抓住一切细微的、与问题有关的东西。事实上，要做到能够令注意 力抓住这些有关的东西，就必须时刻将问题放在注意力层面，否则即使关键的东西抖落出来了也可能没注意到。 用特例启发思考用特例启发思考。一个泛化的问题往往给人一种无法把握、无从下手、或无法抓住里面任

14、何东西的感觉，因为条件太泛， 所以看起来哪个条件都没法入手。一个泛化的问题往往有一种 “不确定性”（譬如元素的个数不确定，某个变量不确定等等）， 这种不确定性会成为思维的障碍，通过考虑一个合适的特例，我们不仅使得问题的条件确定下来从而便于通过试错这样的手法 去助探问题的内部结构，同时很有可能我们的特例中实质上隐藏了一般性问题的本质结构，于是我们便能够通过对特例的考察 寻找一般问题的解。 反过来推导反过来推导。反过来推导是一种极其重要的启发法，正如前面提到的，Pappus 在他的宏篇巨著中将这种手法总结为解题的 最重要手法。实际上，反向解题隐含了解题中至为深刻的思想：归约。归约是一种极为重要的手

15、法，一个著名的关于归约的笑 话这样说：有一位数学家失业了，去当消防员。经过了一些培训之后，正式上任之前，训练的人考他：如果房子 失火了怎么办？数学家答出了所有的正确步骤。训练人又问他：如果房子没失火呢？数学家答：那我就把房子点 燃，这样我就把它归约为了一个已知问题。人类思维本质上善于“顺着”推导，从一组条件出发，运用必然的逻 辑关系，得出推论。然而，如果要求的未知量与已知量看上去相隔甚远，这个时候顺着推实际上就是运用另一个 启发式方法试错了。虽然试错是最常用，又是也是最有效的启发法，然而试错却并不是最高效的。对于 许多题目而言，其要求的结论本身就隐藏了推论，不管这个推论是充分的还是必要的，都很

16、可能对解题有帮助。 如果从结论能够推导出一个充要推论，那么实际上我们就将问题进行了一次“双向”归约，如果原问题不容易解 决，那么归约后的问题也许就容易解决了，通过一层层的归约，让逻辑的枝蔓从结论上一节节的生长，我们往往 会发现，离已知量越来越近。此外，即便是从结论推导出的必要非充分推论（“单向”归约），对问题也是有帮 助的任何不满足这个推论的方案都不是问题的解：譬如通过驻点来求函数的最值，我们通过考察函数的最值 （除了函数边界点外），发现它必然有一个性质，即在这个点上函数的一阶导数为 0，虽然一阶导数为 0 的点未 必是最值点，但我们可以肯定的是，任何一阶导数不为 0 的点都可以排除，这就将解空间缩小到了有穷多个点，剩下的只要做 做简单的排除法，答案就出现了。再譬如线性规划中经典的单纯形算法（又见Algorithms），也是通过对结论的 考 察揭示出只需遍历有限个顶点便必然可以到达最值的。此外很多我们熟知的经典题目也都是这种思路的典范，譬如How T