实变函数期中复习题

《实变函数期中复习题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《实变函数期中复习题（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、华中师范大学华中师范大学 20132014 学年第一学期学年第一学期 实变函数期中复习题实变函数期中复习题 一、 判断题（判断正误， 正确的请简要说明理由， 错误的请举出反例） 1、 若( )nfx（1n ，2，） 和( )f x都为可测集E上的可测函数， 且lim( )( )nnfxf x ，. .ae于E，则( )( )nfxf x，xE。 2、设( )nfx（1,2,n ）和( )f x都为0,1上的可测函数，且( )( )nfxf x. .ae于0,1，则( )( )nfxf x于0,1 3、若( )f x是0,1上的可测函数，则0 ，存在闭集0,1F ，使得0,1mF，( )f x是

2、F上的连续函数。 4、设( )nfx是0,1上的一列非负单调可测函数，则( )lim( )nnf xfx 是0,1上的Lebesgue 可积函数。 5、 设( )nfx是0,1上的一列非负可测函数， 则1( )( )n nf xfx是0,1上的 Lebesgue可积函数。 二、叙述题（请完整地叙述以下定理或命题） 1、F.Riesz 定理（黎斯定理） 2、Egoroff 定理（叶果洛夫定理） 3、关于依测度收敛与几乎处处收敛关系的 Lebesgue 定理（勒贝格定理） 4、Lusin 定理（鲁津定理） 三、证明题（请完整地写出以下命题的证明） 1、设( )f x是(,) 上的实值函数，且( )

3、f x在(,) 上的任一有限区间上都可测，则( )f x在(,) 上也可测。 2、设( )f x是(,) 上的实值连续函数，则( )f x是(,) 上的 Lebesgue 可测函数 3、设( ),( )f xg x都是可测集nE上的非负可测函数且( )( ),f xg xxE，用( )Ax表示集合A的特征函数（示性函数） 。证明函数( ), ( )( , )( )f x g xF x tt是1E上的可测函数。 4、 设E是 Lebesgue 可测集，( )nfx(12)n ，( )f x都是E上的 Lebesgue 可积函数，若lim( )( )nnfxf x ()xE，且lim( ) d(

4、) dnnEEfxxf xx ， 证明：( )( )( )( )( )nnnF xfxf xfxf x在E上非负可测； 5 、 若RnE 是 可 测 集 ，( )f x为E上 的 可 测 函 数 ，1RU 为 开 集 ， 则1( )( )fUxE f xU是可测集。 6 、若RnE 是 可测 集，( )f x为E上 的可 测函 数，1RU 为G型集 ，则1( )( )fUxE f xU是可测集。 7 、 若RnE 是 可 测 集 ，( )f x为E上 的 可 测 函 数 ，1RF 为 闭 集 ， 则1( )( )fFxE f xF是可测集。 8、 若( )f x为1R上的可测函数，1RU 为F

5、型集， 则11( )( )fUxRf xU，是可测集。 可测函数，9、设RnE 是可测集，( , )f x y为1RE上的实函数，满足： （1）对xE ，( , )f x y是关于y在1R上的连续函数； （2）对1Ry ，( , )f x y是关于x在E上的可测函数， 证明：对于任何E上的实值可测函数( )g x，( )( , ( )F xf x g x也是E上的可测函数。 10、若( )f x是1R上的实值可测函数，则( , )()g x tf xt是2R上的可测函数。 11、设E是n中的测度有限的可测集，若几乎处处有限的可测函数列( )nfx在E上几乎处处收敛于( ),|( )|,f xf xa.e.于E，试用 Egoroff 定理证明存在一列可测集合,1,2,kEk使得在每个kE上( )nfx一致收敛于( )f x，而 1()0kkm EE。 12设nf是E上的可测函数序列，证明：如果0，都有| )(|1xfxmEn n，则必有0)(lim xfn n,Eea.1314151617