换元引参与整体思想

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1、1换元引参与整体思想换元引参与整体思想 林贤数林贤数【立意和思路立意和思路】 整体思想与整体思想中的换元引参是解决数学问题的普遍方法之一，其牵涉的 知识面广，几乎涵盖了各个知识章节，应用广泛。换元思想内涵丰富，是培养学生 观察能力、直觉能力和整体意识的方法之一，同时培养学生思维结构中从大处着眼 的宏观调控能力，产生居高临下之功效，我们不仅在细微之处见“精神” ，更要从 宏观之中探“世界” 。换元引参是整体思想的集中体现，在整体思想中扮演着不可 或缺的角色。 由于换元引参在第一轮复习中已渗透到各知识章节中，学生已初步体验到其实 用性和思想方法，因此，在这里安排 8 道例题分两课时完成，第一课时突

2、出换元引 参的解题思想过程，第二课时突出观察问题的整体思想方法，培养学生解决问题的 宏观调控能力，使学生的学习能力在第一轮基础上进一步得到整合提高。 这里需要说明的是，下面编排的例题主要是提供一种复习思路，仅供参考，特 别是第二轮复习要讲究问题的综合性和一题多解，应考虑到不同层次的学生水平安 排例题进行教学。由于本人水平有限、时间仓促，难免使考虑的问题出现漏洞或不 成熟的情况，敬请批评指正。【高考回顾高考回顾】换元引参和整体思想是解决数学问题中转化能力的一种体现，它渗透到数学中 的方方面面，在历年高考试题中基本体现出这种能力的考查。如 98 年高考题的最 后一题（即本案例 8） ，考查了数列中

3、整体代换能力或数学归纳法的思想等，但整体 能力的观察显然要高于数学归纳法的思想，因为数学归纳法易想但过程显得冗长， 远不如整体代入运算来得简捷；99 年的填空题（即本案中的例 5（1） ）考查了学生 的整体观察能力，从而达到优化运算过程，检测了学生良好的思维品质；又如 2000 年的解答题（即本案的例 4） ，其中考查学生如何引参、消参，显然这里引参的成功 与否关系到运算的质量，是对学生运筹帷幄策略的一次大检验。这些数据充分说明 这部分内容在中学教学中应引起我们足够的重视，特别是这部分学生能力的培养更 是我们潜心研究的科目。这里需要指出的是，2004 年我们浙江卷第 17 题也体现了 整体思想

4、，只是能力要求不高，考查的力度不大，但这并不能说明这部分内容不重 要，只能说明命题人的构思不同罢了。【基础知识梳理基础知识梳理】 换元引参是指引入一个或几个新变量代替原式中的某些量，使得原式中仅含有 这些新变量，然后对新变量求出结果，再代回求出原变量的结果。换元法常与所考 虑问题的整体因素有关，其基本思想是通过变量代换，化繁为简，化难为易，以实 现从未知向已知转化，从而达到解题的目的。 转化的方式主要是分式向整式、无理向有理、超越向初等以及函数、三角、几 何等的互化。 引入参变量，作为揭示运动变化中变量之间内在联系的媒介。使我们有可能对 运动的过程作出定量的刻划，消化问题的难点，促使问题转化，

5、达到简捷解决问题2的目的。 解数学问题时，人们常习惯于把它分成若干个简单的问题，然后再各个击破， 分而治之。有时，研究问题若能有意识地放大考察问题的视角，将需要解决的问题 看作一个整体，通过研究问题的整体形式、整体结构等，并注意已知条件及待求结 论在这个“整体”中的地位和作用，然后通过整体结构的调节和转化使问题获解， 这种对数学问题的整个过程进行研究的思想方法即为整体思想。 在解题时，要细察命题的外形，把握问题的特征展开联想，创设整体常常会使 解题思路出现峰回路转、豁然开朗的情景。【例题精选例题精选】例例 1：求下列函数的最值1）)2(12222xxxxxy2）)0(2abxaxy3）)0(2

6、2axaxy【思路点拔思路点拔】1）通过观察，注意到式子含有的关系，可令，则2211 xxxx与txx1，于是问题转化为二次型：212 22txx1) 1(2222ttty， 函数 是增函数，2xQxxt1231xxt2）分析的本质是平方关系，故可令，xbx与)0( ttbx则，btx2baatbatty2222若；若，则时，。bytamin,0, 0时则0aatbay2 min 3）此题中的根号与 2）题有本质的区别，不宜用 替换，注意到t22xa ，故可令，axa)22)(cos(sinaax或)4sin(2cossinaaay当，；时4ay2maxa，ymin2时【点评点评】在换元法中，

7、注意换元的原则是将复杂的问题转化为简单的问题； 把不熟悉的化归为熟悉的，同时要注意新变量范围的确定。问题 1）的同类问题还有的关系；问题 2）的一般形状为：2211 xxxx与，3）的一般形状为；)0(ecadcxebaxy)0( ,222abdxdcbaxy 求最值问题还可以考虑用导数求解，但这里换元可简化计算过程。45,23 minyt时当3例例 2：解关于 x 的不等式：) 10( 1loglogaaaxxa且【思路点拔思路点拔】易观察到与的倒数关系，令，得xalogaxlogtxalog12 tt，即022ttt201tt或2log0log1xxaa或，不等式的解集为：，时1a),()

8、 1 ,1(2aaU不等式的解集为：。,10时 a)1, 1 (), 0(2 aaU【点评点评】培养学生敏锐的观察能力，是培养学生直觉思维的一种有效途径，此 题的功效是要求学生在较短的时间内对问题的解决做出反应，同时还要注意分类讨 论应在何时进行比较恰当进行定位。例例 3：已知，确定的取值范围。36422yxyx 【思路点拔思路点拔】如何运用题设条件，将转化成只含一个变量，是解决此问题的关键，由yx 联想到椭圆的参数方程：，或将看作一个36422yxcos6xsin3yyx 整体 ，利用数形结合、方程的思想解决都不失为一种好方法：t方法一：令，则cos6xsin3y53sin3cos6yx53

9、53yx方法二：令，则，代入得，tyxytx36422yx0362522ttyy因方程有实数根，故，53530)36(20422ttt5353yx【评点评点】上述提供的换元的两种思路中，前者转化为三角关系，利用三角函数的有界性易确定范围，其优点是运算量少；第二种方法有明显的几何背景，即求椭圆上的平行直线系的截距（y 轴或 x 轴）的取值范围，其包含的数学思想方法是数形结合、方程思想，从而挖掘了问题的数学思想内涵。例例 4：设点 A 和 B 为抛物线上原点以外的两个动点，已知)0(42xpxy，求点 M 是轨迹方程，并说明它是表示什么曲线。 （2000 年高ABOMOBOA,考题）【思路点拔思路

10、点拔】 首先明确轨迹问题的实质是找动点中 x 与 y 的方程关系。有的问题 x 与 y 的关系易确定，但这个问题却不易直接找到 x 与 y 的关系，怎么办？注意到动点 M 与抛物线 A、B 的位置有关（可用多媒体动画演示） ，因此引进 A、B 两点的坐标就十分必要，BA M4考虑到所引的参数以少为宜，可设，),4(2AAypyA，利用先确定与的关),4(2BBypyBOBOAAyBy系，即：，由，再注意到条件AoAypk4BoBypk42161pyy，kkBAOBOA得，得：，ABOM BAAByypk4 pyykBA OM4直线 OM 方程： xpyyyBA 4直线 AB 的方程： )4(4

11、2pyxyypyyABAA)2(44)(22pxyypyypxyyyyyyBAABAABA由消去得：BAyy)0(0422xpxyx的轨迹是圆M点)(4)2(222原点除外pypx 【点评点评】此题的解法较多，但都离不开 A、B 的坐标参与，故引参时必须考虑设 A、B 的坐标（设而不求） 。在具体消参时，两个变量实际上是作为一个变BAyy ,量（整体）考虑，这给消参带来便利。在解题过程中，若注意到直线 ABBAyy方程：经过一定点 N（2p,0） ，则点 M 的轨迹是以 ON 为直径)2(4pxyypyBA的圆（原点除外） ，解题过程显得更简捷。上述是换元引参的几个例子，其过程往往表现在有型（

12、具体换元）的转换。但有些问题的整体思想不是用具体的换元表示，其解题过程却表现出整体思想，下面要讲述的几个例子就表现在无型（无具体的换元）上的整体构思。整体观察，化繁为简整体观察，化繁为简例例 5：（1）已知，求：4 43 32 2104)52(xaxaxaxaax的值（99 年高考题）2 312 420)()(aaaaa（2）已知函数则,1)(22xxxf)41()31()21()4()3()2() 1 (fffffff【思路点拔思路点拔】（1）先将结论因式分解，然后将和43210aaaaa5都看作整体进行运算，分别令或，易得到结果为43210aaaaa1x1x1。（2）如果注意到，就易发现此

13、题的结果为。1)1()(xfxf27【点评】 （1）题主要考察学生的整体观察能力，即不能将割裂来43210,aaaaa求，否则加大了运算难度；（2）题与（1）有类似情况，其关键是将作)1()(xfxf为一个整体运算，从问题的结构中也易发现这层关系，利用整体运算带来轻松的快感。整体构造（式或形）整体构造（式或形） ，化难为易，化难为易例例 6：已知是等比数列的前 n 项的和，且，nS na)0(,2baabbSaSnn且求（类似 96 年高考题题型） 。nS3【思路点拔思路点拔】此题若考虑用求和公式，不仅计算量较大，而且对公比还要考虑进q1, 1qq行分类讨论，若注意到，依次相差 n 项，以此构

14、造三个整体：nSnS2nS3 ，通过分析可知这三个数构成等比数列。从而得nnnnnSSSSS232,baabSSSSSSnnnnnn23232 2)()()(【点评点评】在解决问题中，有时将局部的问题通过适当的增减，使之成为一个完整的有联系的整体，让问题中的局部与整体的关系有机地联系起来，显露出问题的本质，从而使问题的解决找到捷径。不妨再看一例。例例 7：已知三棱锥 P ABC 的三条侧棱 PA、PB、PC 两两相互垂直，其外接球的半径为 R。（1）求证：为定值；222PCPBPA（2）求三棱锥 P ABC 体积的最大值。【思路点拔思路点拔】（1）首先此问题的定值只能与 R 发生关系，但碰到的

15、棘手问题是球心 O 的位置难以确定，条件乍看也难以联系、利用。如果联想到此三棱锥是长方体的一部分（三条侧棱两两相互垂直作为一个整体考虑） ，且长方体的外接球与此三棱锥有相同的外接球（即唯一性） ，于是尝试将此三棱锥的三条侧棱 PA、PB、PC 作为长方体的棱补成长方体，这样就避开了球心位置的确定，而直接确定球的直径为长方体的对角线，从而得到： （定值） 22224RPCPBPA6（2）由（1）得3322) 32()(34RPCPBPAPCPBPAR3 2734 61RPCPBPAV三棱锥体积当。3 max2734, 32RVRPCPBPA时整体代入，简单明了整体代入，简单明了例例 8 证明：（98 年高考题）78 45 123132313nnn【思路点拔思路点拔】 在求解此题时，易想到用数学归纳法，但过程比较冗长、繁琐，若构造整体：即令，则只要证，注意到，则只需证即可：右边左边nT1nT14231T11nn TT13)43() 13(22