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1、有限体必为域有限体必为域Wedderburn定理的完全证明定理的完全证明钟小杰 F0603032 5060309064有限体必为域有限体必为域 Wedderburn 定理的完全证明2 / 3定理：有限体必为域。Wedderburn证明：我们所需要证明的可以化为：有限除环的乘法群是群。Abel现在记的中心化子为，即。xG( )GCx( )|GCxgG gxxg首先我们来证明一个引理：中心化子一定是一个子环。( )GCx显然，。假设有，从而有以下结果：0( )GCx1( )GCx,( )Gy zCx()()()()xyxyyxy x ()()x yzxyxzyxzxyz x()()()()()()
2、x yzxy zyx zy xzy zxyz x故，均属于。yyzyz( )GCx假设，由，故也属于。0y 11xyyxy xxy1y( )GCx引理得证。现令为有限体，是的中心，即有。G( )Z GG( )|,Z GcGgG cggc 显然。( )( )G x GZ GCxI由于中的可交换性，故为的子环，从而为有限域，现令。( )Z G( )Z GGAbel( )Z GZq由于，故。现在将和每个视为上的有限维向量空间。 0,1( )Z G2q G( )GCx( )Z G不妨假定的维数为，的维数为，即，。Gn( )GCxxn( )nnGZ Gq( )( )xxnn GCxZ Gq考虑到为的阶子
3、群，从而必有。 *( )( )0GGCxCx *0GG1xnq1|1|xnn xqqnn 将乘法群中的元素分成不同的共轭类。 *0GG与共轭的元素个数为。*xG*:( )(1)/(1)xnn GGCxqq 有限体必为域有限体必为域 Wedderburn 定理的完全证明3 / 3故由得到。*)*(:( )G xGZ GGCx11(1)/(1)xnnnxqqqq 现在利用分圆多项式来进行证明。记所有次原根为，由欧拉函数知次原根共有个。n2( / )|1,( , )1i k nekn k nn( )n则分圆多项式即为。2( / )1,( , ) 1( )()i k n n k n k nxxe 任取
4、且，可以得到一个次原根。1rn( , )1r n n2( / )i r ne显然。对于，。2( / )2()110i r nniree 1dn 2( / )2(/ )()11i r ndi rd nee 由于且不整除，故不整除，从而。( , )1r n ndnrd2(/ )10i rd ne 由上所述，故（即） 。1( )|1nndxxx1dn xn而显然有，故。由域的概念可知。( )|1n nxx( )|1nqq21 1qq 当时，故任取且，则（见下图） 。2n 1rn( , )1r n 2( / )1i r nqeq故。( )2( / )2( / )1,( , ) 11,( , ) 1( )()()11ni k ni k n n k n k nk n k nqqeqeqq 这与矛盾，故，即，从而为有限域。( )|1nqq1n ( )GZ GG综上所述，定理得证。Wedderburn
