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1、 北京市房山区北京市房山区 20132013 届高三第一次模拟考试届高三第一次模拟考试数数 学学 （文科） 2013.04本试卷共 4 页，150 分。考试时间长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题卡交回。一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 8 小题小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,共共 4040 分分. .在每小题列出的四个选项中在每小题列出的四个选项中, ,选出符合选出符合题目要求的一项题目要求的一项. .1.已知全集，集合，则 U R | (3)0Mx x xC MRA. 0,3B. (0,3)C. (,3D. (,0)(3,
2、)U2.已知为等差数列，为其前项和.若，则 nanS19418,7aaa+=10S=A. 55B. 81C. 90D. 1003.执行如图所示的程序框图若输出， 则框图中15S 处可以填入 A. 4n B. 8n C. 16n D. 16n 4.甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶 5 次，两人成绩的统计表如下表所示，则环数45678环数569频数11111频数311甲 乙A.甲成绩的平均数小于乙成绩的平均数B. 甲成绩的中位数等于乙成绩的中位数C.甲成绩的方差小于乙成绩的方差D. 甲成绩的极差小于乙成绩的极差5. “”是“函数存在零点”的 2m 2( )2f xxxmA. 充分但不必要条件B.
3、必要但不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件否1,0nS开始结束输出S是nSSnn26.在正三角形中，是上一点，且，则 ABC3AB DBC3BCBDuuu ruuu r BAADuuu r uuu rA. 15 2B. 9 2C. 9D. 67.某三棱椎的三视图如图所示，该三棱锥 的四个面的面积中，最大的是A. 4 3B. 8C. 4 7D. 8 38.设集合是的子集，如果点满足：，称为MR0x R00,0axMxxa 0x集合的聚点.则下列集合中以为聚点的有：M0； ； ； |1nnnN |,0x xxR*2|nnNZA.B. C. D. 二、填空题二、填空题: :本大题共本大
4、题共 6 6 小题小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,共共 3030 分分. .9. 复数 .2 1i i10.在ABC 中，角所对的边分别为，则角的大小A B C, ,a b c224Aac,C为 .11.直线与圆相交于两点，则线段的长等于 .20xy2221xyxA B,AB12.若不等式组表示的平面区域是一个锐角三角形，则的取值范是 . 50, 5, 02xy ykx x k13.某商品在最近天内的单价与时间的函数关系是100( )f t22(040,)4( ) 52(40100,)2ttt f tttt NN日销售量与时间的函数关系是.则这种商品( )g t109( )(0100
5、,)33tg ttt N的日销售额的最大值为 .14.已知函数的定义域是 D，若对于任意，当时，都有，( )f x12,x xD12xx12( )()f xf x则称函数在 D 上为非减函数.设函数在上为非减函数，且满足以下三个( )f x( )f x0,1条件：； ； .则 ，(0)0f1( )( )52xff x(1)1( )fxf x 4( )5f. 1()12f三、解答题三、解答题: : 本大题共本大题共 6 6 小题小题, ,共共 8080 分分. .解答应写出文字说明解答应写出文字说明, , 演算步骤或证明过程演算步骤或证明过程. .15.(本小题满分 13 分)已知函数2( )2
6、cos2 3sin cos1f xxxx（）求函数的最小正周期；( )f x（）求函数在区间上的最小值和最大值( )f x0,216. （本小题满分 14 分） 在四棱锥中，底面为直角梯形，/，PABCDABCDBCAD，为90ADC1 2BCCDADPAPDE F,AD PC,的中点 （）求证：PA/平面 BEF；（）求证：ADPB17. （本小题满分 13 分）是指大气中直径小于或等于微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物我国PM2.52.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即日均值在微克/立方米以下空PM2.5PM2.535气质量为一级；在微克/立方米微克/立方米之间空气质量为二级；在微克/35
7、:7575立方米以上空气质量为超标某城市环保局从该市市区年全年每天的监测2012PM2.5数据中随机的抽取天的数据作为样本，监测值如茎叶6图所示（十位为茎，个位为叶）() 若从这天的数据中随机抽出天，求至多有62一天空气质量超标的概率；日均值(微克/立方米)PM2.53 33 3 4 48 81 1 7 79 93 3 9 97 7PABCEFD()根据这天的日均值来估计一年的空气质量情况，则一年（按天计6PM2.5365算）中平均有多少天的空气质量达到一级或二级？18. (本小题满分 13 分)已知函数 . 211( )ln(,0)22f xxaxaaR（）当时，求曲线在点处的切线方程；2a
8、 ( )yf x(1,(1)f（）求函数的单调区间；( )f x（）若对任意的，都有成立，求 a 的取值范围.1,)x( )0f x 19. (本小题满分 14 分)已知椭圆和点，垂直于轴的直线与椭圆交于两点，连22 :143xyC(4,0)PxCA B,结交椭圆于另一点.PBCE（）求椭圆的焦点坐标和离心率；C（）证明直线与轴相交于定点.AEx20.（本小题满分 13 分）对于实数，将满足“且为整数”的实数称为实数的小数部分，x10 yyx yx用记号表示例如对于实数，无穷数列x811.20.21.20.877,.a满足如下条件： na， 其中 1aa11000n nnnaaaa ,1 2
9、3n L, , ,.（）若，求数列的通项公式；3 11a na（）当时，对任意的，都有，求符合要求的实数构成的集1 2a n*Naana合；A（）设 （是正整数，与互质），对于大于的任意正整数，2013pa pp20132013n是否都有成立，证明你的结论0na房山区高三年级第一次模拟考试参考答案房山区高三年级第一次模拟考试参考答案数数 学学 （文科） 2013.04一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 8 小题小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,共共 4040 分分. . 1A1A 2D2D 3B3B 4C4C 5B5B 6A6A 7C7C 8A8A二、填空题二、填空题: :本
10、大题共本大题共 6 6 小题小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,共共 3030 分分. .9. 10. 或 11. 1 i 630612. 13. 14. ( 1,0)808.51 1,2 4三、解答题三、解答题: : 本大题共本大题共 6 6 小题小题, ,共共 8080 分分. .15（本小题满分 13 分）（）1cossin32cos2)(2xxxxf 4 分 xx2sin32cos)2sin232cos21(2xx 6 分 )62sin(2x周期为 7 分2.2T（） 9Q20 x67 626x分当 时， 此时 11 分262x1)62sin(x2)(maxxf当 时， 此时13
11、 分67 62x21)62sin(xmin( )1f x 16（本小题满分 14 分） （）证明：连接 AC 交 BE 于 O，并连接 EC,FO / , 为中点QBCADADBC21EADOPABCEFDAE/BC,且 AE=BC 四边形 ABCE 为平行四边形 1 分O 为 AC 中点 .2 分 又 F 为 AD 中点Q / .4 分OFPA.5 分QBEFPABEFOF平面平面,/.7 分PABEF平面（）连接PE.8 分,PAPD EADADPEQ为中点 为平行四边形中点为BCDEADEAD,21BCAD,/ BCQCDBE/ .9 分ADCDADBEQEBEPEQ.12 PBEAD平
12、面分.14 PBADPBEPB 平面Q分17（本小题满分 13 分） 解：由茎叶图可知：6 天有 4 天空气质量未超标，有 2 天空气质量超标2 分记未超标的 4 天为，超标的两天为，则从 6 天抽取 2 天的所有情况为：1234,w w w w12,c c，1213141 11 223242 122343 13 24 1421 2,w w w w w w wc wc w w w w w c w c w w w c w c w c w c c c基本事件总数为 15 4 分（）记“至多有一天空气质量超标”为事件，则“两天都超标”为事件，AA易得，1( )15P A 所以 9 分114( )1(
13、 )11515P AP A （）天中空气质量达到一级或二级的频率为 11 分642 63，2136524333所以估计一年中平均有天的空气质量达到一级或二级. 13 分12433（说明：答 243 天，244 天不扣分） 18（本小题满分 13 分）（）时， 1 分2a 211( )2ln,(1)022f xxxf22( ),(1)1fxxfx 分曲线在点处的切线方程 3 分( )yf x(1,(1)f10xy （）42 ( )(0)axafxxxxx分当时， 恒成立，函数的递增区间为0a 2 ( )0xafxx( )f x0, 6 分当时，令，解得或0a ( )0fx xaxa x( 0, )aa( ,1)(,)a f(x)-+f(x)减增所以函数的递增区间为，递减区间为( )f x,
