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1、1.1. ABC中，中，a，b，c分别是分别是CBA、的对边。已知的对边。已知10a ，32b ，23 c，则，则 sinsinbBcC的值等于 的值等于 【解析】 注意到22252 652 610bca所以A 为直角所以sinbBa，sincCa 所以222sinsin1bcbBcCa 2. 若若045，且，且3sincos716，求，求sin的值的值. 【解析】 方法 1【解析】 方法 1：由：由22363sincos7sincos16256，结合，结合22sincos1，可得，可得 2226397sin(1 sin)sin2561616或. 由由045可知可知221sinsin 452
2、，故，故277sinsin164. 方法方法 2：由：由33sincos72sincos7168，结合，结合22sincos1，可得，可得 337sincos1784，337cossin1784，故，故7sin4. 3.3. 利用顶角为利用顶角为36的等腰三角形来求的等腰三角形来求sin18的值 的值 【解析】 如图，等腰ABC中，ABAC，36BAC.作ABC的平分线，交AC于点 E 取BC中点 D ，连接 AD ，则ADBC 设CDx，则2BCBEAEx，由角平分线定理可知 AEAB ECBC，即2 2xAC ECx 又2ACAECExCE，故22240CExCEx 从而22 5152xx
3、CEx ，又0CE ，故51CEx 于是，151sin18415251CDx ACxx 另 解 ： 通 过 证 明ABCBEC也 可 得 出 上 述 关 系 式22240CExCEx ABC222240BCACBECBCAC CECExCExCEBC 点评：以上两个例题主要考察如何利用特殊角来求其它特殊角的三角函数值，例 10 介绍的是一种典型的题型和方 法，解题技巧一定要掌握 4.4. 化简计算 （化简计算 （1）22(2sincos)(2cossin)； （2）2sin 701 2sin20 cos20sin201 ； （3）1sin1sin1cos1cos 1sin1sin1cos1co
4、s （090 ） （4）化简：（4）化简：222tan1tan2 .tan89 sin 1sin 2.sin 89 （5）若锐角（5）若锐角 A 满足满足tancot2AA，求，求22tancotAA的值； （的值； （6）化简）化简22tan 40cot 402 （7）化简：（7）化简：22sincossin 1sincostg 【解析】 （1）（1）2222(2sincos)(2cossin)5(sincos)5； （2）2sin 701 2sin20 cos20sin201sin70(cos20sin20 ) 1 sin201 EDCBA(3)原式222222221sin1sin1cos
5、1cos1sin1sin1cos1cos 由090 可知，0cos1，0sin1 故原式1sin1sin1cos1cos coscossinsin 2sin2cos4cossin (4)tan1tan2 .tan89tan451 22222222sin 1sin 2.sin 89sin 1cos 1sin 2cos 2.sin 45 1894422，故原式2 89 （5）（5）tancot2AA，tancot1AA ， ， 22222(tancot)tancot2tancottancot24AAAAAAAA. . 22tancot426AA. （6） . （6） tancot1， 又， 又ta
6、n40cot(9040 )cot50cot40 ， ， 22tan 40cot 402 22tan 40cot 402tan40 cot40 2(cot40tan40 ) cot40tan40. . (7)原式2222cossincossincossinsincos22cossinsincoscossin 5. 5. 已知已知tan2，求下列各式的值： ，求下列各式的值： sincos sincos ；222sinsincoscos 【解析】 sin1sincostan11cos sinsincostan131cos 另解：sintan22sin2coscos，代入原式即可 由22sincos
7、1可知 22 22 222sinsincoscos2sinsincoscossincos222tantan1 tan1 222217 55 另解：sintan22sin2coscos，代入原式有 2222sinsincoscos7cos 将sin2cos代入22sincos1可得，25cos1，故原式7 5 6. 如果如果sincosa，sincosb，222sincossinb ，求，求a，b的值.的值. 【解析】 可得，22sincosab， 由，可知，2sinabb 可得，12sinsin2abab，从而1cos2ab， 从而有212102abbabbab 若0ab，则sin0，1cos
8、2abb ，故211bb ，此时1a ； 若12102bb ，则由22 221222ababab ，故7 2a ， 综上所述，1 1a b ，1 1a b ，7 2 1 2ab ，7 2 1 2ab 7.7. 若若 030，且，且1sin3km(k为常数，且为常数，且k0)，则，则m的取值范是的取值范是 .（用（用 k 表示） 表示） 【解析】 【解析】 030sin0sinsin30，即，即0sin1 201 3km1 2，所以，所以11 36km，又因为，又因为0k 11 63mkk . 8.8. 已知?已知?ABC 中，中，A，B，C 的对边分别是的对边分别是, , ,a b c若若,
9、a b是关于是关于x的一元二次方程的一元二次方程2(4)480xcxc的两个根，且的两个根，且925 sin .caA (1) 求证求证:ABC是直角三角形是直角三角形; (2) 求求ABC的三边长的三边长. 【解析】 【解析】 (1) , a b是方程是方程2(4)480xcxc的两个根，的两个根， 4,48abc abc. 222222()2(4)2(48)816816abababcccccc ABC是直角三角形是直角三角形(C=90). (2) 在在RtABC中，中，sinaAc，并代入，并代入925 sincaA得得22925.ca 34,.55ac bc 由由344,455abccc
10、c得. 10c ，且此时，且此时0 ，从而从而6,8ab 9.9. 在在ABC中，中，sinsin2 1AB ，且，且222cbbc，求，求ABC的度数 【解析】 分析 的度数 【解析】 分析 题目中涉及了角的正弦的关系，以及边的关系，常规方法便是利用正弦定理。 解 解 由正弦定理，得sin2sinaA bB，2ab 又由余弦定理得2222cosabcbcA 把代入得222cosbcbcA 再把已知条件222cbbc代入得 2222cosbbbcbcA 0bc ，2cos2A 45A ，21sinsin22BA 又 AB，30B ，即30ABC 10. 已知：已知：ABC中，方程中，方程2(s
11、insin)(sinsin)(sinsin)0BA xAC xCB的两根相等，求证的两根相等，求证60B 【解析】 分析 【解析】 分析 两根相等则判别式为0，但是观察系数的规律，是否有其他的好办法呢？ 解 解 此方程系数之和为0，1x 必为此方程的根 又此方程两根相等，121xx，12sinsin1sinsinCBx xBA 又由正弦定理，有cbba，2cab 再由余弦定理，有222 22222()3()26212cos22882caaccabaccacacaBcacacaca 60B，且等号不会成立，否则方程就不存在了。 11. 在在ABC中，已知中，已知()()3abc abcab；3s
12、insin4AB ，试判定此三角形的形状，试判定此三角形的形状 【解析】 分析 【解析】 分析 题目中涉及的仍然是角的正弦的关系以及边的关系。 解 解 ()()3abc abcab 222abcab 两边同除以2ab，得 2221 22abc ab，即1cos2C ，60C 3sinsin4AB 由正弦定理，有3 224ab RR，即23abR 又由正弦定理有2sin3CCRC 223RC 把代入，得2abc 由，有22ababab，即2()0ab， ab ABC为等边三角形。 12. 如图，P 为等边ABC 的 BC 边上一点，AP 的垂直平分线交 AB，AC 于 M， N。求证：BPPCBMCN. 13. 如图，O 是四边形 ABCD 对角线的交点，若BADBCA180o，AB5，AC4，AD3，67DOBO，试求 BC 的值. 答：14/5 EDCBAOPNMCBA
