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1、69第三章 贝塞尔函数对两个自变量的情形，在第二章中比较系统地介绍了分离变量法的基本思 想以及求解偏微分方程定解问题的主要步骤. 本章讨论多于两个自变量的情形， 其求解过程和两个自变量情形基本相同，区别仅在于特征值问题的求解要用到 一类特殊函数贝塞尔（Bessel）函数. 本章前两节围绕一类特征值问题的求解，比较系统地介绍二阶常微分方程 的幂级数解法，以及 Bessel 函数的一些基本性质. 第三节介绍多于两个自变量 情形的分离变量法. 33 1 1 二阶线性常微分方程的幂级数解法二阶线性常微分方程的幂级数解法3.1.13.1.1 常系数线性方程的基解组常系数线性方程的基解组 在高等数学中，同
2、学们已学过常微分方程的一些求解方法. 对于常系数线 性常微分方程，只要求出特征方程的根，就很容易写出齐次方程的基解组，由 此可得齐次方程通解表达式. 例例 1.11.1 求解下列齐次微分方程(1) .320yyy(2) .4130yyy(3) .440yyy解解 (1) 特征方程为，2320特征根为 故基解组为 .121,2,2, xxee（2）特征方程为，24130特征根为，是一对共轭复数，基解组为，1223 , 23ii ( 2 3 )( 2 3 ), i xi xee 这两个解为复值函数. 为得到实值函数的基解组，利用齐次微分方程解的线性 性质得，2( 2 3 )( 2 3 )1cos3
3、 (+ )2xi xi xexee ，2( 2 3 )( 2 3 )1sin3 ( )2xi xi xexeei 这两个实值函数也是方程（2）的解,由此得方程（2）的基22cos3 , sin3xxex ex解组为 . 22cos3 , sin3 xxex ex70（3）特征方程为，2440特征根为，即是二重特征根. 此时，由特征根只能写122 2 2 出微分方程（3）的一个解为.为求方程（3）另一个与解线性无关的解，2xe2xe要用到求解微分方程的摄动方法，即，考虑齐次方程40 ， (4)(42 )0yyy（1.1） （1.1）称为方程（3）的摄动方程. 易得（1.1）的特征根为, 由此可得
4、（1.1）的基解组为. 利用齐次微分122, 2 2( 2), xxee 方程解的线性性质可得：，0 ， ( 2)2 21( )()()xxx xeeeyxe （1.2） 仍是（1.1）的解. 当趋于零时，方程（1.1）趋向于（3）中的方程. 可以证明， （1.1）的解关于参数是连续的，即当趋于零时， （1.2）中的也4( )yx趋向于（3）中方程的一个解. 利用罗比塔法则可得，222001()limlim()( 1)xx xxxex eeexe 此即微分方程（3）的另一个与解线性无关的解. 因此方程（3）的基解组2xe为 . 22, xxexe例例 1.21.2 求解下列齐次微分方程(1)
5、.(3)0yyyy(2) .(6)(4)220yyyy（3）. (5)(3)8160yyy解解 （1）特征方程为，3210 因式分解为,2(1)(1)071特征根为，故基解组为 .1231, , ii , cos , sin xexx（2）特征方程为，642220因式分解为,222(2)(1)(1)0由此可得特征根为，故基解组为 1,23,45,61, , 2i .22, cos , sin , ,xxxxeexx ee（3）特征方程为，538160因式分解为,22(4)0 特征根为而和都是该特征方程的二重根，由此可得1230, 2 , 2 ,ii 23方程（3）的基解组为 .1, cos2
6、, sin2 , cos2 , sin2 xx xx xx3.1.23.1.2 变系数线性方程的幂级数解法变系数线性方程的幂级数解法 对于变系数线性常微分方程，要求出齐次方程的基解组绝非易事. 若方程 为二阶，可用待定系数法求出某种级数形式的基解组或一个非零解. 有关这方面的理论和方法已比较成熟，有兴趣的同学可查阅参考文献.下面，我们不4加证明地给出本门课程中要用到的两个主要结果，作为今后求解一些特征值问 题的理论基础. 定理定理 1.11.1 考虑下面二阶变系数线性常微分方程4， ( )( )0yp x yq x（1.3）如果在的邻域解析，即在该邻域可展成( ), ( )p x q x0x0
7、0() BxxRxxTaylor 级数，则方程（1.3）有如下形式的解析解， 0 0( )()kk ky xaxx（1.4）其中可由待定系数法求出. (0)kak 72定理定理 1.21.2 考虑下面二阶变系数线性常微分方程4， ( )( )0yp x yq x（1.5）如果在的邻域解析，即2 00() ( ), ()( )xxp xxxq x0x00() BxxRxx最多为和的一阶和二阶极点. 则在该去心邻域0x( )p x( )q x，方程（1.5）有如下形式的级数解0 0xRxx， 00 0( )()()kk ky xxxaxx（1.6）其中，. ，可由待定系数法求出.00a R (0)
8、kak 下面应用定理 1.1 求解一些变系数线性常微分方程，而定理 1.2 的应用则 放在下节. 例例 1.31.3 求解下列方程（1）.0yxyy（2）.(sin )0yx y解解（1）此题中，它们都是 R 上解析函数. 根据定理 1.1，( ), ( )1p xx q x可设解为 . 将该级数求一阶和二阶导数并将和代0( )k k ky xa x( ),( )y xy x( )yx入到原方程中得，2210(1)0kkk kkk kkkk ka xka xa x 或，2 000(1)(2)0kkk kkk kkkkkaxka xa x 令上式中系数为零可得(0)kxk ，2(1)(2)(1)
9、0kkkkaka0k 此即. 21, 02kkaakk 73（1.7） 由（1.7）易得.20211( 1)( 1), , 0(2 )!(21)!kkkkaaaakkk将上面的结果代入到 得0( )k k ky xa x221 01 000112( 1)( 1)( )+ (2 )!(21)!( )+ ( ), kk kkkky xaxaxkk a y xa yx 其中表示的半阶乘，其值为小于或等于的一切偶正整数之乘积，(2 )!k(2 )k2k而值为小于或等于的一切奇正整数之乘积, 为任意常数. 由(21)!k (21)k 01,a a于和线性无关，故方程（1）的基解组为. 1( )y x2(
10、 )yx12( ), ( )y xyx（2） 此题中，它们都是上的解析函数. 根据定理( )0, ( )sinp xq xxR1.1，可设解为 . 将该级数及二阶导数代入到原方程中得0( )k k ky xa x，220(1)sin0kk kk kkk ka xxa x 或. 2 00(1)(2)sin0kk kk kkkkaxxa x （1.8）将的 Taylor 级数( )sinq xx，210( 1)sin(21)!k kkxxk 代入到（1.8）中得，21 2 000( 1)(1)(2)0(21)!k kkk kk kkkkkaxxa xk 展开可得7423 2031402512(3
11、2)(4 3)(5 4)03!aaa xaaxaaa x ， 由此可得2 23041501110, , , ( 1), .3!3 45!aaaaaaa 将上面的结果代入到 得0( )k k ky xa x3546 0101121111( )(1)()3!5!3 42 3 5 6( )( ) ,y xaxxa xxxa y xa yx 其中为任意常数，为方程（2）的基解组. 01,a a12( ), ( )y xyx例例 1.31.3 求解下面方程2(1)2(1)0, 11xyxyyx （1.9） 其中为非负实数. 解解 此题中,这两个函数在区间，即222(1)( ), ( )11xp xq x
12、xx ( 1,1)内解析. 根据定理 1.1，可设解为 . 将该级数及一阶和二1(0)B0( )k k ky xa x阶导数代入到原方程中得，221210(1)(1)2(1)0kkk kkk kkkxk ka xxka xa x 或.2 0000(1)(2)(1)2(1)0kkkk kkkk kkkkkkaxkka xka xa x 令上式中系数为零可得(0)kxk 2(1)(2)()(1)0, 0kkkkakkak此即2()(1), 0(1)(2)kkkkaakkk （1.10） 连续使用（1.10）可得:, 0k75，2020(2)(22)(1)(3)(21)( 1) (2 )!k kkk
13、kaacak .211211(1)(3)(21)(2)(4)(2 )( 1) (21)!k kkkkaacak 将上面的结果代入到 得0( )k k ky xa x221 021210112 00( )+ ( )+ ( ), kk kk kky xac xacxa y xa yx （1.11）其中为任意常数，为 Legendre 方程的基解组. 01,a a12( ), ( )y xyx注注 1 1 当不等于整数时， （1.11）中和是两个无穷级数，它1( )y x2( )yx们在区间收敛，而在该区间两个端点发散到无穷大. 当等于整数时，例( 1,1)如，由上面的表达式易见：若为偶数，则；若n( 0)kck n20, 2kckn为奇数，则. 因此，当为正整数时，和其n210, 21kckn n1( )y x2( )yx中之一是一个次多项式. n33 2 2 贝塞尔函数贝塞尔函数本节介绍一类特殊函数贝塞尔（Bessel）函数，为分离变量法的进一步 应用作准备. 3 32.12.1 函数函数考虑广义积分，由广义积分敛散性判别法可得，当时，该10xxe dx0广义积分收敛. 将此广义积分记为
