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1、平面向量的基本功，你掌握了吗平面向量的基本功，你掌握了吗李启盛平面向量的基本功，包括平面向量概念、方法、易错点及应试技巧，只有掌握这些基 本功，就容易学好平面向量，我们不妨看一看自己对基本功知道多少。 1、向量有关概念（1）向量的概念，既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别，向量常用有向线 段来表示，但不能说向量就是有向线段，因为向量可以平移。如已知 A（1，2） ，B（4，2） ，则把向量AB按向量) 3 , 1(a平移后得到的向量是_。 （答案： （3，0） ） 。（2）零向量：长度为 0 的向量叫零向量，记作 0。注意零向量的方向是任意的。（3）单位向量：长度为 1 个单位长度的向量
2、叫做单位向量（与AB共线的单位向量是|AB|AB ） 。（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量具有传递性。（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量 a、b 叫做平行向量， 记作 ab，规定零向量和任何向量平行。注意：相等向量一定是共线向量，但共线向量 不一定相等，两个向量平行与两条直线平行是不同的两个概念，两个向量平行包含两个 向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合，平行向量无传递性（因为有 0） ，三点 A、B、C 共线ACAB、共线。（6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量，a 的相反向量是a。如有下列命题：若|b|a|，则ba ，两
3、个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同，若DCAB，则 ABCD 是平行四边形，若 ABCD 是平行四边形，则DCAB，若cb, ba，则ca ，若c/b, b/a，则c/a。其中正确的是_（答案： ） 。 2、平面向量的基本定理如果1e和2e是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量 a，有且只有一对实数21 、，使2211eea。如若)2 , 1(c),1, 1 (b),1 , 1 (a，则c_（答案：b23a21 ） 。 3、实数与向量的积实数与向量 a 的积是一个向量，记作a。它的长度和方向规定：|a|a|，当0时，a的方向与 a 的方向相同，当0时，a的方向与 a
4、 的 方向相反，当0时，0a ，注意0a 。 4、平面向量的数量积（1）两个向量的夹角：对于非零向量 a、b，作bOB, aOA，则 )0(AOB称为向量 a、b 的夹角。当0时，a 与 b 同向；当时，a 与 b反向；当2 时，a 与 b 垂直。（2）平面向量的数量积：如果两个非零向量 a、b，它们的夹角为，我们把数量 cos|b|a|叫做 a 与 b 的数量积（或内积、点积） ，记作cos|b|a|ba。规定零向量与 任一向量的数量积是 0，注意数量积是一个实数，不是一个向量，如ABC 中，, 5|BC| , 4|AC| , 3|AB|则BCAB_（答案：9） 。 5、向量的运算（1）向量
5、加法的平行四边形法则只适用于不共线的向量，向量加法还可利用三角形法则。设bBC, aAB，那么向量AC叫做 a 与 b 的和，即.ACBCABba（2）向量减法的三角形法则，设bAC, aAB，那么CAACABba，其方 向由减向量的终点指向被减向量的终点，注意此处减向量与被减向量的起点相同。如化简：CDBCAB_，DCADAB_，)BDAC()CDAB(_（答案：AD，CB，0） 。 6、向量平行（共线）的充要条件0xyyx|)b|a(|)ba ()0b(bab/a212122。如向量 )x, 4(b),1 , x(a，当 x_时，a 与 b 共线且方向相同（答案：2） 。 7、向量垂直的充
6、要条件0yyxx|ba|ba|0baba2121。特别地 |AC|AC|AB|AB. |AC|AC|AB|AB 如已知),m, 3(OB),2 , 1(OA若OBOA ，则 m_（答案：23） 。 8、线段的定比分点（1）定比分点的概念：设点 P 是直线 l 上异于21PP、的任意一点，若存在一个实数，使221PPPP，则叫做点 P 分有向线段21PP所成的比，P 点叫做有向线段21PP以定比 为的定比分点。（2）的符号与分点 P 的位置之间的关系：当 P 点在线段21PP上时，0；当 P 点在线段21PP的延长线上时，1；当 P 点在线段12PP的延长线上时，01；若 P点分有向线段21PP
7、所成的比为，则 P 点分有向线段12PP所成的比为1。如点 P 分AB所成的比为43，则点 A 分BP所成的比为_（答案：37 ） 。 9、平移公式如果点 P（x，y）按向量)k, h(a 平移至 P（x，y） ，则 . kyy , hxx曲线 0)y, x(f按向量)k, h(a 平移得曲线0)ky, hx(f。特别注意：向量平移具有坐标 不变性。向量中的三角形向量中的三角形“四心四心”问题问题李启盛学习向量的加减法离不开三角形，三角形的重心、垂心、内心、外心是三角形性质的 重要组成部分，你知道它们的向量表示吗？你能证明吗？下面的几个结论也许能给同学们 一点帮助。结论 1：若点 O 为ABC
8、 所在的平面内一点，满足OAOCOCOBOBOA，则 点 O 为ABC 的垂心。证明：由0OCOBOBOA,OCOBOBOA，得0)OCOA(OB，即0CAOB，所以CAOB。同理可证CBOA 。故 O 为ABC 的垂心。 结论 2：若点 O 为ABC 所在的平面内一点，满足22222OCCAOBBCOA2AB，则点 O 为ABC 的垂心。证明：由2222CAOBBCOA，得2222)OAOC(OB)OCOB(OA，所以OAOCOCOB。同理可证OCOBOBOA。容易得到,OAOCOCOBOBOA由结论 1 知 O 为ABC 的垂心。结论 3：若点 G 为ABC 所在的平面内一点，满足0GCG
9、BGA，则点 G 为 ABC 的重心。证明：由0GCGBGA，得GCGBGA。设 BC 边中点为 M，则 GBGM2GC，所以GM2GA ，即点 G 在中线 AM 上。设 AB 边中点为 N，同理 可证 G 在中线 CN 上，故点 G 为ABC 的重心。结论 4：若点 G 为ABC 所在的平面内一点，满足)OCOBOA(31OG ，则点 G 为ABC 的重心。证明：由)OCOBOA(31OG ，得0)OCOG()OBOG()OAOG(，得0GCGBGA。由结论 3 知点 G 为ABC 的重心。结论 5：若点 P 为ABC 所在的平面内一点，并且满足 |AC|AC|AB|ABOAOP)0( |B
10、C|BC|BA|BAOB ，则点 P 为ABC 的内心。证明：由于 |AC|AC|AB|ABOAOP ，可得 |AC|AC|AB|ABOAOP 。设与AB同方向的单位向量为1e，与AC同方向的单位向量为2e，则)ee (AP21。因为21ee 、为单位向量，所以向量21ee 在A 的平分线上。由0，知点 P 在A 的平分 线上。 同理可证点 P 在B 的平分线上。故点 G 为ABC 的内心。 结论 6：若点 O 为ABC 所在的平面内一点，满足CB)OCOB(BA)OBOA(AC)OAOC(，则点 O 为ABC 的外心。证明：因为OBOABA，所以.|OB|OA|BA)OBOA(22同理得. |OA|OC|AC)OAOC( ,|OC|OB|CB)OCOB(222由题意得222222|OA|OC|OC|OB|OB|OA|，所以222|OC|OB|OA|，得 |OC|OB|OA|。故点 O 为ABC 的外心。 说明：以上几个结论不仅给大家展示了三角形的“四心”的向量表示，而且是向量加 减法应用的很好典例，值得大家关注
